工程数学课程教学大纲

1、工程数学课程教学大纲（总学时数：48，学分数：3）一、课程的性质、任务和目的工程数学是工科专业的一门专业基础课，讲授工程数学的基础知识。通过本课程的教学，使学生初步掌握该课程的基础概念、基础理论与基础方法，为学习后续课程及进一步扩大数学知识奠定必要的数学基础。通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象概括问题和逻辑推理能力、基础的运算和自学能力，特别注意培养学生具有较强的综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。二、课程基本内容和要求 （一）复数与复变函数1. 基本内容(1)基本概念：复数、区域、复球面与无穷远点、复变函数的极限与连续(2)基本理论：复数的表示、闭区域上连续函数的性质(3)基本方法

2、：复数的运算法则、复平面上曲线、区域的表示方法2. 基本要求(1)复数的各种表示方法及其运算（掌握）(2)区域、简单曲线的概念，掌握用复数式表达常见区域、简单曲线的方法（了解）(3)复球面与无穷远点（了解）(4)复变函数及映射的概念（理解）(5)复变函数的极限和连续的概念（理解），闭区域上连续函数的性质（了解）重点：复变函数及映射、复变函数的极限和连续难点：复变函数的极限和连续（二）解析函数1. 基本内容(1)基本概念：复变函数的导数及复变函数解析、调和函数、常见的初等函数（指数函数、三角函数、双曲函数、对数函数及幂函数）(2)基础理论：复变函数解析的充要条件、调和函数和解析函数的关系(3)基

3、础方法：导数的计算、由解析函数的实（虚）部求其虚（实）部2. 基本要求(1)复变函数的导数及复变函数解析的概念（理解）(2)复变函数解析的充要条件（掌握）(3)调和函数的概念及其与解析函数的关系（了解），利用解析函数的实（虚）部求其虚（实）部（掌握）(4)指数函数、三角函数、双曲函数、对数函数及幂函数的定义及它们的主要性质（包括在单值域中的解析性）（了解），相关计算（掌握）重点：复变函数的导数及复变函数解析难点：从解析函数的实（虚）部求其虚（实）部（三）复变函数的积分1. 基本内容(1)基本概念：积分的定义、原函数与不定积分(2)基本理论：柯西积分定理、连续变形原理、柯西积分公式、高阶导数公式

4、(3)基本方法：复变函数积分的计算2. 基本要求(1)复变函数积分定义及性质（理解），通过两个二元实函数的线积分求复变函数的积分（掌握）(2)柯西积分定理及其在多连通域内的推广（理解）(3)柯西积分公式，连续变形原理公式（掌握）(4)解析函数的高阶导数公式（掌握），解析函数无限次可导的性质（了解）重点：原函数与不定积分，柯西积分公式，复变函数积分的计算难点：柯西积分定理、连续变形原理（四）级数1. 基本内容(1)基本概念：复数项级数收敛、发散及绝对收敛等概念、幂级数和洛朗级数及其收敛与发散的概念、孤立奇点(2)基本理论：阿贝尔定理、幂级数（洛朗级数）在收敛圆（收敛圆环）内的一些性质、泰勒（洛朗

5、）展开定理(3)基本方法：幂级数（洛朗级数）的收敛范围的确定、圆域（圆环域）内的解析函数的幂级数（洛朗级数）展开、奇点类型的判定2. 基本要求(1)复数项级数收敛、发散及绝对收敛等概念（理解）(2)幂级数收敛的阿贝尔定理（了解），计算幂级数的收敛半径（掌握），幂级数在收敛圆内的一些基本性质（了解）(3)泰勒定理（了解），解析函数表示成指定形式的幂级数的方法（掌握）(4)常用的马克劳林展开式（了解），并会利用它们将一些简单的解析函数展开为幂级数（掌握）(5)洛朗定理（了解）(6)用间接方法将简单的函数在其孤立奇点附近展开为洛朗级数（掌握）重点：将一个解析函数表示成指定形式的幂级数难点：奇点类型的

6、判定（五）留数1. 基本内容(1)基本概念：留数概念(2)基本理论：留数定理(3)基本方法：留数的计算规则、围道积分法2. 基本要求(1)留数概念，极点处留数的求法（掌握）(2)留数定理（掌握）(3)用留数定理求围道积分的方法（掌握）重点：留数定理难点：留数的计算规则、围道积分法（六）傅立叶变换1. 基本内容(1)基本概念：傅氏变换及其逆变换、单位脉冲函数、频谱、傅氏卷积(2)基本理论：傅氏积分定理、卷积(3)基本方法：傅氏变换、卷积2. 基本要求(1)傅氏变换及其逆变换的概念（理解），傅氏变换的性质（掌握），简单函数的傅氏变换（掌握）(2)傅氏积分定理（理解）(3)单位脉冲函数及其傅氏变换（

7、掌握）(4)非周期函数的频谱（了解）(5)卷积的概念（了解），卷积定理（了解）重点：傅氏变换及其逆变换、傅氏积分定理、卷积难点：卷积定理（七）拉普拉斯变换1. 基本内容(1)基本概念：拉氏变换及其逆变换，拉氏卷积(2)基本理论：拉氏变换的存在定理，拉氏逆变换公式，卷积定理(3)基本方法：拉氏变换、卷积、微分积分方程的拉氏变换求解方法2. 基本要求(1)拉氏变换及其逆变换的概念（理解），拉氏变换的性质（掌握），简单函数的拉氏变换（掌握）(2)拉氏变换存在定理（了解）(3)拉氏变换公式（掌握）(4)卷积的概念（理解），卷积定理（了解）(5)微分方程的拉氏变换求解方法（掌握）重点：拉氏变换及其逆变换

8、，拉氏卷积, 卷积定理难点：微分方程的拉氏变换求解方法三、学时分配表序号内 容讲授小计1复数与复变函数662解析函数663复变函数的积分884级数665留数666傅立叶变换887拉普拉斯变换88合计4848四、有关说明（一）先修课程高等数学（二）教学参考书1. 钟玉泉 复变函数 北京：高等教育出版社2. 陈荣军 文传军 复变函数与积分变换 南京：南京大学出版社 3. HYPERLINK /s/ref=dp_byline_sr_book_1?ie=UTF8&field-author=%E6%9D%8E%E7%BA%A2&search-alias=books 李红 HYPERLINK /s/ref=dp_byline_sr_book_2?ie=UTF8&field-author=%E8%B0%A2%E6%9D%BE%E6%B3%95&search-alias=books 谢松法 复变函数与积分变换 北京：高等教育出版社 4. HYPERLINK /s/ref=dp_byline_sr_book_1?ie=UTF8&field-author=%E8%8B%8F%E5%8F%98%E8%90%8D&search-alias=bo