2022年三角函数复习教案复习进程

1、资料收集于网络,如有侵权请联系网站删除【讲练平台】例 1 已知角的终边上一点P（3 ,m）,且 sin = 2 4 m,求 cos 与 tan 的值分析 已知角的终边上点的坐标,求角的三角函数值,应联想到运用三角函数的定义解题,由 P 的坐标可知,需求出 m 的值,从而应寻求 m 的方程解 由题意知 r= 3m 2 ,就 sin = mr = 3m m2又 sin = 4 m,2 3m m2 = 4 2 mm=0,m=5 当 m=0 时, cos = 1 ,tan =0 ；当 m= 5 时, cos = 4, tan = 6 15 3；当 m= 5 时, cos = 4,tan = 6 15

2、3点评 已知一个角的终边上一点的坐标,求其三角函数值,往往运用定义法 三角函数的定义 解决例 2 已知集合 E= cos sin ,0 2 ,F= tan sin ,求集合 E F分析对于三角不等式,可运用三角函数线解之解E= 5 4 , F = 2 ,或 3 2 2 ,4例 3 EF= 2 设 是其次象限角,且满意sin 2 |= sin, 2是哪个象限的角. 2解 是其次象限角,2k + 2 2k +3, kZ点评k + 4 2k + 3 4,kZ 2是第一象限或第三象限角又 sin 2 |= sin 2, sin 20. 2是第三、第四象限的角由、知, 2是第三象限角已知 所在的象限,求

3、 2或 2 等所在的象限,要运用终边相同的角的表示法来表示,否就易出错word 可编辑资料收集于网络,如有侵权请联系网站删除第 2 课 同角三角函数的关系及诱导公式【考点指津】把握同角三角函数的基本关系式：sin 2 +cos 2 =1,sincos =tan ,tan cot =1,把握正弦、 余弦的诱导公式能运用化归思想 （即将含有较多三角函数名称问题化成含有较少三角函数名称问题）解题【讲练平台】例 1 分析 解点评化简sin2 - tan + cot- - cos - tan3 - 式中含有较多角和较多三角函数名称,如能削减它们的个数,就式子可望简化原式 = （ -sin ） tan -

4、cot + = -sin tan -cot -cos tan - -cos -tan = sin cos sin=1 cos将不同角化同角, 不同名的三角函数化成同名的三角函数是三角变换中常用的方法例 2 分析如 sin cos = 1 8, 4, 2 ,求 cos sin 的值已知式为 sin 、cos 的二次式,欲求式为sin 、cos 的一次式,为了运用条件,须将 cos sin 进行平方解 cos sin 2=cos 2 +sin 2 2sin cos =11 4 = 3 4 4,2 , cos sin cos sin = 2 3 变式 1 条件同例,求 cos +sin 的值3 变式

5、 2 已知 cos sin = 2, 求 sin cos ,sin +cos 的值点评 sin cos ,cos +sin , cos sin 三者关系紧密,由其中之一,可求其余之二例 3 已知 tan =3求 cos 2 +sin cos 的值tan分析由于 cos 2 +sin cos 是关于 sin 、cos 的二次齐次式,所以可转化成的式子解原式 =cos 2 +sin cos = cos cos 2 +sin cos2 +sin 2= 1+tan 1+tan 2= 2 5点评1关于 cos 、sin 的齐次式可转化成tan 的式子2留意 1 的作用 :1=sin 2 +cos2 等w

6、ord 可编辑资料收集于网络,如有侵权请联系网站删除第 3 课 两角和与两角差的三角函数（一）【考点指津】把握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式,把握二倍角的正弦、余弦、正切公式,能运用化归思想（将不同角化成同角等）解题【讲练平台】例 1 已知 sin sin =13,cos cos = 12,求 cos 的值分析 由于 cos =cos cos +sin sin 的右边是关于 sin 、cos 、sin 、cos 的二次式,而已知条件是关于 平方sin 、sin 、cos 、cos 的一次式,所以将已知式两边解点评例 2 分析 sin sin =1 3,cos cos = 1 2,2 2

