数学必修一讲义精编版

1、最新资料推荐 最新资料推荐 第一讲集合集合的有关概念某些指定的对象集在一起就成为一个集合，这些研究对象叫做元素。确定性：集合中的元素 必须是确定的集合中元素的特性：J互异性：集合中任两个 元素是互不相同的，无序性：集合与组成它的元素顺序无关注意：这三条性质对于研究集合有着很重要的意义，经常会渗透到集合的各种题目中，同学们应当重视。元素与集合的关系：如果 a是集合A的元素，就说a属于A,记作：aw A如果a不是集合 A的元素，就说a不属于A,记作：a走A（注意：属于或不属于（w产）一定是用在表示元素与集合间的关系上）集合的分类：集合的种类通常分为：有限集（集合含有有限个元素）、无限集（集合含有无

2、限个元素）、空集（不含任何元素的集合，用记号 0表示）集合的表示：集合的表示方法：列举法：把集合中的元素一一列举出来， 并用花括号”括起来的表示方法。例：A =11,2描述法：在花括号内先写上表示这个集合一般元素的符号及取值范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。例：B = xx 4）（如果元素的取值范围是全体实数，范围可省略不写）。图示法（即维恩图法）：用平面内一条封闭曲线的内部表示一个集合。特定集合的表不：自然数集（非负整数集）记作 N ;正整数集记作 N（N+）；整数集记作Z ;有理数集记作Q ;实数集记作R。（这些特定集合外面不用加 ）高考要求：理解集合的概念，

3、了解属于关系的意义，掌握相关的术语符号，会表示一些简单集合。例题讲解：夯实基础一、判断下列语句是否正确1）大于5的自然数集可以构成一个集合。正确（x亡N x5）2）由1, 2, 3, 2, 1构成一个集合，这个集合共有 5个元素。错误3）所有的偶数构成的集合是无限集。正确4）集合A = ,b,c;B =c,a,b则集合A和集合B是两个不同的集合。 错误 二、用符号w或更填空。1） 0_N2） 3.14 Z3） Q4）若 A =x2 =2xt 则一2 A5）若 B = kx2 _ 2x3 = 01则 3 B三、用适当的方法表示下列集合一 一 1次函数y =2x +1与y = x +4的父点组成的

4、集合26 17 15，-56 17、L5行区别是什么?2）绝对值等于3的全体实数构成的集合。：3,-3：3)大于 0的偶数。xx= 2n,nw N * 12,4,6,8，能力提升1)集合A = 9x,y )x + 2y = 7,x, y w nL用列举法表示集合 A。解：；x, y N x - 0 y - 0当x=1 y=3当x=3 y=2c5 -，3x=2 y= N x=4 y= N22x=5 y=1二 (1,3) ,(3,2),(5,1)2)集合A = 1x ax2 + 2x + 1 = 0)中只有一个元素，求a的值。,解：当a=0 方程：2x+1=0 x=- 一合题息当a = 0 ax

5、2 2x 1 = 0当=4-4 a 1=0a=13)用描述法可将集合 4-3,5,-7,9,-11，表示成解:x x =(-1 )n+1(2n-1 ) ,n w N*知识要点二：集合与集合之间的关系子集一般地，如果集合 A中的任何元素都是集合 B中的元素，那么集合 A叫做集合B的子集 记作A三B ( A包含于B )或B3A( B包含A)即：对任意xw An xw B ,则AC B。显然AQ A,对于任一集合 A,规定4 A。真子集：如果集合 A QB,但存在元素xw B,xF A,我们称集合 A是集合B的真子集，记作A ? B。u集合是任意非空集合的真子集。集合的相等集合A,B如果A B,同时

6、BQ A,则称A = B。严格区分，正确使用“ 要,三产,？ ”等符号。前两个是用在元素与集合的关系上，后三个是用在集合与集合的关系上，一定注意区分。集合关系与其特征性质之间的关系一般地，设 A = 3B= ixx2)若A B 当x 3= x 2于是x具有性质p(xA x具有性质q(x)p(x户qx()。当x3=x2我们说定是B的子集。反之，如果p(x户q(x),则A一定是B的子集。集合的运算交集一般地，对于两个给定的集合 A, B,由属于A又属于B的所有元素构成的集合，叫做 A, B的交集，记作Ac B ,读作“ A交B”由定义容易知道：Ac B = Bc A;Ac A = A ；A，f0

