圆与相似证明课案

1、 1、如图，AB是圆0的直径，点C、D在圆0上，且AD平分ZCAB.过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于E,与AB的延长线相交于点F.角平分线、平行线、弧中点、等腰三角形、垂径定理，角平分线性质；（旋转相似，ADEsABD，或者通过DG丄AB，求出DE，法一、平行线型相似，ODFsAEF,法二、外部母子型，BDFsDAF，法三、平移缩放相似，0D与BC交于点G，BD=CD，OGBsAEF）2、如图，AB是00的直径，点C在00上,ZCAB的平分线交00于点D,过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E,连接BC交AD于点F.（1）猜想ED与00的位置关系，并证明你的猜想；（2）若AB=6,AD

2、=5，求AF的长.（法一，内部母子型；法二连接0D得到矩形，402。中面积法求解CE）3、如图，AB为00的直径，点C是00上一点，AD平分ZCAB交00于点D,过点D作DE丄AC于点E.（1求证：（1）DE是00的切线；（2）若AC=3,DE=2，求AD的长.）(DCEsAED，求出CE,ZCDA=ZCBA,ZEDC=ZEAD)4、如图，AB是00的直径，C为00上一点，AD丄CD,（点D在00外）AC平分ZBAD.（1）求证：CD是00的切线；（2）若DC、AB的延长线相交于点E,且DE=12,AD=9，求BE的长.，求AC长（求出AE,平行线型相似，ECOsEDA。第三问计算可得ZE=Z

3、EAC=30,AC=CE）5、如图，已知AB是00的直径，直线l与00相切于点C，过点A作直线l的垂线，垂足为点D，连接AC.（1）求直径AB的长.（法一、旋转相似ADCsACB，法二，计算得ZDAC=ZCAB=30，RTAACB求出AB）6、如图，AB是00的直径，AC是弦，ZBAC的平分线AD交00于点D,DE是00的切线，交AC的延长线于点E.求证：（1）DE丄AC；（2）若AE=4,ED=2，求00的半径（旋转相似，ADEsABD，法二，作0F丄CA,垂径定理。）7、如图，AB是00的直径，点C是00上一点，ZBAC的平分线AD交00于点D,过点D垂直于AC的直线交AC的延长线于点E.

4、(1)求证：DE是00的切线；(2)如果AD=5,AE=4，求AC长.(连接BC,垂径定理，矩形得BC=2DE，旋转相似求出AB,得出AC。简单方法，作OF丄CA，垂径定理。)8、如图，AB为00的直径，AC为00的弦，AD平分ZBAC，交00于点D，DE丄CA,交AC的延长线于点E.(1)求证：直线DE是00的切线;(1)若AE=8,00的半径为5,求DE的长.(法一、作0F丄CA,垂径定理。法二、连接BC、0D。法三旋转相似，求AD。)9、如图，AB是00的直径，点C为00上一点，0F丄BC于点F,交00于点E,AE与BC交于点H,点D为0E的延长线上一点，且Z0DB=ZAEC.(1)求证

5、：BD是00的切线；(2)求证：CE2=EHEA；若00的半径为5,sinA=3/5，求BH的长.(垂径定理，母子型相似，连接BE,ABEHsAEB,第46题简单很多)10、如图1,AABC内接于OO,I为厶ABC的内心，延长AI分别交00、BC于D、E两点。（旋转相似，8字形，AECsABDsBED）AC=7，求线段AB的长。11、如图，AB是O0的直径，BC是O0的切线，连接AC交O0于点D，E为弧AD上一点，连结AE，BE,BE交AC于点F,且AE2=EFEB.12、如图，已知ABC，以边BC为直径的O0与边AB交于点D,点E为BD的中点，AFABC的角平分线，且AF丄EC.（1）求证：

