计算机仿真技术的课件

1、第2讲 系统建模的基本方法与模型处理技术相似原理 、建模方法学 建立数学模型的方法：连续系统的数学模型，离散系统的数学模型实用建模举例:控制系统建模、几何建模、磁场建模、流体力学建模、建模等连续系统模型的离散化处理Simulation Study仿真是指利用模型对实际系统进行实验研究的过程，或者说，仿真是一种通过模型实验揭示系统原型的运动规律的方法。数据相似原理为了研究实际系统的动态性能，常常要采用数据相似的原理。数据相似原理的主要表现在：描述原型和模型的数学表达式在形式上完全相同。变量之间存在着一一对应的关系且成比例。一个表达式的变量被另一个表达式中相应变量置换后，表达式对应各项的系数保持相

2、等。数据相似原理 环境相似 就是人工在实验室里产生与所研究对象在自然界中所处环境类似的条件，比如飞机设计中的风洞，鱼雷设计中的水洞、水池等等。 性能相似 则是用数学方程来表征系统的性能，或者利用数据处理系统，来模仿该数学方程所表征的系统。性能相似原理也是仿真技术遵循的基本原理。 几何相似 就是把真实系统按比例放大或缩小，其模型的状态向量与原物理系统的状态完全相同。土木建筑、水利工程、船舶、飞机制造多采用几何相似原理进行各种仿真实验。连续系统仿真中的数学模型连续系统仿真中的数学模型有很多种，但基本上可分为三类：连续时间模型、离散时间模型及连续离散混合模型。 系统的连续时间模型通常可以有以下几种表

3、示方式：常微分方程，传递函数，权函数，状态空间描述，框图。数学模型的相互转换如控制系统仿真的过程控制系统的计算机仿真就是以控制系统的模型为基础，采用数学模型代替实际的系统，以计算机为主要工具，对控制系统进行实验和研究的一种方法。 通常，采用计算机来实现控制系统仿真的过程有以下几个方面：建立控制系统的数学模型建立控制系统的仿真模型编制控制系统的仿真程序在计算机上进行仿真实验并输出仿真结果基本控制方式 1.开环控制: 指系统的输出量对系统不产生控制作用的控制方式. 开环控制有两种情形 ：1）按给定值控制; 输出输入控制器被控对象2）按扰动补偿控制(/顺馈控制) 输入控制器被控对象补偿环节扰动控制系

4、统建模2. 闭环控制(/反馈控制): 指系统的输出信号对系统的控制作用有直接影响的控制方式. 输出检测元件输入控制器被控对象3. 复合控制: 指闭环控制与开环控制相结合的控制方式. 或者说, 是偏差控制和顺馈控制相结合的控制方式.实例系统分析（1）、请在图1中标示出a、b、c、d 应怎样连接才能成为负反馈系统？（2）、试画出系统的方框图，并简要分析系统的工作原理。 例题1： 下图是一电动机转速控制系统工作原理图：KM+E 给定u r 放大器 触发器 整流器 电抗器 电动机 负载 测速发电机 a b c + u fd u a n解： 、 a与d，b与c分别相连， 即可使系统成为负反馈系统； 、

5、系统方框图为： u fun给定u r放大器触发器整流器电动机负载测速发电机例题2：下图是一电炉温度控制系统原理示意图。试分析系统保持电炉温度恒定的工作过程，并指出系统的被控对象、被控量以及各部件的作用，最后画出系统方块图。 电炉给定电压 电压放大 功放 调压装置 220V 电阻丝 热电偶 解： 、系统工作过程及各部件的作用（略）；、 系统方框图为： 、被控对象：电炉； 被控量：电炉炉温； u fuT给定u r放大器调压器电阻丝电 炉热 电 偶控制系统的数学模型 1关于控制系统数学模型定义：用以描述控制系统动态特性及各变量之间关系的数学表达式2. 形式：时域模型（t）：微分/差分/状态方程等；复

6、域模型（s=+j）：传递函数，结构图，信号流图；频域模型（）：频率特性。3 建模方法及步骤 方法：分析法（主）和实验法； 步骤： 确定系统的输入、输出变量； 从输入端开始，依次列写各元件/环节的运动方程式（如微分方程）； 消去中间变量，并将其化为标准注形式。 注：标准形式：与输入量有关的各项放在方程右边，与输出量有关的各项放在方程左边，各阶导数项按降幂排列，并将方程中的系数通过系统的参数化具有一定物理意义系数的一种表达形式。 控制系统的数学模型 动态元件：电容、电感关于电容元件的说明(1) 线性电容元件的定义式为 ，该式对应于u,q取“一致的参考方向”，即电压极性为正的极板上带正电荷，如图所示

