专题3、4七大重点函数与不等式第讲

1、不等式教师：爱护环境，从我做起提倡使用板块二函数与导数专题4不等式4.1不等式性质与基本不等式基础秘诀(问中学)问1写出“不等式性质表”问2写出“基本不等式表”问3试总结证明不等式的方法.范例评注(例中学)如果a b ,那么在 1 1 ; a3 b3 ; a 2 b2 ; 2a 2b 中,正确的是ab例1A.B. C. D. 已知 a b 0，全集 I =R，M = x | b x a b ，N= x | ab x a ，例22P= x | b x ab , 则A. P= MR N不等式A. (0,1)B. P= NRMC. P= MND. P= MNx | | log3 x | 的解集为例3

2、B. (1,+)C. (0, +)D. (, +)若 a b 0, 则下列不等式成立的是例4A. b b 1B. a a 1C. 2a b aD. a 1 b 1aa 1bb 1a 2bbab例5 (2006(x1 x2),)在下列四个函数中, 满足性质:“对于区间(1, 2)内的任意 x1, x2x2 | 恒成立”的只有| f (x1 )A. f (x) 1B. f (x) | x |C. f (x) 2xD. f (x) x2x- 第 1 页 -天地精华教育科技例6 (08 江西)若0 a1 a2 , 0 b1 b2 , 且 a1 a2 b1 b2 1, 则下列代数式中值最大的是D. 12

3、A. ab a bB. a a bb C. ab a b1 12 21 21 21 22 1 例7 (2006 重庆)若 a, b, c 0, 且a(a b c) bc 4 23 ,则 2a+ b+ c 的最小值为A.3 1B.3 1C 2 3 2D. 2 3 2例8 (2006 陕西)已知不等式(x y)( 1 a ) 9 对任意正实数 x、y 恒成立，xy实数 a 的最小值为.例9 给出五个函数:1x2 3 y y x ;x; y=|tanx+cotx| ;x2 2sin 2 x22 y y x 1.x;2sin 2 x其中最小值为 2 的函数的代号是.例10 设 a1，a2，b1，b2R

4、，求证：(a12+a22)(b12+b22)(a1b1+a2b2)2 ,取等号ai=kbi（kR，i=1，2）例11 已知 x,yR+ , 且 x+y=1,1(2) 求证 (x 1 )( y 1 ) 25 .(1) 求 xy 的最小值;xyxy4例12 设 a 0, 求证: a 1 a2 a1a2 2 2.- 第 2 页 -天地精华教育科技不等式的解法与应用不等式解法基础秘诀(问中学)问1写出一元二次不等式解法步骤和解集傻瓜图.问2写出“根序法”解不等式的步骤问3试总结分式不等式的解法.问4试总结绝对值不等式的解法范例评注x 0 ,例1 (1997.高考)不等式组3 x2 x 的解集是3 xB

5、. (0, 2.5)2 xA. (0, 2)C. (0,6 )D. (0, 3)x 2 px q20 的解集为例2 已知不等式 x +px+q0 的解集为(1,2), 则不等式x 2 5x 6A. (1,2)C. (-1,1)(2,6)B. (-,-1)(6,+)D. (-,-1)(1,2)(6,+)例3 快速填空：(1) 不等式x)2 (x 3)3 0 的解集是;(x 1)2 (x 2)3 0 的解集是(2) 不等式(x 5)例4 不等式 x2 3 | x | 10 的解集是 .- 第 3 页 -天地精华教育科技x2 2x 3) 在 x 9 时成立,不等式log (是.例5则此不等式的解集a

6、4例6使 log2(-x) 0(4)2 x 1 3(3) 2x 5 x 1x已知不等式ax2 bx 1 0 的解集为(1, 1)，求不等式 x2 bx a 0 的解集.例93例10 已知关于 x 的不等式 ax 5 0 的解集为 M.x2 a当 a = 4 时, 求集合 M ;若 3M , 且 5 M , 求实数 a 的取值范围.- 第 4 页 -天地精华教育科技4.2.2 不等式的应用基础秘诀(问中学)问1怎样用均值定理求最值？均值定理失效后怎么办？问2怎样含参二次方程？问3怎样含参不等式?范例评注一元二次方程 mx2-4mx+4=0 有两个实根,若两根都大于 1, 求实数 m 的取值范围；