7、=0c a = 0 ；如果 AG B,则 Ac B = A。并集一般地，对于两个给定的集合A,B,由A, B两个集合的所有元素构成的集合，叫做A, B的并集，记作A，j B ,读作“ A并B”由定义容易知道AuB = B= A;Au A = A;A=0 =0u A = A如果A三B,则A=B = B。补集全集：如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，通常用U来表示。补集：如果给定集合 A是全集U的一个子集，由U中不属于A的所有元素构成的集合，叫做A在U中的补集，记作eU A ,读作“ A在U中的补集”。高考要求：理解子集、补集、交集、并集的概念。了解全集的意义，了

8、解包含、相等关 系得意义，掌握相关的术语、符号，并会用它们正确表示一些简单的集合。例题讲解：夯实基础一、用适当的符号填空1) 2 七,2,32) a_Ja,b3)匕a,b,c4) 0 _。5) 1,4,77,1,46) 。,1 N 7) 0 xWRx2 = 仆二、已知集合 A=2,0,仆，那么A的非空真子集有 个。解：A的非空真子集指的是，除 A集合本身与中后所有子集含有1个元素的一2：0。1含有2个元素的1-2,0)1-2,1H 1,0)给出计算子集的公式，全部子集个数=2n, n表示元素个数。三、求下列四个集合间的关系，并用维恩图表示。CU AA = xx是平行四边形, B=xx是菱形,C

9、=xx是矩形, 口=卜乂是正方形解：B A,C A,D A,D=B C四、已知 U =1,2,3,4, |,10, A = 2, 4, 6, 8, 10, B1,2,3,4, 求AcB,(Cu A)C(CuB)。解：A - B =12,4)C U A = ：1,3,5,7,9)C UB =石,6,7,8,9,101CuA - CuB =15,7,91能力提升一、若集合X满足01 三X=-2,-101 ,2,则X的个数有几个？解：X中至少要含有0,1两个元素。比；0,1多一个元素的有3个：-2,0,1 M -1,0,1此,01比；. 0,1 多 2个人元素的有 3个(-2, - 1,0,1122

10、0120,11比0,1多3个元素的；2, - 1,0, 1 2二、如右图U是全集，M,P,S是U的三个子集，则阴影部分所表示的集合是()A. M - P - CU SB. M P . CU SC. M - P - SD. M - P 一 S解：先看M cp如图所示而Cu为图S以外部分以上两部分公共区域显然为图中阴影三、已知集合 A=-4,2a1,a2,B =Q5,1 a,9,AcB=9L 试求实数 a。解：对于集合A*讲(1)令 2a-1=9a=5. A=-4,9,25 B=0,-4,9.AcB=-4, 9与已知不符。a=5舍去A - B =99 A令a2 =9a =3或a - -3a =3时

11、，A=M,5,9 B=-2 ,-2,9不符合集合的互异性，a=3舍去(3)当a=-3A=-4,-7,9 B=-8,4,9与A c B=9相符a =-3 A_. B - -4,4,-8,-7,9四、已知集合 A =x2 +(p +2 )x+1 =0, p,xw R,且Ac R+ = 0 ,求实数p的取值范围。解：若 A - R = 等价于A=或方程x2 ( p 2)x 1 = 0有两个非正根,若AH则.k(p+2)2 -4 1 1 0p 2 4P 0-4 p 0 p -2x1 x2 =1 0解彳qpup-A p 0综上p的取值范围(-4, +c)注意：Acr + = 0的条件之一就是A = 0

12、,这是十分容易遗漏的，另外对A = x x2 +( p +2 )x +1 = 0, p, xW r的正确理解应是二次方程x2 +( p + 2 )x + 1 = 0 的根组成的集合。那么应该有三种情况：两个不等实根、两个相等实根、无实根。而无实根就 是使得A为空集的情况。最新资料推荐 最新资料推荐 最新资料推荐 第二讲函数及其性质知识要点一:函数及其相关概念映射：设A, B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f ,对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素与它对应，这样的对应关系叫做从集合 A到集合B的映射。记作：f ： At Bo象与原象：给定一个集合 A到集合B的映射，且aw A