7、,得 22cos = 13 36cos = 72 59审题中要善于查找已知和欲求的差异,设法排除差异求2cos10 -sin20的值cos20式中含有两个角,故需先化简留意到10 =30 20 ,由于 30 的三角函数值已知,就可将两个角化成一个角解10 =30 20 ,原式 =2cos30 -20 -sin20 cos20点评 例 3 分析= 2cos30 cos20 +sin30 sin20 -sin20= 3 cos30=3 cos20cos20化异角为同角,是三角变换中常用的方法已知： sin + =2sin 求证： tan =3tan + 已知式中含有角2 + 和 ,而欲求式中含有角

8、 和 + ,所以要设法将已知式中的角转化成欲求式中的角解2 + = + + , = + ,sin + + =2sin + sin + cos +cos + sin =2sin + cos +2cos + sin 如 cos + 0 ,cos 0,就 3tan + =tan 点评审题中要认真分析角与角之间的关系,善于运用整体思想解题,此题中将 +看成一个整体word 可编辑资料收集于网络,如有侵权请联系网站删除第 4 课 两角和与两角差的三角函数（二）【考点指津】把握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；把握二倍角的正弦、余弦、正切公式；能敏捷运用和角、差角、倍角公式解题【讲练平台】例 1 求以

9、下各式的值（1）tan10 tan50 + 3 tan10 tan50 ；（3 tan12 -3） csc122 4cos 212 -21解 原式 =tan10 +50 （1tan10 tan50 ） + 3 tan10 tan50 = 3 （ 2）分析 式中含有多个函数名称,故需削减函数名称的个数,进行切割化弦（3 sin123）1 3 3解 原式 = cos122 cos24sin12= cos 122 cos 24 sin 121 3= 3 sin 12 3 cos 12 2 3 2 sin 122 cos 12 2 sin 12 cos 12 cos 24 1sin 4824 3 si

10、n 12 60 = 4 3 .sin 48点评（1）要留意公式的变形运用和逆向运用,留意公式 tanA+tanB=tanA+B （12 2tanAtanB ）, asinx+bsinx= a b sinx+ 的运用；（ 2）在三角变换中,切割化弦是常用的变换方法例 2 求证1+sin4 -cos42 tan = 1+sin4 +cos41-tan 2分析 三角恒等式的证明可从一边开头,证得它等于另一边；也可以分别从两边开头,证得都等于同一个式子；仍可以先证得另一等式,从而推出需要证明的等式由欲证的等式可知,可先证等式 1+sin4 -cos41+sin4 +cos4 =1-tan 2tan2,

11、此式的右边等于 tan2 ,而此式的左边显现了“1cos4 ” 和“1+cos4 ” ,分别运用升幂公式可显现角 2 ,sin4 用倍角公式可显现角 2 ,从而等式可望得证证略点评 留意倍角公式 cos2 =2cos 2 1,cos2 =1 2sin 2 的变形公式：升幂公式1+cos2 =2cos 2 ,1cos2 =2sin 2 ,降幂公式 sin 2 = 1-cos22,cos 2 = 1cos22的运用；三角恒等式证明的方法：从一边推得另一边；左右归一,先证其等价等于等式；分析法等word 可编辑资料收集于网络,如有侵权请联系网站删除例 3 已知 cos 4 +x= 5,17 12 x

12、 7 4,求 sin2x sin2xtanx的值如 1=tan解 原式 = sin2x（1tanx）1-tanx=sin2x tan 4tanx=sin2xtan （ 4 +x） 1-tan 4 tanx= cos2x+ 4 tanx+ 4 = 2cos 2x+ 1tan（ 4 +x）17 12x 7 4, 5 3x+ 42 sin 4 +x = 4 5, tan（ 4 +x ）=4 3原式= 28 75点评（1）留意两角和公式的逆用； （2）留意特殊角与其三角函数值的关系,4等；（ 3）留意化同角,将所求式中的角x 转化成已知条件中的角x+ 4word 可编辑资料收集于网络,如有侵权请联系网