7、若两根, 一个比 1 小, 一个比 1 大, 求实数 m 的取值范围例1关于 x 的若关于 x 的方程4 x a 2 x a 1 0 有实数根,求实数a 的取值范围.例2不等式 x22xy5 0 在 1y2 时恒成立, 求实数 x 的取值范围.例3xR, 不等式 ax2 (2a 1)x a 1 0 有解. 求实数 a 的取值范围.例4x2 8x 20 0 的解集为 R, 求实数 m 的取值范围.例5若不等式mx2 2(m 1)x 9m 4- 第 5 页 -天地精华教育科技例6 (2004.福建高考) 已知 f (x) = 4x+ax2 2 x3 ( xR )在区间1, 1上是增函数.3(1)

8、求实数 a 的值所组成的集合 A;(2) 设关于 x 的方程 f (x) = 2x+ 1 x3 的两个非零实根为 x1、x2 . 试问: 是否存在实数 m ,3使得不等式 m2+tm+1| x1x2|对任意 aA 及 t1, 1恒成立?若存在, 求 m 的取值范围; 若不存在,请说明理由.例7 设 x，y 都是正实数，且 2xy1，求T 2xy 4x2 y2的最大值.例8 *已知函数 f (x) x2 ax有实根, 求 a2+b2 的取值范围. 0) .若实数 a、b 使得 f (x)=0(每件 x 元)在 50 b ab0.反身: a b b b, bca c.加法: a b a+cb+c;

9、 ab, cd a+cb+d.乘法: a b, c0 acbc; a b, c0 acb0 , cd0 acbd.幂单调: a b0 , c0 acbc;a b0 , c0 acbc.绝对值“同解不等式”: 对于aR, 有|x| a a x a xa或x b , 那么在 1 1 ; a3 b3; a2 b2; 2a 2bab中, 正确的是( C)A.B. C. D. 问3 试总结证明不等式的方法.解不等式证明方法(1) 综合法(2) 分析法比较法数学归纳法 (5) 穷举法(6) 反证法(7) 举反例(8) 放缩法(9) 换(10) 导数法幻灯片 6幻灯片 7- 第 10 页 -天地精华教育科技

10、例3 不等式|x+log3x|b0, 则下列不等式成立的是 ( C)A. b b 1B. a a 1aa 1bb 1C. 2a b aD. a 1 b 1a 2bbab例2 已知 a b 0, 全集 I R, M = x | b x a b,2N = x | ab x a , P = x |b x ab , 则( A)A. P = MR NB. P = NRMC. P = MND. P = MN解 把全集R改设为S=(b, a),图解:MNPbaba bax2故选A.幻灯片 8幻灯片 9- 第 11 页 -天地精华教育科技例6 (08江西)若 0 a1 a2 , 0 b1 b2 , 且 a1

11、a2 b1 b2 1,则下列代数式中值最大的是( A )A. a b a bB. a a b bC. a b a bD. 11 12 21 21 21 22 12解法1 检验特值:令 a b 1 , a b 2 , 则113223A. a b a b 5 ;B. a a b b 4 ;1 12 2 91 21 29C. a b a b 4 ;D. 1 4.5 .1 22 1 929故选A .例5 (2006.)在下列四个函数中,满足性质:“对于区间(1,2)上的任意x1, x2(x1 x2), |f (x1) f (x2)|x1 x2| 恒成立”的只有( A )A. f (x)幻灯片 10幻灯

12、片 11- 第 12 页 -天地精华教育科技例6 (08江西)若 0 a1 a2 , 0 b1 b2 , 且 a1 a2 b1 b2 1,则下列代数式中值最大的是( A )A. a b a bB. a a b bC. a b a bD. 11 12 21 21 21 22 12解法3排序不等式: a1 a2 a b a b a b a b ; b b1 12 21 22 1A C 12 a1 b1 a b a b a a b b ; b a1 22 11 21 2C B 221 1a1 a21 1a a b b12 2ab a b 12 1 2 ab a b .1 11 1 4 4 2 222

13、1 12 2 2 A Db1 b22 2例6 (08江西)若 0 a1 a2 , 0 b1 b2 , 且 a1 a2 b1 b2 1,则下列代数式中值最大的是( A )A. a b a bB. a a b bC. a b a bD. 11 12 21 21 21 22 12解法2排序不等式: a1b1 a2b2 a1b2 a2b1 ;A C均值不等式: a a b b (a1 a2 )2 (b1 b2 )2 1 ; D B1 21 2222作差: (a b a b ) 1 (a b a b ) (a1 a2 )(b1 b2 ) 1 12 221 12 22 (a1b1 a2b2 ) (a2b1

