《高等数学习题集》(经管类专业适用第2版)第3章习题解答

1、练习3第3章积分及其应用1.求下列函数的一个原函数:(i)y 4 ； x1V【解】(I) ；(2) exx(2)2;(3)2.求下列函数的全体原函数:2x； (3)(2)(3)2 3【解】(1 ) 2x23；(2)2x；(3)cosx3.求下列不定积分:(1)Vxx2dx ;(2)3xexdx.【解】(1)Vxx 2dxx2dx 2x 7(2)3xexdx(3e)xdx (3e) Cln(3e)3xex1 ln3C.4.已知曲线y F (x)在其上彳E一点(x,F (x)处的切线斜率为5)的曲线方程.【解】因为(- 1)dx 2H x C ,由导数的几何意义知 , xF(x)是此曲线族中一条，

2、由点(1 ,5),确定C 2 ,所以所求曲线F(x) 2.xx 2.练习31.利用直接积分法求下列不定积分:(1)(10 x 3sinx G)dx； (2x(x25)dx； (3)x2 7x 12dx.x 3【解】(1)(10 x 3sin x Vx)dx10 xln103cosx57x(x2 5)dx (x2-2 -5x2)dx 7 x24)dx4x/c、x 7x 12,(3)dx (xx 32.利用凑微分法求下列不定积分:(1)(3x202)dx;(2)xexe(3)1-=sin Vxdx.一 x(1)(3x202) dx(3x2)20d (3x)(3x2)20d(3x 2)(2)xexe

3、dx2_x e913(3x2)21 C ；(ex 2)ln( ex2)(3)2cosx1 -sin xdx 2 sin、. xd , x.利用分部积分法求下列不定积分:(1) xsin xdx ；(2)xexdx .【解】(1) xsin xdxxd cosx(xcosxcosxdx)xcosxsin x C ；xexdxxdexxxeexdxx xxe e.(略)练习3.指出下列微分方程的阶数:,、2x(y) 2xy(dy)2 dx(dy)3dxxy 1dyy xdx xyd3y dx3y 2x3ysin x .(1) 一阶；(2)一阶；(3)三阶;(4)二阶.验证下列函数是否为所给方程的解

4、:2(1) xy 2x, y 5x ；【解】(1)左边 xy x(5x2)10 x22x 右边，所以y 5x2不是方程的解;(2)或 y lncos( x a) b ,贝U ysin(xa), y21，则cos(x a) cos (x a)2，、2 d1 sin (x a).左边 y (y)1241cos (x a) cos2(x a)” 2 ,、2 ,、1 sin (x a) cos (x a) coS2 (x a)0右边，所以ylncos( x a) b为方程的解.3.求下列微分方程的通解：yy；xy11【斛】(1 )y ,dy dxxyxdy 1 y 2x 2xy,dy dxdxdydy

5、产(1 2x)dx,一1 y1 y22即 1 y Ce ,故 y Ce(2) dy 1 y 2x 2xy. dx11dy dx,lny In x In C, y Cx ;yx(1 y) 2x(1 y),曳(1 y)(1 2x),dx(1 2x)dx , ln(1 y) x x2InC ,4.求下列微分方程通解及满足初始条件的特解:dx y 2y5x, y x o 一.4【解】(1) , ydy xdx, ydydx yxdx,1 y21 o 1 一1x2C，所以22x2 C,即x2 y2 C,因为yx4 0,则C 16,即特解为：x2y2 16.(2)先求相应的齐次方程通解，- c 1 ，y

6、2y 0,-dyy2dx,ln y 2x ln C, y Ce2x ,令原方程的一个特解为yC(x)e2x,代入原方程得:C (x)e2xxe x,C (x) exe 2x,C(x)x 12 xe - xe21 2x-e4,所以原方程的通解为：y C(x)e2xCe2x ,将 y4代入,C 2 ,故原方程的特解为5.(略)习题3.11.求下列不定积分:(1)(x3)dx ； x(2)(3) axexdx.(1)(x、x 3)dxxIn x(2)(1x)2dx1-2x-x2dxx3x2)dx(3)432 . x x232x25C；axexdx(ae)xdx(ae)xln(ae)1 Ina2.求下

7、列不定积分:(1)(x 2)2dx；(2)xdx；(3)ex cosexdx；(4)1cos x21ln x . dx;dx .xx(1) (x 2)2dx(x22x1324)dx x x34x(2)xdx_ 1dx221 d(x 1)工(3)x xe cose dx(4)-cosdx x x(5) 2 ln x , dxx3.求下列不定积分:(1)xe xdx;cosexdex sin ex C ;cos1d1sin1 C;x x x, 2 . .1.3ln xd In x - In x C .3(2)x cos2 xdx ；【解】（1） xe xdxxde x (xe x e xdx)xe