7、。(2) 当电压，电流取关联正向时，电容元件的伏安关系式为 ，或(3) 电容元件的电流比例于电压的变化率，这是电容元件与电阻元件的一个重要不同之处。称电容元件为动态元件。 ，其中 ，该式说明，当前时刻t 的电容电压不仅与现实的电流相关，而且与以前电流的作用情况有关，即它具有记忆电流作用的本领，故称电容元件为“记忆元件”。(6) 当电容电流为有界函数时，电容电压不可能发生“突变”（或跳变），只能连续变化，称之为电容电压的连续性，这是电容元件一个很重要的性质。(7) 电容元件中储藏的电场能量计算式为(8) 由于在任意时刻t，均有 =0，这表明电容元件是无源元件。同时它能存储电场能量，但不消耗能量，

8、故电容元件是非耗能元件，且称它为“储能元件”。 在直流电路中，通过电容的电流恒为零，称之为电容元件的“隔直作 用”；而在电路工作频率极高时，电容元件两端电压近似为零，即相 当于“短路”。关于电感元件的说明(1)当电流和磁链的参考方向符合右手螺旋法则时，线性电感元件的定义式为(2)当电感元件的电压，电流为关联正向时，其伏安关系式为 或 (3) 由电容，电感元件的伏安关系式可知， 具有类比性，称电感，电容元件为对偶元件。(4) 电感元件也是动态元件。在直流电路中，电感元件两端的电压为零，相当于短路；而当电路的工作频率极高时，电感元件近似为“开路”。(5) 当电感元件两端的电压为有界函数时，电感电流

9、不能跳变，称之为电感电流的连续性。(6)电感元件是储能元件，其储能的磁场能量的计算式为(7)与电容元件相似，电感元件是无源元件，亦是非耗能元件。 动态元件：电容、电感4 实例分析 例题1：RC无源网络电路如下图所示，试以u1为输入量，u2为输出量列写该网络的微分方程式。 i2C1C2R2R1u1u2i 1解： u1为输入量，u2为输出量； 设回路电流分别为i1，i2，如图所示；则有： i1 R1+(i1i2)dt/C1 = u1 i2 R2+ (i2dt)/C2=(i1i2)dt /C1 (i2dt) /C2 = u2 控制系统的数学模型 消去中间变量i1，i2后，化为标准形式： R1R2C1

10、C2u2+( R1C1+ R1C2+ R2C2) u2+ u2= u1 控制系统的数学模型 例题2： 在下图中，已知L=1H，C=1F，R=1，uc（0）=0.1V, i(0)=0.1A, ur(t)=1V。试求电路在通电瞬间uc（t）的变化规律。 u c（t）u r（t）CLR解：求得该电路的微分模型： 对上式两边求拉氏变换： LCs2Uc(s)-suc(0)-u c(0) +RCsUc(s)-uc(0)+ Uc(s) = Ur(s) 控制系统的数学模型 由于 u c（0）= u c（t）t=0 =i（0）/C 将已知各条件代入后有： （s2+s+1）Uc（s）= Ur（s）+0.1(s+2

11、)即通电瞬间, ur（t）=1 或 Ur（s）=Lur（t）=1/S 故再对上式两边求反拉氏变换： =1+1.15e-0.5tSin(0.866t-120)+ 0.2e-0.5tSin(0.866t+30) 控制系统的数学模型 例题3：已知某系统的数学模型为 其中x（t）, y（t）分别为输入、输出量,且知x（t）=(t), y(0-)= y (0-)=0， 求y（t）的表达式. 解: 对微分方程两边求拉氏变换： s2Y（s）-s y (0-)- y(0-)+2sy（s）- y (0-)+2Y（s）= X（s） 代入已知条件，注意X（s）=Lx（t）=L(t)=1 整理后得：Y（s）=1/（s

