量子力学复习提纲

1、量子力学复习提纲一、基本假设1、（1）微观粒子状态的描述（2）波函数具有什么样的特性（3）波函数的统计解释2、态叠加原理（说明了经典和量子的区别）3、波函数随时间变化所满足的方程薛定谔方程4、量子力学中力学量与算符之间的关系5、自旋的基本假设二、三个实验1、康普顿散射（证明了光子具有粒子性）第一章2、戴维逊-革末实验（证明了电子具有波动性）第三章3、史特恩-盖拉赫实验（证明了电子自旋）第七章三、证明1、粒子处于定态时几率、几率流密度为什么不随时间变化；2、厄密算符的本征值为实数；3、力学量算符的本征函数在非简并情况下正交；4、力学量算符的本征函数组成完全系；5、量子力学测不准关系的证明；6、常

2、见力学量算符之间对易的证明；7、泡利算符的形成。四、表象算符在其自身的表象中的矩阵是对角矩阵。五、计算1、力学量、平均值、几率；2、会解简单的薛定谔方程。第一章绪论1、德布洛意假设：德布洛意关系：戴维孙-革末电子衍射实验的结果：2、德布洛意平面波：寸=Ae削p*Et）WIp3、光的波动性和粒子性的实验证据：4、光电效应：5、康普顿散射：附：（1）康普顿散射证明了光具有粒子性（2）戴维逊-革末实验证明了电子具有波动性（3）史特恩-盖拉赫实验证明了电子自旋第二章波函数和薛定谔方程量子力学中用波函数描写微观体系的状态。波函数统计解释：若粒子的状态用W）描写，W *W dT = lv I2dT表示在t

3、时刻，空间r处体积元&内找到粒子的几率（设*是归一化的）。态叠加原理：W = c W设W1，W2，A* n A是体系的可能状态，那么，这些态的线性叠加 n n也是体系的一个可能状态。也可以说，当体系处于态*n时，体系部分地处于态W1，W2，A W n 中。n任何一个波函数W，t）都可以看做是各种不同动量的平面波的迭加。波函数随时间的变化规律由薛定谔方程给出： TOC o 1-5 h z .d*甲句i = - V2* + V （r, t ）Wdt2旦当势场V （冏不显含时间时，其解是定态解W n （ r，t ） =W n （冏） f ，W n （冏满足定态薛定谔方程 HW n= E* n其中H

4、=-虫V 2 + V （习t）L 2H_注：定态薛定谔方程即能量算符的本征方程。 波函数的归一化条件：j I* |2dT =1 （对整个空间积分）（全）相对几率分布：波函数常数因子不定性；*（冏c*（乃波函数相位因子不定性：波函数的标准条件：波函数一般应满足三个基本条件：连续性，有限性，单值性。 i n （）祁 一 a 八 几率流密j = 2V* * -* *V* J度与几率密度P=*叩满足连续性方程 矛+ V j =定态所需的条件：一维无限深方势阱0，0 x a若V=n -IX3， x ai2 . n冗xJ sin本征值Enn T，2，3 , A 本征函数 W n= j Y a a1，（2）

5、若 y = 0， a则本征值 E =丝堕n8旦 a 2自由粒子波函数（推导过程）11 n / .、I sin (x + a),本征函数W n= p1 a2a0，n = 1,2,3,.| x | ar i)12-维谐振子 y =严2 x2本征值 En= n J，n = 0,1,2 , , 以,呻本征函数 n= Nne 一心2 Hn广顷、.，以=f13、可以用分离变量法求解得到（在笛卡尔坐标中）三维各向同性谐振子的能级和波函数。能级 r 3)E = n + n + n + rp nxnynz I x y Z 2)n , n , n = 0,1,2,A=N N N e-22 2H (a x) H (