6、AC与O0相切；（2）若AC=6，BC=8，求EC的长.C（三线合一，第一问方法比较多，比如ZEBH=ZECB，或者ZECB=ZECD或者ZECB=Z0EC；第二问法一,内部母子型，EHBsEBC；法二，笨方法，连接CD,面积法求出CD,射影定理图形求出AD、DH、CH、BH,再求EH）13、如图，已知BC是以AB为直径的。的切线，且BC=AB，连接OC交00于点D,延长AD交BC于点E,F为BE上一点，且DF=FB.(1)求证：DF是00的切线；(2)若BE=2,求00的半径.(切线证明，连接0F全等或者连BD等腰均可。直角三角形斜边中线等于斜边一半，三角函数值，倒A型相似，CDFsCBO)

7、14、如图：AB是00的直径,BC是00的切线,0C与00相交于点D,连接AD并延长，与BC相交于点E.(1)连接DF,求证：DF是00的切线.若BC=3,CD=1,求00的半径；(2)取BE的中点F,求证：DM=GM.A0=GM：B0)(勾股定理。连接BD,DF斜边中线。平行线型相似，DM：15、如图，AB是00的直径，点C为00上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E,AE交00于点D,直线EC交AB的延长线于点P,连接AC,BC,PB：PC=1：2.(1)求证：AC平分ZBAD；(2)探究线段PB,AB之间的数量关系，并说明理由；(3)若AD=3,求厶ABC的面积.(外部母子型，AB

8、=3PB,AC=2BCO0H丄AD,PC0PEA,求出半径。)16、如图，AB是半圆0的直径，C是AB延长线上一点，CD与半圆0相切于点D,连接AD,BD.求证：ZBAD=ZBDC；(2)若sinZBDC=V5/5,BC=2,求00的半径.17、如图，AB是00的直径，AC是弦，ZBAC的平分线AD交00于点D,DE丄AC,交AC的延长线于点E.0E交AD于点F.(I)求证：DE是00的切线;(II)若AE:AB=4:5，求AF:DF的值.X型相似)18、如图，已AB为00直径，AC是00的弦，ZBAC的平分线AD交00于D,过点D作DE丄AC交AC的延长线于点E,0E交AD于点F,cosZB

9、AC=3/5(1)求证：DE是00的切线;(2)若AF=8,求DF的长.(0D、BC相交于点G,0G中位线，根据比例求DG=CE,X型相似)19、如图，已知AB是00的直径，C是00上一点，ZBAC的平分线交00于点D,交00的切线BE于点E,过点D作DF丄AC,交AC的延长线于点F.（1）求证：DF是00的切线；（2）若DF=3,DE=2.求BE：AD值；求ZFAB的度数.（射影定理相似和旋转相似，BDEsABE,ADFAEB，根据比例，算出BE、AD即可20、如图，AB为00的直径，C为圆上一点，AD平分ZBAC交00于点D，DE丄AC交AC的延长线于点E,过B作FB丄AB交AD的延长线于

10、点F.（1）求证：DE是00的切线；（2）若DE=4，00的半径为5,求AC和BF的长.（法一、连接BC、0D，垂径定理BC=2DE，求AC、CE。法二，作0H丄AC,垂径定理。法三，作DPIAB，DP=DE,求出AP,平行线型相似求BF）21、如图，AB为00的直径，CE是00的切线，且AE丄CE，垂足为E,BC的延长线交AE的延长线于点D.(2)若CE=2DE,AD=10,AC=4V5，求DE的长22、如图，AB为00的直径，C为00上一点，连AC、BC,E为00上一点，且BE=CE，点F在BE上,面积法，做CG丄FB)法2，23、如图，AB是00的直径，BC丄AB,连结0C,弦AD0C，

11、直线CD交BA的延长线于点E.求证：直线CD是00的切线；若DE=2BC，求AD：0C的值.(3)若DE=2BC，EA=4，求00的半径.(C0D9AC0B。BC=CD，平行线型相似。)24、如图，AB是00的直径，点D是应上的一点，且ZBDE=ZCBE，BD与AE交于点F.(1)求证：BC是00的切线；(2)若BD平分ZABE，求证：DE2=DFDB；在的条件下，延长ED，BA交于点P,若PA=A0,DE=2，求PD的长和00的半径.(弦切角定理，角平分线=平行线型相似、外部母子型、燕尾型相似。PD0sAPEB,APDBspae,或者PDAsP0D,从割线出发的母子型是到圆心构成三角形)25