12、2+2s+2） 故 y（t）= L-1Y（s）= L-11/（s2+2s+2） 控制系统的数学模型 =1/2j L-1 1/（s+1-j）-1/（s+1+j）=1/2j e-（1-j）- e-（1+j） = e-tSint几何建模几何建模,划分网格磁场建模：例如，波动解存在的判据及方程分类 以平面电磁波为例，基本方程及求解过程如下：判据：可化为波动方程的物理系统存在波动解；问题：只适合具有单一波动模式的线性系统。 求形如 exp(ikx-it) 的波动解： 直接从原一阶偏微分方程组出发：存在非零解（非平凡解）的充分必要条件是 其中 为实数。注意， 即为系数矩阵 A 的本征值。判据：系数矩阵存在

13、实本征值的系统存在波动解，本征值 即波的相速度。一阶偏微分方程组分类：双曲型；椭圆型；广义双曲型流体力学建模 流体的物理量：任意空间点上流体质点的物理量在任意时刻都有确定的数值，即流体的物理量是空间位置和时间的函数，如： =(x,y,z,)； u=u(x,y,z,)；t=t(x,y,z, ) 密度场 速度场 温度场描述流体性质及其运动规律的物理量很多，如密度、压力、组成、速度、温度等。据连续介质假定，任何空间点上流体的物理量都是指位于该点上的流体质点的物理量。如密度：流体力学建模质量守恒方程： 该方程是质量守恒的总的形式，可以适合可压和不可压流动。源项 S m是稀疏相增加到连续相中的质量，（如

14、液体蒸发变成气体）或者质量源项（用户定义）。对于二维轴对称几何条件，连续方程可以写成：式中，x是轴向坐标；r 是径向坐标，u和v分别是轴向和径向速度分量。流体力学建模动量守恒方程：惯性坐标系下，i方向的动量守恒方程为：式中，p是静压； t ij是应力张量，定义为：pg i ， F i 是重力体积力和其它体积力（如源于两相之间的作用）， F i 还可以包括其它模型源项或者用户自定义源项。微分方程 最基本、最重要的数学模型是微分方程，它反映了元部件或系统动态运行的规律。建立数学模型常见的方法是解析法和实验法等。 解析法是根据系统及元部件中各变量之间所遵循的物理、化学定律，列出系统各变量之间数学表达

15、式，然后建立起系统的数学模型； 实验法是采用某些检测仪器，在现场对控制系统加入特定信号，对输出响应进行测量和分析，得到实验数据，从而建立系统的数学模型。 微分方程模型控制系统微分方程建立的一般步骤采用解析法来建立微分方程所遵循的一般步骤是：（1）确定系统或元部件的输入、输出变量。（2）根据物理和化学定律（比如：牛顿运动定律、能量守恒定律、克希霍夫定律等）列出系统或元部件的原始方程式，按照工作条件忽略一些次要因素。（3）找出原始方程式中间变量与其它因素的关系式。（4）消去原始方程式的中间变量，得到一个关于输入、输出的微分方程式。（5）进行标准化处理，将输出各项放在等号左端，输入各项放在等号右端，

16、并且按照微分方程的阶次降幂排列，同时将各系数化为具有一定物理意义的形式。 解：在RLC串联电路中，输入电压Ur为系统的输入量，输出电压c为系统的输出量。根据克希霍夫定律，可以得到回路的电压方程如下：【例】RLC串联电路，建立该系统的微分方程。 回路的电压方程：电容两端的电压为：中间变量为： 建立该系统的微分方程带入原始方程中，消去中间变量，并移项整理得： 该式即为RLC串联电路的微分方程。 线性微分方程的求解采用拉普拉斯变换求解微分方程的步骤（1）将系统的微分方程进行拉普拉斯变换，得到以S为变量的代数方程，也称为变换方程。（2）求解变换方程，得到系统输出变量的象函数表达式。（3）将输出的象函数

17、表达式展开成部分分式。（4）对部分分式进行拉普拉斯反变换，即可得到系统微分方程的解。已知某系统的数学模型为其中x(t), y(t)分别为输入、输出量, 且知x(t)=(t), y(0-)= y (0-)=0， 求y(t)的表达式. 解: 对微分方程两边求拉氏变换： s2Y(s)-s y(0-)- y(0-)+2s Y(s)- y (0-)+2Y(s)= X(s)代入已知条件，注意X(s)=Lx(t)=L(t)=1整理后得： Y(s)=1/(s2+2s+2)故 y(t) = L-1Y(s)= L-11/(s2+2s+2) =1/2j L-1 1/(s+1-j)-1/(s+1+j) =1/2j e