14、 a1b2 ) 0.A D2故选A .幻灯片 12幻灯片 13- 第 13 页 -天地精华教育科技例7 若 a, b, c 0, 且 a(a b c) bc 4 2 3 , 则2a + b + c的最小值为( D )A.3 1B.3 1C. 2 3 2D. 2 3 2解法1: 对称猜想b=c时, a2 2ab b2 4 2 3 a b 3 1 2a b c 2(a b) 2( 3 1).故选D解法2 精明演绎: 均值定理a(a b c) bc 4 2 3 (a b)(a c) ( 3 1)22a b c (a b)(a c) 2 (a b)(a c) 2( 3 1)例6 (改题) 若0 a1

15、a2 , 0 b1 b2 , 且 a1 a2 b1 b2 1,下列四数从小到大的顺序是 B C D0, 求证: a 1 a2 1 2 2.aa2证法2 (函数法) 令x a 1 2, ),aa 1 a2 1 x x2 2aa2令 f2 2, x 2, ), f ( x) 1 x 0, x 2, )x2 2x2 2 f (x)在2, +)上递减, f ( x) f (2) 2 2, 即 a 1 a2 1 2 2.aa2例12 设a0, 求证: a 1 a2 1 2 2.aa2证法1 (分析法)a 1 a 2 1 2 2 a 1 2 a 2 1 2aa 2aa 2 (a 1 2 )2 ( a 2

16、1 2)2aa 2 a 2 1 2 2 2(a 1 ) 2 a 2 1 4 4 a 2 1a 2aa 2a 2 a 1 2 a2 1 (a 1 )2 2(a2 1 )aa2aa2 2 a2 1 a0证完.a2幻灯片 20幻灯片 21- 第 17 页 -天地精华教育科技4.2 不等式的解法基础秘诀(问中学)问1 写出一元二次不等式的解法步骤和解集傻瓜图解集图:+ x x +x120解法步骤:标准化(使a0)求及根表出解集例12 设a0, 求证: a 1 a2 1 2 2.aa2证明3 (函数单调法有理化)令 x a 1 2, ),a 1 a2 1 x x2 2aaa2令 f2 2, x 2, )

17、,f ( x) 2在 2, +)上递减,x x2 2 f ( x) f (2) 2 2.幻灯片 22幻灯片 23- 第 18 页 -天地精华教育科技问3试总结分式不等式的解法解分式不等式解法根序法积商符号分类法去分母分类法问2“根序法”(变号零点排序法)？解 “根序法”是解一元二次不等式、分式不等式的一个“傻瓜方法”.根序法三步标准化: 将不等式分解为标准式( xx3 )L( x xn ) 0 ( 0)数轴标根, 区间标号表出解集幻灯片 24幻灯片 25- 第 19 页 -天地精华教育科技x 0 ,例1 (1997. 高考)不等式组 3 x2 x 的解集是 ( C) 3 x2 xA. (0,

18、2)B. (0, 2.5)C. (0, 6 )D. (0, 3)解法1检验：排除 A, B, D, 选C.解法2：解方程选C.问4 试总结绝对值不等式的解法.绝对值不等式解法公式法分类法图解法平方法幻灯片 26幻灯片 27- 第 20 页 -天地精华教育科技例3快速填空:(1)x)2 ( x 3)3 0 3) 0 且 x 2,+0123 解集为 (, 0) U (1, 2) U (2, 3).( x 1)2 ( x 2)3(2) 0( x 5)x 1, 2 . 解集为 5,或x 1 .例2 已知不等式x2+px+q0的解集为(1,2), 则不等式x2 px q Dx2 5 x 60 的解集为(

19、)A. (1,2)B. (,1)(6,)C. (1,1)(2,6)D. (,1)(1,2)(6,)解 x2 px q ( x 1)( x 2) 00 x 1)( x 6)+1126幻灯片 28幻灯片 29- 第 21 页 -天地精华教育科技例5不等式 log (ax 2x 3)2在 x 9 时成立,则此不等式的解集是( 2, 5 )42解 log ( x 1)( x 2)0 log 1 0 0 a 1.a ( x 1)(3 x) x9a 34log (a x 2x3)2(例4不等式 x2 3 | x | 10的解集是_( 2, 2 ) .解 令 t | x | 0, 则原方程化为t 2 3t

20、10 0 (t 0) 5 t 2(t 0) 0 t 2| x | 2 2 x 2.幻灯片 30幻灯片 31- 第 22 页 -天地精华教育科技例7 解下列不等式：(1) x 3 2x解2 x 3 0 x(x+1)(x 3)0 x 解集是 (, 1) U (0, 3)5 x 2 8 x 3(2) 13 x 2 5 x 2解1x 3 x 1 (2 x 1)( x 1)20 0 x2 5 x 2(3 x 2)( x 1)x 1且x 2 3(, 1 U (2 , 1 )U ( 1, ) 解集是23(2 x 1)(3 x 2) 0例6 使 log2(x)0解 |x+1|2x 3|+20|2x 3|x+1