12、、如图，在ABC中，BC=AC，以BC为直径的00与边AB相交于点D,DE丄AC,垂足为点E.(1)判断DE与00的位置关系，并证明你的结论；(2)若DE的长为2V2,cosB=1/3，求00的半径.(CD三线合一，角平分线有平行，求出AD,三角函数求AC即可，或者AACD射影定理相似)26、如图，RtAABC中，ZA=90。，以AB为直径的00交BC于点D,点E在00上,CE=CA,AB，CE的延长线交于点F.求证:CE与00相切；若00的半径为3,EF=4,求BD的长.(倒A型相似，A0EFsACAF,AABC等腰三角形，AD三线合一)27、如图，AB是00的直径，CD是00的切线，切点为

13、C.延长AB交CD于点E.连接AC,作ZDAC=ZACD,作AF丄ED于点F,交00于点G.(1)求证：AD是00的切线;(平移缩放相似，RtACEO勾股定理厶AEFsOEC,RtAABGsRtAEF)28、如图所示，已知P为00外一点，PA为00的切线，A为切点，B为00上一点，且PA=PB，连接0P、AB相交于点D,过点0作0C丄0P交00于C,连接BC交0P于E.(1)求证：PB为00的切线；(2)（X型相似，BDEsC0E）00的半径为5,求CE的长.29、如图，已知00是厶ABC的外接圆，AB是00的直径，D是AB延长线上一点，AE丄DC交DC的延长线于点E,且AC平分ZEABoAE

14、=24/5，则BD=BC=(BD,连接0C平行线型相似，BC可以先求CE,面积法or旋转相似，或者求AC勾股定理)30、如图，00是AABC的外接圆，AD是00的直径，AD与BC相交于点M,且BM=MC.过点D作BC的平行线，分别与AB、AC的延长线相交于点E、F.(1)求证：EF与00相切；若BC=2V15.MD=V5求CE的长.31、如图，ABC内接于直径为BC的圆0,过点A作圆0的切线交CB的延长线于点P,ZBAC的平分线分别交BC和圆0于点D、E,若PA=2PB=10.(1)求证：AC=2AB；(2)求ADDE的值.(外部母子型相似，角平分线性质，AC：AB=CD：DB(通过角平分线分

15、两三角形面积计算得到)32、如图，AB是00的直径，CD与00相切于点C,DA丄AB,D0及D0的延长线与00分别相交于点E、F,EB与CF相交于点G.(1)求证：DA=DC；(2)00的半径为3,DC=4,求CG的长.(法一、AC与DF交于M,面积法求AC、BC,RTAAEM求出AE=CE=BF,求出BE=CF,X型相似BCGFEG,或者或用厶ABCsDOA求出AC；法二、连接G0,三线合一，0G丄EF,tanZF=tanZABE，作EN丄AB)33、如图，点E是厶ABC的内心，AE的延长线和ABC的外接圆00相交于点D,BC是00的直径，00的切线FD与AB的延长线交于点F.(1)求证：D

16、FBC；(2)若AC=6,DE=5V2，求BF的长(第10题类似，DE=DC，书上例4一样的题目，简单方法做BG垂直FD,0DGB为正方形，AFEGsbca。容易理解的方法，母子相似和旋转相似，FDBsFADsDAC,DAC两边知道，FDE知道一边)34、如图，已知AB是00的直径，点C在00上，D是AB的中点，过点C作CD的垂线，与DB的延长线（CBEsCAD，可求出BD，BE。复杂的方法，CD、AB交于G,做GF丄CB,ACGF为等腰直角,AACB“GFB，求出CG、GF、BG、，进而求出DG,得到CD，ACBsDCE）35、如图，AB是00的直径，点C在00上,D是00上的一个动点，且C