18、-（1-j）- e-（1+j） = e-t Sin(t)传递函数的概念1. 传递函数的定义 对于一个线性定常系统，在初始条件为零时，系统输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换之比称为该系统的传递函数。 表示为：2. 传递函数的求取 按照传递函数的定义，利用系统的微分方程进行相应的拉氏变换，即可得到系统的传递函数。3. 传递函数的性质 根据线性定常系统的传递函数表达式的分析，传递函数具备下列性质：（1）传递函数是描述线性系统或元部件动态特性的一种数学模型，在形式上与系统的微分方程一一对应。（2）传递函数只表明输入变量与输出变量之间的动态关系，不能够反映出系统内部的信息。（3）传递函数只能直接反映

19、系统在零初始状态下的动态特性，即在零时刻之前，系统在给定工作点处是相对静止的；若系统处于非零初始状态下，则传递函数无法反映系统的特性和运动规律，需要作其它方面的处理。传递函数的性质（4）传递函数完全由系统的结构、参数确定，而与输入信号的形式无关，它反映了系统本身的动态特点。对于同一系统，当选取不同的输入量和输出量时其传递函数是不同的。（5）同一个系统，对于不同作用点的输入信号和不同观测点的输出信号之间，传递函数具有相同的分母多项式，所不同的是分子多项式。在分析系统性能时，常将传递函数的分母多项式称为特征多项式，它决定着系统响应的基本特点和动态本质。（6）实际系统中，传递函数的分母多项式阶次n总

20、是大于分子多项式阶次m，这是因为控制系统总是存在“惯性”，且外部提供的能量是有限的。 （7）传递函数是一种数学抽象，无法直接由它看出实际系统的物理构造，物理性质不同的系统，完全可以有相同的传递函数表示。 典型环节及其传递函数通常，控制系统是由若干元部件有机组合而成的，从结构和作用原理来看，可以有各种各样的不同元部件，但是从动态性能和数学模型来看，可以分为几个基本的典型环节。不管元部件是机械式、电气式、液压式等，只要其数学模型一样，它们就可以归纳为同一个环节，这样给分析、研究系统性能带来很多方便。 常用的典型环节主要有比例环节、惯性环节、一阶微分环节、积分环节、振荡环节、延迟环节等6种形式。1.

21、 比例环节 比例环节也称为放大环节，其特点是环节的输出量与输入量成正比。传递函数为： 其中k为放大系数。典型环节及其传递函数2. 惯性环节 传递函数为： k为传递系数；T为惯性时间常数 3. 一阶微分环节 传递函数为： 为微分时间常数 理想的微分环节传递函数为： 典型环节及其传递函数4. 积分环节传递函数为： 式中， 称为积分时间常数。 5. 振荡环节传递函数为： 其中T为时间常数， 为阻尼系数，也称为阻尼比， 称为无阻尼自然振荡频率。典型环节及其传递函数 6. 延迟环节 延迟环节的特点是具有时间上的延迟效应，当输入量作用后，在给定一段时间之前，延迟环节的输出量一直未变化，只有到达延迟时间以后

22、，环节的输出量才无偏差的复现原信号。 延迟环节的传递函数为： 例题:在右图中，已知L=1H，C=1F，R=1。试求该网络的传递函数G(S)。 u c（t）u r（t）CLR解：求得该电路的微分模型：对上式两边求拉氏变换： LCs2Uc(s)-s uc(0)-u c(0) +RCs U c(s)- uc ( 0)+ U c(s) = Ur(s) 即LCs2Uc(s) + RCs U c(s)+ U c(s) = Ur(s) 故 G(S) = U c(s)/ Ur(s) =1/ LCs2 + R Cs+ 1 = 1/(s2+s+1)例题: 求右图所示电网络的传递函数G(S)。C2R2R1C1u1u

23、2Z2Z1U1U2C2R2R1C1u1u2解： 将电源等效为复阻抗电路 Z1=ZR1ZC1/（ZR1+ZC1）=R1/（R1C1S+1）； Z2= ZR2+ZC2 =（R2C2S+1）/C2S； G(S)=U2/U1= Z2 /（Z1 +Z2） = (R1C1S+1)(R2C2S+1)/(R1C1S+1)(R2C2S+1)+ R1C2S 状态空间描述 状态方程： 根据分析，对于某一特定系统（可以是线性或非线性的、定常或时变的），当引入n个状态变量，将其化为n个一阶微分方程组的形式，再对其采用矩阵描述，可以得到如下表达式： . X=AX+BU Y=CX 其中： A状态变量系数矩阵 B输入变量系数