6、anx ny nznxny第三章量子力学中的力学量1.量子力学中的力学量用线性厄米算符表示，并且要求该算符的本征函数构成完备系。厄米算符A的定义:Jw *Adr = J( Aw )*9dr此为坐标表像中的表示式厄米算符的本征值是实数。厄米算符的属于不同本征值的本征函数一定正交。 附：力学量算符的本征函数系满足正交、归一、完备、封闭等条件。力学量的测量值：在力学量F的本征态中测量F,有确定值，即它的本征值；在非F的本征态中测量F，可能值是F的本征值。将3）用算符F的正交归一的本征函数展开:巾(x) = c V (x) + j c人W人(x)dxn则在（X）态中测量力学量F得到结果为为n的几率为I

7、 CF得到结果在人小 + d范围内的几率为CJW。Fw =Xwf n n n=jw * (x) (x)dx ,nFW以W入入c = jw * (x) (x )dx入入力学量的平均值是F = j * (x)F(x)dxF = Ex Inn|2 + jX|c |2dX附：本书中五个基本原理（1）量子力学中态的表示波函数WJ）（2）态叠加原理：（3）定态薛定谔方程：（4）力学量与算符的关系：（5）自旋:连续谱的本征函数可以归一化为&函数。简并：属于算符的某一个本征值的线性无关的本征函数有若干个，这种现象称为简并。简并度：F算符的属于本征值Xn的线性无关的本征函数有f个，我们称F的第n个本征值Xn是f

8、度 简并。w动量算符P的本征函数（即自由粒子波函数） W w = （2丸r|）-3/2 eip-r!正交归一性j W wj（WWw（冏dT=5 （W-W）pp8角动量z分量L = -iZ 伽W （里）=.eim , m = 0 , +1, + 2 , A本征函数mv2k匕的本征值L，z = mn平面转子（设绕z轴旋转）课本P101 3.5题L门 2 d 2 z 哈密顿量*21 d2W (里)=,eim , m 0 , +1, + 2 , A能量本征态mv;2k能量本征值9.(L2 , Lz 共同的本征函数一球谐函数Ylm(0 甲)Y (0 ,中)=(-1) mN Pm I(cos0 ) eim

9、中Nlmm(2l +4兀l +m)!lm l,(/ = 0,1,2 ,A ; m = 0, 1, 2 ,A , 土l )=l (l + 1)甲Y (0 & )lm)=秫化(0 ,甲)1势场V (r=V (r)L, H L，角动量?为守恒量。L2YlmL Y (0 ,平中心力场中10.中心力场中定态薛定谔方程n2 1 2 L r + 2旦r dr 22旦r 2(H , L , Lz 为体系的守恒量完全集，其共同的本征函数为w (r,0,甲)=R(r)Y (0,甲)lml = 0,1,2 , A , m = l, l-1, A , -111.氢原子e2 1r e 4 1 E = En 2n2 n2

10、2a n2a =平：日e2 (玻尔半径)w m (r,0,甲)=R (r)Y (0,甲)nllm能级简并度轨道磁矩enm=一目 m, 2pc benBohr2日c(、七为玻尔磁子)旋磁比类氢离子Lmn2pcR e 4 Z2 En2叩n 212.守恒力学量的定义：若(即力学dF不=量的平均值不随时间变化)则称F为守恒量。dF1 矛=F , H + 力学量F的平均值随时间的变化满足dtm所dt6F因而力学量F为守恒量的条件为： 石=13.宇称算符宇称算符的定义：PW (P) =w(-r)本征值本征函数。注：宇称出现在一维无限深势阱、自旋中。A , B = AB - BA14.对易式定义:15.对易

11、式满足的基本恒等式:A , B + C =A , BC = BAB , C = ACBi1111|CBC, ,AAA + BBC , ,AABB =016.一些重要的对易关系：L , x L 0 ,= 0,X -L , p _=8 i n - A,BAA ABi A,B 简记为2特别地，&叫顷2第四章态和力学量的表象i.Q表象是以Q的本征函数系为基底的表象，在这个表象中，有Qu (x )=2 u(X)nn nv = a(ZX (x)na G )；G)2Aa G )?n*),炊),A , o*(r)n算符尸对应一个矩阵（方阵），选定表象后，算符和量子态都用矩阵表示。F = J u*Fu dx矩阵

