工控第4章频率分析法

1、第四章 控制系统的频率特性和根轨迹控制理论的基本任务是分析控制系统的稳定性、准确性和快速性。时域分析法直观，但对于对于比较复杂的高阶系统计算麻烦，而且这种方法难于确定如何调整系统结构或参数才能获得预期的效果。因此，工程上相继出现了两种简便的分析方法：频率法和根轨迹法。可以通过分析系统对不同频率的稳态响应来获得系统的动态特性。频率特性有明确的物理意义，可以用实验的方法获得。这对那些不能或难于用分析方法建立数学模型的系统或环节，具有非常重要的意义。即使对于那些能够用分析法建模的系统，也可以通过频率特性实验对其模型加以验证和修改。不需要解闭环特征方程。由开环频率特性即可研究闭环系统的瞬态响应、稳态误

2、差和稳定性。频率特性分析法的特点：第一节 频率特性的基本概念频率响应概念 控制系统或元件对正弦输入信号的稳态正弦响应称为频率响应。线性系统传递函数为G(s)，若对该系统输入一幅值为R0，频率为的正弦信号：r(t)= R0sint ，则系统的输出为同一频率的正弦波，只是幅值和相位与输入不同（图4-1）。若保持输入量的振幅不变，仅仅改变输入信号的频率，则输出量与输入量的幅值比A()和相位差()都是频率的函数。这种输出与输入正弦信号的幅值比A()和相位差()随输入频率的变化规律，称为频率特性。图4-1结果的证明设控制系统的传递函数为 式中，nm。 （4-1）当输入为一正弦波，即则有系统的输出为（4-

3、2）设系统的传递函数为 （4-3）式中分母多项式q(s)中包含有互不相同的单极点-si（i=1，2，n），设系统为稳定系统，其实部均为负值。将式（4-3）代入式（4-2），并化为部分分式得（4-4）式中 a， 待定共轭复数；bi(i=1，2，n)待定常数。 如果传递函数中，包含有m个重极点pj时，则在c(t)表达式将包含 thje-pjt（hj=0，1，2，mj-1）这样一些项，当t时，这些项都为零。不论那种情况，其输出的稳态响应为（4-6）式中的a和 可按求留数的方法予以确定：（t0）因此上式的拉氏反变换为（4-5）对稳定系统而言，-p1，-p2，.，-pn具有负实部，因而，在上式中，当t时

4、，第三项以后各项全部为零，稳态值只有第一、第二项。因为G(j)是一个复数，所以可以表示成为 将a、 代入(4-6) 得可得 |G(j)|表示G(j)的幅值，表示G(j)的相位。式中， B()=R0|G(j)|为输出信号的幅值。从而证明了当线性系统输入一正弦信号时，其输出量也是正弦信号。但输出量的幅值R0|G(j)|和相位(t+)一般都和输入信号的幅值R0和相位t不同，并且这种变化是输入频率的函数。令在0范围内变化，相应求出|G(j)|和G(j)就可在频率域中对系统性能作全面的描述。-由欧拉公式（4-8） 在图4-1中，输入信号为r(t)=R0sin t ，则控制系统的输出信号为（4-9） 式中

5、 |G(j)|、的模和相位。G(j)是控制系统传递函数G(s)中令s= j而来，故表征了系统的固有特性。 G(j)称之为系统的频率特性，它等于在正弦输入下系统稳态输出量与输入量的复数比。 A()表示稳态输出量与输入量的幅值比，称为系统的幅频特性， A()= |G(j)|；()表示稳态输出量与输入量的相位差，称为系统的相频特性， ()= G(j) 。频率特性G(j)是一个以频率为自变量的复变函数，它是一个矢量，故可将G(j) 分解为实部和虚部之和即相频特性描述了输出相位对输入相位的滞后或超前特性。按照正弦信号的旋转矢量表示方法，规定()按逆时针方向旋转为正值，按顺时针方向旋转为负值。（4-10）

6、式中 U()实频特性， U()=ReG(j); V()虚频特性， V()=ImG(j)。这些频率特性之间的关系如下频率特性的物理意义图4-3所示的弹簧阻尼系统，其力平衡方程是若以x为输入y为输出，则系统的传递函数为式中 T=f/k时间常数。（4-17）在式（4-17）中，令s=j，则得系统的频率特性为式中 （幅频特性） （相频特性）因此，实频特性虚频特性如若输入位移是正弦函数，即x(t)=x0sint，根据式（4-8），其输出位移应为（4-19）频率特性G(j)的物理意义 由例4-1机械系统的频率特性可以看出：(1)机械系统的结构参数（k，f）给定之后，其频率特性完全确定，故频率特性反映了系统