13、,bw B,如果a, b对应那么元素b 叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象。一一映射：设 A, B是两个非空集合，f :At B是集合A到集合B的映射，并且对于集合B中的任意一个元素，在集合 A中都有且只有一个原象，把这个映射叫做从集合A到集合B的一一映射。函数：设集合 A是一个非空数集，对A中的任意数x,按照确定的法则 f ,都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数，记作： y= f （x）,xw A这里x叫自变量，自变量的取值范围叫做这个函数的 定义域，所有函数值构成的集合，叫做这个函数的值域。这里可以看出一旦一个函数的定义域与对应法则确定，则函数的值域也被确定

14、，所以 决定一个函数的两个条件是：定义域和对应法则。函数的表示方法：解析法、图像法、列表法。区间：定 义名称符 号x a Ex Wb闭区间b,blxaxb开区间（a，b）xaWxcb半开半闭区间b,b）txa x b）半开半闭区间（a,b】闭区间是包括端点，开区间不包括端点。实数集R可以表示为已产）,“的”读作“无穷大”，例如：x23可以表示为 b, “ x -4”可以表示为（-,一4）。高考要求:了解映射的概念，理解函数的有关概念，掌握对应法则图像等性质，能够熟练求解函 数的定义域、值域。例题讲解：夯实基础一、判断下列关系哪些是映射。A = Z, B=Z, f :平方；A = R,B =R

15、f :平方；A = x 1 Mx1；当n为偶数时，n- 0 ；5) A = CZZ 1B = fcE奇数, f : nT m = 2n -1,其中 n w A,m w B ;2x 3 ,一 一 一、已知 f(x)=nr，求 f (t ), f (x+2 x-二 x 1 -x T解:f(t) =2t 32x2 3x一2二 12x 7x 1三、求下列函数的定义域。1、y 二x2+2x32)y =49 -x2布军：x2 2x- 3: 0(x 3M- 1) 0 x= 3且 x = 13) V0 x = - 1解： 1一 x - 0= x 1Vl - x -1=0 x # 0， x x E 1且 x #

16、 1且 x 0四、求函数解析式：22)已知 f (3x + 1) = 9x 6x + 5,1)已知 f(l) = 一二，求 f(x)。x 1 - x求 f (x)。1解：7 f (-) xf (x)f (x)解：3x 1 = tx1 - x21二 1x xxx2 - 1t - 1x= 3(t - 1)2f (x) = 969= t2 - 2t 1 - 2tt - 1532 5t2 - 4t 8x2 - 4x 83)已知f(x)是二次函数，且满足f (0) =1, f (x+ 1) f (x) = 2x,求 f(x)。解：设 ax2 - bx c(a 二 0)f(0) =1 = C22a (x

17、1) - b(x 1) c - ax -bx-c = 2x2a x bx a b - bx = 2xa =1 b- -1f (x) = x2 - x 14)若函数f(X)满足方程 TOC o 1-5 h z 1-af (x)+ f (一) = ax,xe R, x# 0,a 为常数，且 a#l ,求 xf (x)。i 11af (-)f (x) = a (1)解：xx212a f (x) af () = a x (2)x(a2 -1 ) f(x)=a2x- af (x)=(a 2 -1 ) x注意：求函数的解析式大致有如下几种方法：拼凑法；换元法；待定系数法；解析法。注意因题型而选择方法。小结

18、：求函数的定义域，就是求使得该函数表达式有意义自变量的范围，大致有如下几种方法：一次函数、二次函数的定义域是全体实数；函数表达式形式是分式的，分母不为0;函数表达式形式是根式的，如果开偶次方根，被开方式要大于等于零；如果开奇次方根，被开方式可以取全体实数；零指数哥与分数指数哥的底数不能为零；在有实际意义的解析式中，一定要由实际问题决定其定义域；多个限制条件取交集。五、求下列函数的值域f(x) = -4x 1 T 三 x 3解：f (一1)= -4-11 = 5f (3) = -4 3 1 = -112f(x)=2x2-4x12 MxM 3 TOC o 1-5 h z “4角牛： x = = 1