8、 x e x C ;(2)x cos2 xdxxd sin 2x1,一(xsin2x sin 2xdx)2 TOC o 1-5 h z 11 xsin2x cos2x C；2431 312x d ln x) x In x x dx3321313(3) x In xdx - In xdx 一(x Inx 3313121313 xlnxx dxxlnx-x3339.求下列微分方程的通解:(1) dy exy；dx(2) y y 3x；(3) ytan x y 1 .eydylnC, y Cex,ycot x 0的通【解】(1)移项分离变量得：eydy exdx ,两边积分得两边取以e为底指数，得y

9、 Cx ；(2)先求相应的齐次方程y y 0的通解，dy dx,ln yy令原方程的一个特解为 y C(x)e x，代入原方程得：C (x)e x 3x ,故C(x) 3(x 1)ex C,所以原方程的通解 y 3(x 1) Ce x ；(3)将方程化成标准式y y cotx cot x ,先求相应的齐次方程 y解，dy cotxdx,ln y Insin x ln C,y Csinx,令原方程的一个特解为 y C(x)sin x y1并代入原万程得 C(x)sin x cotx,故C(x) C cscx C ,所以原方程的sin x通解 y 1 C sin x .求dyx(2 ydx xdy

10、)满足初始条件y x 1 4的特解.【解】原方程整理得：dy Zdx,两边求不定积分得：lny ln(1 x2) lnC y 1 x两边同取以e为底的对数得方程通解：y C(1 x2),把初始条件y x 1 4代入通解，得C 2,所以方程满足初始条件y xi 4的特解为y 2(1 x2).，y 24一、，一一,一.求y - x满足初始条件y x 1 0的特解. x【解】先求相应的齐次方程 y 0的通解，- -dx,ln y ln x ln C, y Cx , xy x令原方程的一个特解为yC(x)x,代入原方程得：C (x)x x2,即 C(x)2-C,23故原方程的通解y 2Cx ,把初始条

11、件yx 1 0代入通解，得则方程满足初始条件yx 1 0的特解为练习3.2.11.利用定积分的几何意义,判断下列各式是否成立.1 02xdx 1；(2)121 x dx0(3) sin xdx 0 ；2 cos xdx2 2 cos xdx .0【解】 以上各式均成立.2.用定积分表示由曲线x2,直线x1,x2及y 0所围成的平面区域的面积.2.【解】S x dx .13.用定积分表示由曲线ln x ,直线1一,x e2及x轴所围成的曲边梯形的面积.1【解】S 1 ln xdxe21ln xdx .练习3.2.21 .计算下列定积分:(1)3x3dx;0(2)1 x dx;(3)10(2xex

12、)dx(4)(sin xcosx)dx .(1)3x3dx081一；(2)x dx11(1x)dx1(x1)dx(x122x)1J 2.1 (2xx)(3)10(2x1)ex)dx (2xln2xxe )ln2(4)2 ,02(sinx cosx)dx ( cosx2sin x)0 0f(x)3x,xe ,1,3.3求 0 f (x)dx -3【解】 f(x)dx3 xdx3exdx13.求下列函数的导数:(x)xtsintdt;0(2)f(x)12dt.【解】（1）(x)xsin x ；练习3.2.3(2) f(x)1 t2e dtx1t2dt1 .求下列函数的定积分:(1)2 dx ;1

13、4x 3(2)2 x21 x一 dx ；1(3)x2dx ；(4)e1 In x dx .(1)2 dx1 4x(2)- dx1(3)1 x2dx(4)e 1 In x , dx1 x2 d(4x1 4xdx x 1ln 3 ln2；e1(12.求下列函数的定积分:3)3141n(4 x21(x3)-)dx 11 x2d(12)3(11一 ln5 ；42x2x ln(x 1)132a1In x)d (1 In x) (1 2In x)2练习(1)【解】(2)(3)3 ,xe1(1)3xf dx ;3xe3xdx12x cos2xdx0e 3x ln xdx11.求下列广义积分(1)(3)2.(

14、略)02xcos2xdx3xde3x1 / 3x(xe33e3x2xd sin2x01 -(xsin2x 2（3）19dx) e二3In xdx.1 3xe91cos2x 4e4ln xdx13 .一 e16161(x4lnx 41 -dx-xdx)1 , x 16(3)xex2dx1-4dx x(1)1(2)2xe x dxb 1lim4dxb 1 x1blimblimbblim(13x3(2 a 4)4limb2xd(x2)lim ( b习题3.21.求下列函数的定积分:(1) ；(x2 2)dx;(2)b1)bim13(1b0)-dx ;1 3x02sin x cosxdx ;(4)-x

