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1、1/26一、复合函数求导的链式法则三、一阶全微分形式的不变性第四节 多元复合函数的求导法则二、复合函数的高阶偏导数四、小结五、作业2/26复合函数为 两个中间变量 两个自变量的情形.一、复合函数求导的链式法则3/26则复合函数偏导数存在,且可用下列公式计算具有连续偏导数,1、定理4/26证.由于函数有连续偏导数5/26同理可证另一个公式。6/26 变量树图uv7/262、项数3、每一项中间变量函数对中间变量的偏导数，乘以中间变量对其指定自变量的偏导数.的个数.公式特征：1、偏导数公式个数自变量个数8/26中间变量多于两个的情形类似地推广,复合函数在对应点的两个偏导数存在,且可用下列公式计算:9

2、/26解.例1. 10/26例2. 设解. 求 .11/262、 中间变量为一元函数的情形.定理且其导数可用下列公式计算:具有连续偏导数,导数称为全导数。12/26复合函数的中间变量多于两个的情况.定理推广变量树图13/26例3. 设 求这是幂指函数的导数,但用全导数公式较简便.法二 yuvx解.法一可用取对数求导法计算.14/26即两者的区别3.的情形.把复合函数中的y看作不变而对x的偏导数把中的u及y看作不变而对x的偏导数15/26例4. 设 求提示引入中间变量,16/26 已知f(t)可微,证明 满足方程提示t, y 为中间变量, x, y 为自变量.引入中间变量,则练习17/26二、复

3、合函数的高阶偏导数对复合函数求高阶偏导数时,需注意:导函数仍是复合函数.故对导函数再求偏导数时,仍需用复合函数求导的方法. 例5. 设 f具有二阶连续偏导数, 解.18/26ursxtf具有二阶连续偏导数, 19/26 u对中间变量 r,s 的偏导数 从而也是自变量x, t 的复合函数.都是r, s 的函数,注2注1为了书写简便,常引进记号:表示对第一个中间变量求偏导,表示对第二个中间变量求偏导,表示先对第一个中间变量求偏导,再对第二个中间变量求偏导.20/26例4. 设 求 解.21/26 解.22/26具有连续偏导数,则有全微分则有全微分全微分形式不变性的实质三、一阶全微分形式的不变性23/26解.例7.注：通过全微分求所有一阶偏导数,比链式法则求偏导数有时会显得灵活方便.24/26思考题正确的是( ).25/26思考题解答令则两边对t求导,得26/26多元复合函数求导法则 (

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