19、222f (2)= 22 2 - 421 = 1- -一一 2一f (3)= 2 3- 4 31 = 7y 11 , 7 13)y = J-x2 + 2x + 3解： y = J-( x2 - 2x + 1) +4=-( x - 1)2 40 三 y Y 24)y = x - Ji - x解：设，1 - x = t _ 0 TOC o 1-5 h z 221 25.1 - x = t2x=1- t2 = 一(t )2 - HYPERLINK l bookmark97 o Current Document 24/22,21、5y = 1 - t - t - -1 - t 1 - - (t - t

20、 -)-445，y y 4注意：函数的值域一定是在其定义域下控制的值域，随着所给函数定义域的不同，相同表 达式的函数的值域也互不相同。在今后我们将会学习更多的新的函数和相关性质，也会对 其定义域和值域在进一步探讨。知识要点二：函数性质函数的单调性：定义：一般地，设 f (x )的定义域为I :如果对于定义域 I内某个区间 D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1x2时，都有f (x1) f (x2 ),那么就说函数 f (x )在区间D上是增函数；区间 D称为单调递增区间。如果对于定义域 I内某个区间 D上的任意两个自变量的值x1,x2 ,当x1 f (x2 )，那么就说函数f (x )在区

21、间D上是减函数；区间 D称为单调递减区间。复合函数的单调性：同增异减函数的奇偶性设函数y = f(x )的定义域为D ,如果对D内的任意一个x ,都有xw D ,且f (-x)=-f (x ),则这个函数叫奇函数。(如果已知函数是奇函数，当函数的定义域中有0时，我们可以得出 f(0)=0)设函数y = g(x )的定义域为D ,如果对D内的任意一个x ,都有-xW D ,若g ( _x )= g (x则这个函数叫偶函数。从定义我们可以看出，讨论一个函数的奇、偶性应先对函数的定义域进行判断，看其定义域是否关于原点对称。也就是说当x在其定义域内时，-X也应在其定义域内有意义。图像特征如果一个函数是

22、奇函数 U这个函数的图象关于坐标原点对称。如果一个函数是偶函数 U这个函数的图象关于 y轴对称。复合函数的奇偶性：同偶异奇。高考要求：掌握函数的单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶 性的方法。命题趋向：这一部分历来是考试重点，在函数的对应法则、定义域、值域，判断函数的单调性，奇、偶性考查较多，而且对这部分知识的考查有深度有力度， 在客观题中主要考查 一、两个性质，解答题中的综合运用往往是学生解题能力的体现， 在这里也容易拉开学生的 档次。例题讲解：夯实基础一、判断下列函数的单调性。11)y =当 x = (0, + 如 X证明：任取x1,x2 (0,二)x1 x2f (x1

23、) - f (x2)11 _ x2 -x1:0 xix2gf (x1) f (x2)y=是 Jxf (x )= -Jx +1 当 xW 1, f )证明：任取 x1, x2 I -1, :) x1x2 - -1x2 一 x1fx1- f x2- - . x11. x21 =f x1- - x11 f x2- - 1 x21.x T . x2 , 1Vx2 - x1 Y0JX1 1Jx21Ao二 f (x1 )- f (x2 ) 0 f (x)在 1-1, +8)是 J-3xf (x)=在(1x1)x -1二、判断下列函数的奇、偶性。31) y = -3x + x奇函数2)f x = x -11

24、 x 01 - x = 01 - x-1 W x Y 1关于原点不对称.3) f(x) = 0既是奇函数，又是偶函数-24)f(x)=0 -x0f(x)=-xf(x)=f(-x) f(0)=0 x0f(x)=x2 +x f(-x)=x2 +x f(-x)=-x-x-xf(-x)=-f(x)5)解： ：1-x 2 至 0 x + 2 - 2 # 0-1 M x 三 1 x =-4 x = 0f xxxf ( x )为奇函数结论：函数就奇、偶性来划分可以分成奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既是奇函数也是 偶函数。f (x)得三、已知y = f(x)是奇函数，当x0时，f (x )=2x2x+1,求当