15、-dx; x2 1(5)工 exdx ; ,x(6)4x;x1 xxe2dx；0(8)2cx sin xdx ;(9)exln xdx .1【解】(2)(1)(x22)dx（* 2幻40一；31 1 3xdx1E(1 3x)-In 1 3x1(ln 23ln5);0 .计算下列广义积分:|sinx cosxdxo4 (cosx sinx)dx 2 (sin x cosx)dx4(sin x cosx) 40(cosx sinx) 242(应 1);.1 x 1 112211dx 一 二d(x1) ln(x 1) 一 In 2 ;0 x2 12 0 x2 10 22e 2 ;(6)c22e In

16、 xdxe2 2ln xdln x11n3xe23 e TOC o 1-5 h z . x.xx d1 _1_ 1xe2dx 2 xde2 2(xe20001 _x_x 10e2dx) 2遍 4e2 04 2&，(8)02x2Sinxdx22x d cosx0(x2cosx20 8sxdx) 2 0 xcosxdx2cosx 20exdx)2 2 xdsinx 2xsinx 2 2 2 sin xdx 000,c、 e .,1 e, 21 , 21 e 1xlnxdx 2 11nxdx2(xlnx1（1）11 Tdx; x(2)xdx(3)0cosxdx.(1)a1 -dx xblim1 -d

17、xxblim12x2blim12，2a 0 exdx blimb xx0e dx blim( eb0)blim (10(3) cosxdx lima0cosxdxlima(sin xlima(sin a) 不存在.*3.求下列函数的导数:(1)F(x)x 2cost dt;0(2)(x)2 2uexsinudu .(2)1) F(x).2 .cost dt2cosx ;(x)ddxdx 02ud x 2ue sin udu e dx 1 2sin udu练习3.31.用定积分表不下面5个图形阴影部分的面积【解】图(1) Sbf (x)dx ;abf (x)dx;图(2) Sa(3) Scf (

18、x)dxabf (x)dx;c图(4)bS f1(x) f2(x)dx; a(5) S2.求由曲线_22y 2x , y x及直线y1所围成在第一象限的图形面积.【解】S 2(2x221x2)dx 2 1 (12x2)dxbaf2(x)f1(x)dx.a _22 一3.求由曲线y 2 x ,y x所围成的图形面积.4.已知生产某商品 x单位时，边际收益函数为 R(x)100 (元/单位)，求生产x单20位时总收益 R(x)以及平均单位收益 R(x)，并求生产这种产品 1000单位变化到2000单位时的总收益和平均单位收益的改变量.x【解】R(x) R(x)dx (100 -)dx20_x210

19、0 x 40C ,由于R(0) 0 ,所以2 x C 0 ,故总收益函数 R(x) 100 x 一，平均单位收益函数40R(x)晋 100 小2000R R(2000) R(1000) 做。R(x)dx 25000 (元)R R(2000) R(1000)25 (元/件)5.已知某产品产量的变化率是时间t的函数f（t）at b（a,b是常数），设此产品t时的产量函数为P(t),已知 P(0)0 ,求 P(t).P(t) f (t)dt (at b)dt1 .2 at bt2P(0)0知C=0,故P(t)at2 bt.复习题3选择题:1.下列哪一个不是sin 2x的原函数（A.1cos2x2C

20、B._._2 sin xC.2 cos xD.1sin2x C . 22.设 f (x) dx2x ec,则f(x)A.2e2xB.2x eC.2xD.2x e c3.若f (x)dxF(x)贝U sin xf (cosx)dx (A.F (sin x)B.F (sin x)C. F (cosx)D.F (cosx) C4.如果(2x 3x2)dx0,则k=(A.B. 1C. -1D.5 .下列积分满足牛顿莱布尼兹公式条件的有5 x3 A.0 x1 x dx1 . 1 x2D.0 . (x3xdx 5)二、填空题1 .已知f (x)12345DADBAe 1dx B.1dx C.e xln x

21、2x 1,且 x 1 时 y 2,则 f(x)2 .设 f (x) lnx2在(一，十 )上连续，d ln x2dx3.已知e x是f(x)的一个原函数，则 xf (x2)dx5 x34. 0 xr-dx 15.方程y3阶微分方程.【答案】2 .2. ln x dx ；3. ex2C ; 4.0;5.2.求不定积分(1)_5(2x 1) dx;(2)x .,dx;.2 x2(3)sin x2 cos(4)(1)(2)(3)(4)-dx .xln x_5(2x 1) dxx . dx2 x2sin x2- cos x1dx,2xln xdx_5_(2x 1)d(2x11d(222 x2-d cos xcosxInd In四.求定积分和广义积分(1)2 (113dx ； 5x)3(2)(4)1 tetdt0(5)(1)112 (11 5x)3dx3(2)cos3 xsin 2xdx 2 2 cos 0 x2)cosxC . ln x1112(2x1)62 cos3 xsin 2xdx0(3)12ex . qdx2 (11 5x)3d(115x)10(