13、站删除第 5 课 三角函数的图象与性质（一）【考点指津】明白正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质,能运用数形结合的思想解决问题,能争论较复杂的三角函数的性质【讲练平台】例 1 （1）函数 y= lg 1 tan x 的定义域为1 2 sin x2如 、 为锐角, sin cos ,就 、 满意（C） A B C + 2 D + 21-tanx 0,分析（1）函数的定义域为 * 的解集,由于 y=tanx 的最小正1-2sinx 0.周期为 ,y=sinx 的最小正周期为 2 ,所以原函数的周期为 2 ,应结合三角函数 y=tanx和 y=sinx 的图象先求出 2, 3 2 上满意（ *

14、）的 x 的范畴,再据周期性易得所求定义域 5为x 2k 2x2k + 6,或 2k + 6 x2k +5,kZ 分析（ 2）sin 、cos 不同名,故将不同名函数转化成同名函数,cos 转化成 sin 2 ,运用 y=sinx 在 0, 2的单调性,便知答案为 C点评 （1）争论周期函数的问题,可先争论一个周期内的情形,然后将其推广；（2）解三角不等式,要留意三角函数图象的运用；（数值的大小例 2 判定以下函数的奇偶性：3）留意运用三角函数的单调性比较三角函1y= sinxcosx；2y=1sinxcosx.fx1cosx1sinxcosx分析争论函数的奇偶性,需第一考虑函数的定义域是否关

15、于原点对称,然后考否等于 fx 或 fx 解 （1）定义域关于原点对称,分子上为奇函数的差,又由于1+cosx=2cos2x 2,所以分母为偶函数,所以原函数是奇函数（2）定义域不关于原点对称（如x= 2,但 x 2）,故不是奇函数,也不是偶函数点评 将函数式化简变形,有利于判定函数的奇偶性word 可编辑资料收集于网络,如有侵权请联系网站删除例 3 求以下函数的最小正周期：（1）y=sin2x 6 sin2x+ 3 ；2y= sin 2 x sin 2 x3 .cos 2 x cos 2 x 3分析 对形如 y=Asin x+ 、y=Acos x+ 和 y=Atan x+ 的函数,易求出其周

16、期,所以需将原函数式进行化简 解（1）y=sin2x 6 sin2x+ 2 6 = 1 2sin4x 3 ,所以最小正周期为 24 = 21 3 3 3sin 2 x sin 2 x cos 2 x sin 2 x cos 2 x（2）y= 2 2 = 2 2cos 2 x cos 2 x 1 sin 2 x 3 3 cos 2 x 3 sin 2 x2 2 2 23= 33 tantan 2 x2 x 1 tan 23 x3 tan 2 x6 .是小正周期为 21 tan 2 x3点评 求复杂函数的周期,往往需先化简,其化简的目标是转化成 y=Asin x+ k 或 y=Acos x+ k

17、或 y=Atan x+ k 的形式（其中 A、 、 、k 为常数, 0）例 4 已知函数 fx=5sinxcosx 53 cos 2x+523xR 1求 fx 的单调增区间；（2）求 fx 图象的对称轴、对称中心5分析 函数表达式较复杂,需先化简解 fx= 2sin2x 5 3 1+cos2x252 3=5sin2x 3 （1）由 2k 22x32k + 2,得 k 12,k +5 12（ kZ）为 fx 的单调增区间（2）令 2x 3 =k + 2,得 x= k 2 +5 12（kZ）,就 x= 2 +5 12（kZ）为函数y=fx 图象的对称轴所在直线的方程,令 2x3 =k ,得 x=k

18、 2 + 6（kZ）,y=fx图象的对称中心为点（k2 + 6,0）（kZ）点评 争论三角函数的性质,往往需先化简,以化成一个三角函数为目标；争论 y=Asin x+ 0的单调区间,应将 x+ 看成一个整体,设为 t,从而归结为争论 y=Asint 的单调性word 可编辑资料收集于网络,如有侵权请联系网站删除第 6 课 三角函数的图象与性质（二）【考点指津】明白正弦函数、余弦函数、正切函数的图象,会用“ 五点法” 画正弦函数、余弦函数和函数 y=Asin x+ 的图象,懂得参数A、 、 的物理意义把握将函数图象进行对称变换、平移变换、伸缩变换会依据图象供应的信息,求出函数解析式【讲练平台】例