7、的固有特性，与外界因素无关；(2)当频率很低时，输出量y(t)的振幅衰减甚微，相位滞后arctanT也很小，当输入频率增加时，输出振幅减小，相位滞后加大，当 时，输出量的振幅衰减至零，相位滞后()90。说明该系统复现正弦信号的能力是随输入频率变化的，该系统具有低通滤波作用。(3) 频率特性随频率而变化，是因为系统含有储能元件。实际系统中往往存在弹簧、惯量或电容、电感这些储能元件，它们在能量交换时，对不同频率的信号使系统显示出不同的特性。例4-1 某系统传递函数为 ，当输入为 时，试求其稳态输出。解：当给线性系统输入正弦函数信号时，系统将输出一个与输入同频率的正弦函数信号，其输出的幅值与相位取决

8、于系统幅频特性与相频特性。已知则幅频特性相频特性则由于所以习题： 机械系统如图所示：弹簧刚度系数k=10N/m，阻尼系数C=10Ns/m ,输入幅值为 1N的正弦力，求两种频率下即：f(t)=sint和f(t)=sin100t时，系统的位移y(t)的稳态输出。 解：系统的微分方程为系统的频率特性式中 T=c/k=10/10=1（s） 系统的传递函数系统的实频特性为系统的虚频特性为系统的幅频特性为系统的相频特性为当 =1时，G(j)的模和幅角为：当 =100 rad/s时， () =-arctan100-89.4 所以f(t)=sin100t时的稳态位移输出为系统的位移幅值随着输入力的频率增大而

9、减小，同时位移的相位滞后量也随频率的增高而加大。 所以当f(t)sint时稳态位移输出为 归纳：(1) 线性定常系统的频率特性可以通过系统的传递函数获得，即：G(j) = G(s)|s=j 系统的频率特性就是其传递函数G(s)中复变量s= +j在 =0时的特殊情况。(2)若系统的输入信号为正弦函数，则系统的稳态输出也是相同频率的正弦函数，但幅值和相位与输入信号的幅值和相位不同。 第二节 频率特性表示法 一幅相频率特性图(奈奎斯特图 Nyquist)频率特性的幅相频特性图也称为极坐标图或称为奈奎斯特图。由于频率特性G(j)是的复变函数，故可在复平面G(j)上表示。对于给定的 ，频率特性可由复平面

10、上相应的矢量G(j)描述。当从0变化时，G(j)矢量端点的轨迹即为频率特性的极坐标曲线，该曲线连同坐标一起则称为幅相频率特性图。这里规定极坐标图的实轴正方向为相位的零度线，由零度线起，矢量逆时针转过的角度为正，顺时针转过的角度为负。图中用箭头标明从小到大的方向。主要缺点:不能明显地表示出系统传递函数中各个环节在系统中的作用，绘制较麻烦。幅相频率特性图的优点:在一幅图上同时给出了系统在整个频率域的实频特性、虚频特性、幅频特性和相频特性。它比较简洁直观地表明了系统的频率特性。1.绘制频率特性Nyqusit图的步骤 （1）在系统传递函数中令s=j ，写出系统频率特性G(j) 。 （2）写出系统的幅频

11、特性|G(j)| 、相频特性G(j) 、实频特性Re()和虚频特性Im()。 （3）令=0 ，求出=0时的|G(j)| 、G(j)、Re() 、 Im()。 （4）若频率特性矢端轨迹与实轴、虚轴存在交点，求出这些交点。令Re()=0，求出，然后代入 Im()的表达式即求得矢端轨迹与虚轴的交点；令Im()=0 ，求出，然后代入Re()的表达式即求得矢端轨迹与实轴的交点。（5）对于二阶振荡环节（或二阶系统）还要求=n时的|G(j)|、G(j)、 Re()、Im()。若此环节（或系统）的阻尼比00.707，则还要计算谐振频率r 、谐振峰值Mr及=r时的Re()、Im()。其中，谐振频率r、谐振峰值可

12、由下式得到：（6）在0的范围内再取若干点分别求|G(j)|、G(j) 、Re()、Im() 。（8）在复平面G(j)中，标明实轴、原点、虚轴和复平面名称G(j)。在此坐标系中，分别描出以上所求各点，并按增大的方向将上述各点联成一条曲线，在该曲线旁标出增大的方向。（7）令= ，求出=时的 |G(j)|、G(j) 、 Re()、Im() 。1比例环节比例环节的传递函数是 G(s)=K令s=j ，则得比例环节的频率特性为 G(j)=K幅频特性相频特性这表明，当从0时，(j)的幅值总是K，相位总是0，(j)在极坐标图上为实轴上的一定点，其坐标为（K，j0）。2积分环节传递函数频率特性显然，实频特性恒为