12、兀是 nm n m平均值公式是F=v+Fv,归-化条件是W+W =1,本征值方程是gwo附：在自身表象中表示算符的矩阵为对角矩阵。2.幺正变换：在量子力学中，两个表象之间的变换是幺正变换,满足s+ = s-i态的变换是= S+a ；算符的变换是F = S+FS o幺正变换不改变算符的本征值。附：在自身表象中，本征函数是 函数。f v：=ie： 切.V)=H V)Hu (x)=E u (x)Ju*(x)u (x)dx=8m mnw (x) = c u (x)c =J u*(x )v (x )dxF =Jv *( x )Fv (x) dxJv *( x )v (x) dx=1Hn = Enmn =

13、8 mn 叩)=乙“|F = ；V| F V；附：证明某个算符势厄密算符、工 L Jw *Adr = (Av )*9 dr 工坐标表像中用厄密算符的性质来证明。任意表象中则用幺正变换(即：表示算符的矩阵的转置共厄等于算符本身)S += S-1来证明。量子态可用狄拉克符号右矢I人:或左矢人I表示。狄拉克符号的最大好处是它可以不依赖于表象来阐 述量子力学理论，而且使用十分方便。基矢的完备性：X|n；-.n = I, Jdxx(x = I,n坐标表象狄拉克符号(1) Fw (X, t)=e (x, t)d珥 V (x, t) = Hv (x, t) d t第五章微扰理论定态微扰理论适用范围：求分立能

14、级及所属波函数的修正。适用条件是：一方面要求丑0的本征值和本征函数已知或 较易计算，另一方面又要求H0把H的主要部分尽可能包括进去，使剩下的微扰H比较小，以保证微扰计 算收敛较快，即Hnk co-c a=2Zba a+ cj b = 0 x yy xy x a a -CT CT=2ioa a+ b b = 0y zz yXy zz yO b (J b=2心a a+ b y0)z 一 L(J 2 =Q2 =Q2 = 1（单位算符）， ，5 0r5 0-广5 =Jq ox 2J0y 2J0,z 29 - L人 3S2 =甲4 E nlj=l-1/2。例如3 P/2Na：3 P3/23s(5896

15、A)1/23s(5890 A)1/2还可以解释反常塞曼效应。附：只有考虑了电子的自旋光谱线的精细结构才能得到解释。C-G系数的性质:13.两个电子的自旋单态与三重态9（S 2 ,七）的共同本征函数* SMSSMSa (l)a (2)X a p (2) + p (l)a (2) 寸2P P (2)llln0 -lJ (三重态)土 a P -P (l)a (2)00（单态）14.两个角动量的耦合9 9999J , J 旦而q*由心 M各汗昌 mil J = J + J 出 目4 寻昌 有l 2是两1独立的用动量，则l 2也是用动量。J2,J2,J2,J )| jjjrn,(耦合表象基矢)| 12)

16、1 2,(J2, J , J2, J人j m j m / (无耦合表象基矢1 1Z 2 2z1 1 2 2 fjjjm) = jm - mjmVjm - m j m1 212 22 2 22-)j1 j2jm :C - G系数15.j的取值: 全同粒子j + j , j + j - L j + j - 2,|j - j ,|12121212（1）量子力学中，把内禀属性（静质量、电荷、自旋、磁矩、寿命等）相同的粒子称为全同粒子。（2）全同性原理：由于全同粒子的不可区分性，使得全同粒子所组成的体系中，二全同粒子相互代换 不引起物理状态的改变。全同性原理或表述为交换对称性：任何可观测量，特别是Hamilton量，对于任何两个粒子交换是不变 的。这就给描述全同粒子系的波函数带来很强的限制，即要求全同粒子体系的波函数具有交换对称性P中=中、，。一 ,、P中=一中ij S S或者交换反对称性ij A A o（3）全同粒子系的波函数的交换对称性与粒子的自旋有确定的联系。玻色子：自旋为门整数倍（=0，1，2, A）的粒子，波函数对于两个粒子交换总是对称的，例如兀介 子（s = 0 ），光子（s = 1）。它们遵守Bose统计，称为Bose子。费米子：自旋为门半奇数倍（S = 12,32,A ）的粒子，波函数对于