19、 1 函数 y=Asin （ x+ A 0, 0, 2的最小值为 2,其图象相邻的最高点和最低点横坐标差 3 ,又图象过点（0,1）,求这个函数的解析式分析 求函数的解析式,即求 A、 、 的值 A 与最大、最小值有关,易知 A=2 ,与周期有关,由图象可知,相邻最高点与最低点横坐标差3 ,即T 2=3 得 T=6 ,所以 =3所以 y=2sin x 3+ ）,又图象过点（0,1）,所以可得关于 的等式,从而可将 求出,易得解析式为y=2sinx 3）6解略点评 y=Asin x+ 中的 A 可由图象的最高点、最低点的纵坐标的确定, 由周期的大小确定, 的确定一般采纳待定系数法,即找图像上特殊

20、点坐标代入方程求解,也可由 的几何意义（图象的左右平移的情形）等确定（请看下例）例 2 右图为某三角函数图像的一段（1）试用 y=Asin （ x+ 型函数表示其解析式；y （2）求这个函数关于直线 x=2 对称的函数解析式解：（ 1）T= 1333=4 3 13 =2 T = 12又 A=3 ,由图象可知3 O 3 3 x 所给曲线是由 y=3sin x 沿 x 轴向右平移 而得到的2 3解析式为 y=3sin1 2x31 2设（ x,y为 y=3sin 2x6）关于直线 x=2 对称的图像上的任意一点,就该点关于直线 x=2 的对称点应为（4 x,y,故与 y=3sin 1 2x6）关于直

21、线 x=2 对称的函数解析式是 y=3sin1 2（4 x6=3sin1 2x6）点评 y=sin x+ 0的图象由 y=sin x 的图象向左平移（ 0）或向右平移（ 0）| | 个单位 特殊要留意不能搞错平移的方向和平移的单位数量求一个函数的图象关于一条直线对称图象的函数解析式时,要留意解几学问的运用word 可编辑资料收集于网络,如有侵权请联系网站删除例 3 已知函数y=2cos 1 2x+ 3 2sinxcosx+1 x R1（纵坐标 21当 y 取得最大值时,求自变量x 的集合；（ 2）该函数图象可由y=sinxx R的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？解 1y= 121+cos2x

22、+ 3 1 2sin2x +1= 1 2sin2x+ 6+ 5 422当 2x+ 6=2k + 2,即 x=k + 6,k Z 时, ymax= 7 42）由 y=sinx 图象左移个单位,再将图象上各点横坐标缩短到原先的6不变）,其次将图象上各点纵坐标缩短到原先的 5 4个单位即可1（横坐标不变）,最终把图象向上平移 2摸索仍有其他变换途径吗？如有,请表达、“ 横坐标不变”等术语（ 2）点评（1）回答图像的变换时,不能省略 “ 纵坐标不变”周期变换后的左右平移要留意平移单位的变化word 可编辑资料收集于网络,如有侵权请联系网站删除第 7 课 三角函数的最值【考点指津】把握基本三角函数 y=

23、sinx 和 y=cosx 的最值,及取得最值的条件；把握给定区间上三角函数的最值的求法；能运用三角恒等变形,将较复杂的三角函数的最值问题转化成一个角的一个三角函数的最值问题【讲练平台】例 1 求函数 fx=sin 2x+2sinxcosx+3cos 2x 的最大值,并求出此时 x 的值分析 由于 f（x）的表达式较复杂,需进行化简解 y=sin 2x+cos 2x+sin2x+1+cos2x=sin2x+cos2x+2= 2 sin2x+ 4+2 当 2x+ 4=2k + 2, 即 x=k + 8kZ时, ymax= 2 +2 点 评 要 熟 练把握 y=asinx+bcosx 类型 的三