25、x0时,解析式。解：设x 0;当 x0时，f(x ) = 2x2 -x+1.22f -x =2 -x - -x1=2x x 1y = f (x)是奇函数,2._ 2二 f (x )= f (x )= (2x + x+1)=2x x1 为所求 x 0 时 y = f (x)的解析式。能力提升，一一1、已知函数f(x)=a下;，若f(x)为奇函数，求实数 a的取值。解：首先考虑定义域，知 x w R,由奇函数的定义 f( -x产-f( x)建立等式求解计算起来就比较麻烦，我们还知道已知函数是奇函数，当函数的定义域中有0时，我们可以得出1f(0)=0,二 f(0)=0易得 a = 1二、已知f (x

26、谡偶函数，g(x )是奇函数，且f (x )+g(x )=,试求f (x)与g(x)的x -1表达式。解：令 f x g x =1x -1的 x 取 _x 得 f (x )+g(x )=1-x -1f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,f -x = f x ,g -x = -g x ,f x - g x=f x g x=-x -11x -1, r -11两式相加得2fx二x 1 x-11 -x x 1x2 -1两式相减得2gx =1x -1T _ x 1 x -1 x 1x2 -12x2 -1,2x2，x -11x2 -1xx2 -1、设y = f (x )的定义域是R ,对于任意x, y都有f

27、 (x + y )= f (x )+ f (y )x a 0时f(x ) x2Hx1 -x2 0f (x1 -x2):二 0又f (x)是奇函数f ( -x2 ) = - f (x2 ) f (x1 - x2 ) = f (x1) - f (x2) : 0 f(xi)：二 f(x2) xi x2工f (x)在R上是单调递减第三讲基本初等函数知识要点:一次函数与二次函数知识点的回顾一次函数y = kx十b定义域值域相关概念性 质RRk叫做直线的斜率b叫做直线在y轴上的截距1） k0,是增函数，k0, ymin =，4a .、一b图像开口向上，对称轴万程 x = ,顶点2a单调性：在对称轴左侧递减

28、右侧递增。b 4acb2”, 12a4al,4ac-b2a 0,m,n = N,n 1 )； a n =m(a0, m,n=N,n1) an注意：0的正分数指数哥等与 0,负分数指数哥没有意义。有理数指数哥的运算性质：a 0,b 0,r,s Qr sr *sr s rsr r raa =a(a) =a(ab)=ab指数函数及其性质一般地，函数y =ax(a 0,且a =1 )叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为 R。通过描点我们得到指数函数在底数取不同范围时的大致图象，现将函数性质总结如下：0 a 1要求的，那么在这里给同学们一点建议，准确掌握函数的基本图象，从图象中挖掘函数的相关性质

29、。对数与对数函数一般地，如果 ax =N（a0,且a/1）,那么数 x叫做以a为底N的对数，记作:x =loga N其中a叫做对数的底数，N叫做真数。根据对数的定义我们可以得到对数与指数间的关系：当 a 0,a = 1时,ax = N t x = loga N这时我们可以看出负数和零没有指数，且loga1 = 0,log a a =1。对数的运算性质：如果 a 0,且a #1,M 0,N 0,那么loga M *N =loga M loga N；logaM =logaM -loga N； Nloga M n = nloga M指数函数及其性质 y = log a x一般地，函数 y=logax

30、（a A0,且a#1 ）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域（0,也）。通过描点我们得到对数函数在底数取不同范围时的大致图象，现将函数性质总结如下：指数函数与对数函数是高中阶段的两个很重要的函数，在高考中历来都有题目出现对 这两个的函数性质要做到掌握精准，运用熟练。高考要求:1）理解分数指数哥的概念，掌握有理指数哥的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和运算性质。2）理解对数的概念，掌握对数的运算性质和对数函数的性质和图象。3）能够利用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问 题。例题讲解夯实基础一、选择题1)集合 A=y y =x22x+3,xWR,B = y y=2x23x + 1,xW r则 Ac B 等于(B.y y 主2_1Cy y I 8J2）若函数f （x户3 . x 12ax 3ax 4的定义域为 R,则a的取值范围为（ C ）A.最新资料推荐 最新资料推荐2 最新资料推荐3 、计算1) ab3(Tab )2)(ab3 ab 2 )519a2b10 x -y21 -12x3 x3y3 y3112112_(x3 - y3)(x3 x3y3 y3)21 1x3x3y312y31)已知1.