21、|+2|x+1|22x 3|x+1|+2 | x 1 | 1 2 x| x 1 | 2 x 5 x 1 2 x 1x 1 5 2 x x 0 或 x 2 40 x0的解集为 (1, 1)求不等式 x2+bx+a 0 的解集.3 a 0解 Q 1ax 2 bx 1 0 的二根是 1,3 1 1 1 1 a33 a 3 b12b 2 (1 ) a33 x2+bx+a0 x22x30 x3 或 x1 1 m 4 .43(2)f (, 则m4“m取值” f ( 1 ) 0 m 0 或m .3问3 怎样含参不等式？含参不等式:分类解不等式法图解法分离变量（反解法）幻灯片 42幻灯片 43- 第 28 页

22、 -天地精华教育科技例3 (1) 不等式 x22xy5 0 在1y2时恒成立,求实数x的取值范围.解 (1) 令 f (x)= x22yx5 , x 1 , 2.f (x) 0 在 y1, 2恒成立 f (1) 0 f (2) 0 2 x x2 5 0 x 5 或 x 1 6 .4 x x2 5 0例2关于x 的方程解(反4解x+法a) 2x+a+1=0有实数(其中t 2x 1 (1, )“取等号” t 2 t 2 (1, ).t a 的范围是 a 2 22 .幻灯片 44幻灯片 45- 第 29 页 -天地精华教育科技例5x2 8 x 20若不等式0 的解集为R,mx2 2(m 1)x 9m

23、 4求实数m的取值范围.解 由=824200 在R上恒成立,x2 8 x 20所以 0 的解集为Rmx2 2(m 1) x 9m 4 mx2+2(m+1)x+9m+40解集为R, m 0 m 04(m 1)2 4m(9m 4) 08m 2 2m 1 0m 01 m m 1 或m 1224所以实数 m 的取值范围是(, 1 ).2例4 xR, 不等式 ax2 (2a 1)x a 1 0 有解.求实数 a 的取值范围.解 不等式 ax2 (2a 1)x a 1 0的解集为 a 0 a 0 0(2a 1)2 4a(a 1) 0 a 0 a 18a 1 08所以不等式 ax2 (2a 1)x a 1

24、0有解时,.1实数a 的取值范围是 a .8幻灯片 46幻灯片 47- 第 30 页 -天地精华教育科技例6 (2)设关于x 的方程 f3 的两个非零实根为x1、x2 .试问: 是否存在实数m , 使得不等式m2+tm+1 | x1x2| 对任意 aA及t 1, 1恒成立? 若存在, 求m 的取值范围;若不存在, 请说明理由.解 (2) 4 x x 1 x 3 , a 1, 1, x 033 x2ax2=0 ( a1, 1 ). 其二根为 x | a2 812 m2 tm1| x x | m2 tm1 a2 8L（） 12a 2 8在a 1，1上最大值 1 8 3 ()在aA上恒成立 m2+t

25、 m+13 (t)= m t + m2 2 0 在 t 1, 1上恒成立 (1) 0 m m2 2 0 (1) 0 m m2 2 0m 2 或m2. 存在实数m , m 的取值范围2例 6已知f(3x)=4x+ax2x3 (xR)1在区间1, 1上是增函3 数.(1) 求实数 a 的值所组成的集合A;解 (1) f (x)=4+2ax2x20在区间1, 1上恒成立(f2()设1) 关0于x4的 方2a 程 2f(0 x)=2x+ x3 的两个f非(1零) 实0 根为4 x 2、a x2 . 012 1 a1 答：试问: 是否存在实数m , 使得不等式m2+tm+1A =| x1x |,对1幻灯片 48幻灯片 49- 第 31 页 -天地精华教育科技例8*已知函数 f ( x) x2 ax 0) .若实数a、b使得f (x)=0有实根，求a2+b2的取值范围.解 设t x 1 , 则 | t | 2, t 2 x2 1 2,xx2f (x)=0有实根 t2+at+b2=0 ( |t| 2 )有实根在直角坐标系aOb中,| t 2 2 |原点到直线的距离为 d .t 2 1设 m = t2+1 5, 则(m 3)2994a2 b2 d2 m 6 5 6 .mm55所以a2 b2的取