24、角 函数 最 值的 求法 , asinx+bcosx= a 2+b 2sin（ x+ ） 例 2 如 12, 12,求函数 y=cos 4+ ）+sin2 的最小值分析 在函数表达式中, 含有两个角和两个三角函数名称,如能化成含有一个角和一个三角函数名称的式子,就问题可得到简化 解 y=cos 4+ cos2 + 4=cos 4+ 2cos 2 + 41 1 =2cos 2 + 4+cos 4+ +1 =2cos 2 + 42cos + 4+1 =2 cos + 44 12+ 89 12, 12, 46,312cos + 42,3 y 最小值 = 3 12点评 （1）三角函数表达式转化成一个角

25、的一个三角函数的形式（即 fsinx 或 gcosx,是常见的转化目标；（2）形如 y=fsinx 或 y=gcosx 的最值,常运用 sinx,cosx 的有界性,通过换元转化成 y=at 2+bt+c 在某区间上的最值问题； （3）对于 y= Asin x+ 或 y=Acos x+ 的最值的求法,应先求出 t= x+ 的值域,然后再由 y=Asint 和 y=Acost 的单调性求出最值例 3 试求函数 y=sinx+cosx+2sinxcosx+2的最大值和最小值分析 由于 sinx+cosx 与 sinxcosx 可以相互表示,所以令sinx+cosx=t ,就原三角函数的最值问题转化

26、成y=at2+bt+c 在某区间上的最值问题2 ,2 ,解 令 t=sinx+cosx ,就 y=t+t2+1=t+1 22+3 4,且 ty min=3 4,ymax=3+ 2 点评 留意 sinx+cosx 与 sinxcosx 的关系,运用换元法将原三角函数的最值问题转化成y=at 2+bt+c 在某个区间上的最值问题word 可编辑资料收集于网络,如有侵权请联系网站删除第 8 课 解斜三角形【考点指津】把握正弦定理、余弦定理,能依据条件,敏捷选用正弦定理、余弦定懂得斜三角形能依据确定三角形的条件,三角形中边、角间的大小关系,确定解的个数能运用解斜三角形的有关学问,解决简洁的实际问题【讲

27、练平台】例 1 在 ABC 中,已知 a=3,c=3 3 , A=30 ,求 C 及 b 分析 已知两边及一边的对角,求另一边的对角,用正弦定理留意已知两边和一边的对角所对应的三角形是不确定的,所以要争论解 A=30 , ac,csinA=33 a,此题有两解2sinC=csinA a= 331= 3 , C=60 ,或 C=120 232当 C=60 时, B=90 , b=a 2+b2 =6当 C=120 时, B=30 , b=a=3点评 已知两边和一边的对角的三角形是不确定的,解答时要留意争论例 2 在 ABC 中,已知 acosA=bcosB ,判定ABC 的外形分析 欲判定ABC

28、的外形,需将已知式变形式中既含有边也含有角,直接变形难以进行,如将三角函数换成边,就可进行代数变形,或将边换成三角函数,就可进行三角变换解 方法一：由余弦定理,得 a （b 2+c2bc 2a 2）=b （a 2+c2ac 2b 2）,a 2c 2 a 4b 2c 2+b 4=0 a 2b 2c 2a 2 b 2=0 a 2b 2=0,或 c 2a 2b 2=0a=b,或 c 2=a 2+b 2 ABC 是等腰三角形或直角三角形方法二：由acosA=bcosB,得2RsinAcosA=2RsinBcosB sin2A=sin2B 2A=2B ,或 2A= 2BA=B ,或 A+B= 2 ABC

29、 为等腰三角形或直角三角形点评如已知式中既含有边又含有角,往往运用余弦定理或正弦定理,将角换成边或将边换成角,然后进行代数或三角恒等变换例 3 已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB=2 ,B A D BC=6,CD=DA=4 ,求四边形ABCD 的面积分析四边形 ABCD 的面积等于ABD 和 BCD 的面积之和,由三角形面积公式及A+C= 可知,只需求出 A 即可所以,只需查找A 的方程O 解连结 BD ,就有四边形ABCD 的面积word 可编辑C 资料收集于网络,如有侵权请联系网站删除S=S ABD +S CDB=1 2AB AD sinA+ 1 2BC CD sinCA+C=18