13、0；虚频特性则为-1/ 。故幅频特性 |(j)|=1/ (4-21) 相频特性 (j)=-90 (4-22) 由此有：当 =0时，|G(j)|=，G(j)=-90;当 =时，|G(j)|=0，G(j)=-90。可见，当从0时， G(j)的幅值由0，相位总是-90，积分环节频率特性的极坐标图是虚轴的下半轴，由无穷远点指向原点。(4-20)3. 理想微分环节传递函数 G(s)=s 频率特性 G(j)=j (4-23)显然，实频特性恒为0；虚频特性为 。故 幅频特性 |G(j)|= (4-24)相频特性 G(j)=90 (4-25)由此有：当=0时， |G(j)|=0，G(j)=90； 当= 时，

14、|G(j)|= ，G(j)=90。 当从0时，G(j) 的幅值由 0，其相位总是90。微分环节的频率特性的极坐标图是虚轴的上半轴，由原点指向无穷远点。4.惯性环节 传递函数频率特性(4-26) 实频特性幅频特性 (4-29) 相频特性(4-30) 虚频特性(4-27) (4-28) 由此有： 当=0时，|G(j)|=1 ，G(j)=0 当=1/T时， |G(j)|=0.707 ，G(j)=-45 当=时，|G(j)|=0 ，G(j)=-90 根据上述实频和虚频特性两式，可分别求得不同值的U()和V()，从而作出极坐标图。 此时，频率特性曲线为一半圆。证明如下： 由于 将其代入实频特性表达式中

15、则有 ，将此式整理得 （4-31） 此式是一个圆方程，但由于G(j)=-arctanT ，所以当01时，幅值分贝数为正；当K1时，幅值分贝数为负。K值改变时，只是对数幅频特性上、下移动，而对数相频特性不变。比例环节：频率特性 (j)=K(2) 积分环节： 对数幅频特性为： (4-52)对数相频特性 ()=G(j)=-90 由式（4-52）知，L()在伯德图上为一直线。当=1 rad/s时， L()=0dB，即L()和横轴交于=1处，若求出该直线的斜率，则L()便可做出。频率特性为： (4-51)设2/1=10 rad/s，则L(2)-L(1) =-20lg2+20lg1 =-20lg(101)

16、+20lg1 =-20dB，即每当频率变化10倍，幅值下降20dB。记作对数幅频特性的斜率为-20dB/dec。于是，积分环节的对数幅频特性为一在=1 rad/s处穿越横轴、斜率为-20dB/dec的直线。积分环节的对数相频特性为()=-90的直线。 解：因 ，即 ， 例 作 的伯德图。相频特性 G(j)=-180 对数幅频特性为： 对数相频特性 ()=G(j)=-180当 =1 、K=10时，20lg|G(j)|=20dB，对数幅频特性过点(1，20)。 =10 、K=10时，20lg|G(j)|=-20dB，对数幅频特性过点(1，-20)故幅频特性 对数幅频特性为一过点（1，20）而斜率为

17、-40dB/dec的直线。它是一个比例环节(K=10)与两个积分环节(1/s)的对数幅频特性的叠加。对数相频特性是一条过点(0，-180)且平行于横轴的一直线，也是一个比例环节和两个积分环节的对数相频特性的叠加。 增加一个串联的积分环节，就使对数幅频特性的斜率增加-20dB/dec，而使相位增加-90； 增加一个串联的比例环节后，其对数幅频特性垂直平移20lgK，而其相位不变。(3) 微分环节 对数幅频特性L()= 20lg|G(j)|=20lg (4-54)对数相频特性 ()=G(j)=90 和积分环节对数频率特性表达式比较，两者仅仅相差一个符号，故微分环节的对数幅频特性为一在=1处和横轴相

18、交，其斜率为+20dB/dec的直线，对数相频特性为()=90的一条水平线，这说明输出的相位总是超前于输入相位90（图4-11b）。频率特性(4-53)(4) 惯性环节： 对数幅频特性 （ 4-56） 对数相频特性 在低频段，当1/T，(T)2 1/T，(T)2 1，对数幅频特性为： 频率每变化十倍频程，即2/1=10，则幅值下降即高频渐近线的斜率是-20dB/dec。当=1/T时，高频渐近线L()=-20lgT=0 ，故高频渐近线与横轴交于=1/T处。上述分析表明，惯性环节对数幅频特性的渐近线为一折线，折点在T=1/T处，称T为转角（或转折）频率。就工程计算而言，渐近线已经足够用了。由图可见