24、矩阵 C输出变量系数矩阵数学模型的相互转换 在实际工程中，由于要解决系统如自动控制问题所需要的数学模型与该问题所给定的已知数学模型往往是不一致的，也可能是要解决问题最简单而又最方便的方法所用到的数学模型与该问题所给定的已知数学模型不同，此时，就需要对控制系统的数学模型进行转换。 另外，在不同的应用场合，由于实际系统所给定的数学模型形式各异，在仿真时要进行模型的转换，即将给定模型转换为仿真程序能够处理的模型形式。 通常，系统的微分方程作为描述动态性能的基本形式，当作为共性的内容进行分析时，又常常将其转换为传递函数形式，而在计算机中，利用系统的状态空间描述最方便。所以，讨论系统数学模型之间的转换具

25、有实际的指导意义。经典的连续系统仿真建模方法学 在数字计算机上进行连续系统仿真，首先要将连续模型离散化，因此，首先讨论离散化原理及要求，这是连续系统仿真的基础。 离散化原理及要求 从根本意义上讲，数字计算机所进行的数值计算仅仅是“数字”计算，它表示数值的精度受限于字长，这将引入舍入误差；另一方面，这种计算是按指令一步一步进行的，因而，还必须将时间离散化，这样就只能得到离散时间点上系统性能。用数字仿真的方法对微分方程的数值积分是通过某种数值计算方法来实现的。任何一种计算方法都只能是原积分的一种近似。因此，连续系统仿真，从本质上是对原连续系统从时间、数值两个方面对原系统进行离散化，并选择合适的数值

26、计算方法来近似积分运算，由此得到的离散模型来近似原连续模型。 离散化原理 设系统模型为： ，其中u(t)为输入变量，y(t)为系统变量；令仿真时间间隔为h，离散化后的输入变量为 ，系统变量为 ，其中 表示t=kh。如果 ， 即 ， （对所有k=0,1,2,），则可认为两模型等价，这称为相似原理 。离散化原理实际上，要完全保证 是很困难的。进一步分析离散化引入的误差，随着计算机技术的发展，由计算机字长引入的舍入误差可以忽略，关键是数值积分算法，也称为仿真建模方法。相似原理用于仿真时，对仿真建模方法有三个基本要求：（1）稳定性：若原连续系统是稳定的，则离散化后得到的仿真模型也应是稳定的。 （2）准

27、确性：有不同的准确性评价准则，最基本的准则是： 绝对误差准则： 相对误差准则：其中 规定精度的误差量。 离散化原理（3）快速性：如前所述，数字仿真是一步一步推进的，即由某一初始值出发，逐步计算，得到，每一步计算所需时间决定了仿真速度。若第k步计算对应的系统时间间隔为计算机由计算需要的时间为Tk，则，若Tk=hk称为实时仿真，Tkhk称为超实时仿真，而大多数情况是Tkhk ，对应于离线仿真。 数值积分法原理连续系统数字仿真中离散化最基本的算法是数值积分算法。对于形如 的系统，已知系统变量y的初始条件y(t0)=y0，现在要求y随时间变化的过程y(t)。计算过程可以这样考虑：首先求出初始点的y(t

28、0)= y0的f(t0 , y0)，微分方程可以写作：数值积分法原理_欧拉法欧拉法用矩形面积近似表示积分结果，也就是当t=t1时，y(t1)的近似值为 y1 ：重复上述作法，当对任意时刻t=tk+1时有： 令 称为第 步的计算步距。若积分过程中步距不变 ，可以证明，欧拉法的截断误差正比于 。 数值积分法(微分方程初值问题数值计算法):微分方程在已知初值情况下进行求解数值积分方法采用递推方式进行运算，而采用不同的积分方法会引进不同的计算误差，为了提高计算精度，往往会增加运算量。就同一种积分算法而言，为提高计算精度，减小积分步距,计算量增大，影响系统运算速度。因此，计算精度和速度是连续系统仿真中常迂到的一对矛盾，也是数字仿真中