30、0 , sinA=sinC 故 S=1 2（2 4+6 4）sinA=16sinA 22AB ADcosA=20 16cosA 在 ABD 中,由余弦定理,得BD2=AB2+AD在 CDB 中,由余弦定理,得BD2=CB2+CD22CB CDcosC=5248cosC2016cosA=52 48cosCcosC=cosA, 64cosA=32, cosA=1 2又 0 A180 , A=120 故 S=16sin120 =8 3 a A P 点评 留意两个三角形的公用边在解题中的运用例 4 墙壁上一幅图画,上端距观看者水平视线b 米,b B 下端距水平视线a 米,问观看者距墙壁多少米时,才能使

31、观看者上、下视角最大C 分析如图,使观看者上下视角最大,即使APB 最大,所以需查找APB 的目标函数由于已知有关边长,所以考虑运用三角函数解之解设观看者距墙壁x 米的 P 处观看, PCAB ,AC=b ,BC=a0 ab,就 APB= 为视角baab 时视角最大y=tan =tanAPC BPC=tanAPCtan BPC 1+ tan APCtan BPC =1xbx axx= baab x+ x2 ab , 当且仅当 x= ab x , 即 x=ab 时, y 最大由 （ 0, 2）且 y=tan 在（ 0, 2）上为增函数,故当且仅当x=点评留意运用直角三角形中三角函数的定义解决解三

32、角形的有关问题大面积word 可编辑资料收集于网络,如有侵权请联系网站删除【单元检测】单元练习（三角函数）（总分 100 分,测试时间 100 分钟）一、挑选题：本大题共 12 小时,每道题 3 分,共 36 分在每道题给出的四个选项中,只有哪一项符合题目要求的1如角 满意 sin2 0,cos sin 0,就 在（）A 第一象限 B其次象限 C第三象限 D第四象限2如 fxsinx 是周期为 的偶函数,就 fx 可以是（）A sin2x Bcosx Csinx Dcox2x 3如 sinx= m+5,cosx=42 m m+5,且 x 2, ,就 m 的取值范畴为（）A 3m9 Bm=8 C

33、m=0 Dm=0 或 m=8 4函数 fx=log 1 sin2x+cos2x 的单调递减区间是（）3A （k 4,k + 8）kZ B（ k 8,k + 8）kZ C（k + 8, k +3 8）kZ D（ k + 8,k + 5 8）kZ 5在 ABC 中,如 2cosBsinA=sinC ,就 ABC 的外形肯定是（）A 等腰直角三角形 B直角三角形 C等腰三角形 D等边三角形a+b+c6 ABC 中, A=60 , b=1,其面积为 3 ,就 sinA+sinB+sinC 等于（）2 39 26 3 39 A 3 3 B3 C3 D27已知函数 y= 2 cos x+ 0 2）在一个周

34、期 y 内的函数图象如图,就（）2 A T= 6 5, = 4 BT= 3 2, = 43 3 20 O 4 x CT=3 , =4 DT=3 , = 42 8将函数 y=fxsinx 的图象向右平移 4个单位后,再作关于 x 轴的对称变换,得到函数 y=12sin 2x 的图象,就 fx 可以是（）A cosx B2cosx Csinx D2sinx 9函数 fx=Msin x+ 0在区间 a,b上是增函数,且 fa= M,fb=M ,就函数 gx=Mcos x+ 在区间 a,b上（）A是增函数 B是减函数C可以取得最大值 M D可以取得最小值M 10在ABC 中, C90 ,就 tanAtanB 与 1 的关系适合（）AtanAtanB1 B anAtanB1 CtanAtanB=1 D不确定11设 是其次象限角,就必有（A ）Acot 2tan2 Btan 2cot 2word 可编辑资料收集于网络,如有侵权请联系网站删除 Csin 2cos 2 Dsin 2cos 212如 sin tan cot 2 2 ,就 （）A（ 2, 4）B（4,0）C（0, 4）D（ 4, 2）二、填空题：本大题共 4 小题,每道题 3 分,共 12 分,把答案