19、，最大误差发生在 T =1/T处。其误差是惯性环节的对数相频特性图，可根据式（4-57）改变 ，逐点求出()，作对数相频特性图(图4-12)。因为对数相频特性()=-arctanT是以反正切函数表示的，所以相位曲线斜对称于点(T，-45)。表4-1 惯性环节取不同频率时所对应的() (rad/s)01/10T1/5T1/2T1/T2/T5/T10/T()0-5.7-11.3-26.6-45-63.4-78.7-84.8-90 惯性环节有低通滤波器的特性。当输入频率T时，其输出很快衰减，即滤掉输入信号的高频部分；在低频段，输出能较准确地反映输入。 一阶微分环节与惯性环节的对数幅频特性和对数相频特

20、性仅差一个符号，其伯德图如图4-13所示。和惯性环节的伯德图对称于横轴；其对数幅频特性的渐近线由两条直线表示，当1/T时，是一条斜率为+20dB/doc的斜线，幅值迅速上升，说明一阶微分环节对高频信号具有超前放大作用。(5) 一阶微分环节： 对数幅频特性对数相频特性()=G(j)=arctanT 频率特性（ 4-58） （ 4-59） （ 4-60） (6) 振荡环节： 对数幅频特性为： (4-62) 频率特性 （ 4-61） 对数相频特性 (1) 振荡环节的对数幅频特性绘制方法当T1时， L()=20lgG(j)- 20lg(T)2 -40lgT每当增加十倍频程，即2=101，则幅值下降L(

21、)= L(2)-L(1)=-40lgT2+40lgT1 )=-40dB-40lgT1+40lgT1=-40dB。可见，高频渐近线为一斜率为-40dB/dec的直线。(4-63)当=1/T时，高频渐近线 L()= -40lgT =0dB。即高频渐近线与低频渐近线相交于=1/T处。因为n= 1/T，故无阻尼自然频率n就是振荡环节的转角频率。振荡环节的渐近线与无关，但实际上L()与是有关的，并且当1，G(j)与1相比，1可忽略不计，则高频时，G(j)1，G(j)与1相比， G(j) 可忽略不计，则在中频段（幅值穿越频率c附近）可通过计算描点画出轮廓。幅值穿越频率或增益交界频率（c）对数幅频特性曲线与

22、横坐标轴相交处的频率。二. 频率特性的性能指标在频域分析中，评价控制系统性能优劣的特征量称为频域性能指标，它体现了系统的快速性、稳定性等动态品质。系统的带宽 指闭环系统的对数幅值不低于-3dB时所对应的频率范围(0BWb)。带宽表征了系统响应的快速性。对系统带宽的要求，取决于两方面因素的综合考虑。1截止频率b和带宽BW截止频率 指闭环对数幅值L()20lgM()下降到-3dB即振幅M() 衰减到0.707M(0)时的角频率。闭环系统将高于截止频率的信号分量滤掉，而允许低于截止频率的信号分量通过。1).响应速度的要求 响应越快，要求带宽越宽。2).高频滤波的要求 为滤掉高频噪声，带宽又不能太宽。

23、2谐振峰值Mr和谐振频率r 闭环频率特性幅度值的极大值Mr，称为谐振峰值。以二阶系统为例。从 知，系统的阻尼越小，Mr值越大，越易振荡。阻尼比越大，Mr越小，越易稳定下来。故Mr标志着系统的相对稳定性。当1Mr1.4（相当于对数幅值0 20lgMr3dB）时，对应的阻尼比为0.40.707。若0.707，则系统不出现谐振峰值，故一般取Mr1.4。系统谐振峰值处的频率，称为谐振频率r，r表征了系统的响应速度。从图4-21可见，br，谐振频率r越大，系统带宽越宽，故响应速度越快 。3剪切率 指对数幅值曲线在截止频率附近的斜率，该处曲线斜率越大，高频噪音衰减的越快。因此，剪切率表征了系统从噪音中辨别信号的能力。开环频率特性性能指标中，描述系统相对稳定性的增益裕量、相位裕量等将在下一章介绍。三、最小相位系统最小相位传递函数：若传递函数G(s)的所有零点和极点均在复平面s的左半平面内，则称G(s) 为最小相位传递函数。最小相位系统：具有最小相位传递函数的系统。(0TT1)(0T1/4 时，根变成了复数，由于其实部为一常量s=-1/2，所以当K1/4后，根的轨迹沿s=-1/2这条直线向两方延伸，正如图4-29所示，这就是该系统的根轨迹图。（4-80）根轨迹所能反映的信息：1) 因特征方程的根就是系