17、，D两点位于直径AB的两侧.连接CD，过点C作CE丄CD交DB的延长线于点E.若AC=2,BC=4，则线段DE长的最大值是（ACBsDCE,CD：CE=AC：AB,CD越大，CE越大，进而DE越大，所以CD是直径时DE最大。）36、如图，AB为00的直径，点C,D在00上,AC0D,过点D的切线与AB的延长线交于点E,CB与0D相交于点F,若AB=V35,DB=V10.(1)求证：CBDE；(2)求BE的长（法一，外部母子型，ADEsDBE，设BE=x，解方程，法二，内部母子型，连接AD交BC于F,ABDsBFD，再用平行线分线段成比例；法三，作DG丄AB,ADB面积法，BC交0D于F,BF=

18、DG=1/2BC,AACB“ODE)37、如图，AD是00的切线，切点为A,AB是00的弦.过点B作BCAD，交00于点C,连接AC,过点C作CDAB，交AD于点D.连接A0并延长交BC于点M,交过点C的直线于点P,且ZBCP=ZACD.(1)判断直线PC与00的位置关系，并说明理由；(2)若AB=9,BC=6.求PC的长.,ZBCP=ZACD=ZBACP=ZPOC,法二，连接CO并延长至N,连接BN,第二问，法一垂径定理基本图形求出半径，OPCOCM，法二8字形相似厶ABMCPM，简单)38、如图，A、P、B、C是00上的四点，ZAPC=ZBPC=60。，AB与PC交于Q点.(1)判断ABC

19、的形状，并证明你的结论；(2)求证：竺二PBQBABC的面积为4V3,求PC的长.(平行线法，或者X型相似，相交弦定理，第二问法一，做BD/AP，相似,BP=BD；法二，APQCBQ,BPQsCAQ,AC=BC,找需要的那一组边AP、AQ,BP、BQ。第二问作BN丄PC)39、如图，AB是00的直径，C是00上一点，0D丄BC于点D,过点C作00的切线，交0D的延长线于点E,连结BE.(1)求证:BE与00相切(2)连结AD并延长交BE于点F,若0B=9,求血乙比=jBF的长(垂径定理，作DG丄AB于G,RTA0BD射影定理，ADGsABF)40、如图所示，AABC是直角三角形，ZABC=90

20、,以AB为直径的圆0交AC于点E,点D是BC边的中点,连结DE.(1)求证：DE与圆0相切；(2)若圆0的半径为V3,DE=3,求AE。(直角三角形斜边中线，面积法or射影定理)41、如图所示，AB是00的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CD丄AB于点D,CD交AE于点F,过C作CGAE交BA的延长线于点G.(1)求证：CG是00的切线.(2)求证：AF=CF.(3)若ZEAB=30,CF=2,求GA的长.垂径定理，平行；等弧对等角；基本计算)42、如图，00的直径AC与弦BD相交于点F,点E是DB延长线上一点，ZEAB=ZADB.求证：EA是00的切线；已知点B是EF的中点，求证：

21、以A、B、C为顶点的三角形与AAEF相似；已知AF=4,CF=2,在(2)的条件下，求AE的长.43、如图，已知AB是00的直径，BC是00的切线，B为切点，OC平行于弦AD,连接CD.过点D作DE丄AB于E,交AC于点P,求证：点P平分线段DE.（14题类似，连0D证全等，作切线AF，FADECB，对应成比例，切线长定理）44、如图，在ABC中，AB=AC，以AC为直径作00交BC于点D,过点D作00的切线EF，交AB和AC的延长线于E、F.（1）求证：FE丄AB；（2）当AE=6，sinZCFD=3/5时，求EB的长.（连接0D,平行线型相似，勾股定理）45、如图.已知AB是00的直径.C是00上一点，直线CE与AB的延长线相交于点E,AD丄CE于点D,AD交00于点F.AC平分ZDAE.（1）求证：CE是00的切线.（2）若DC+DF=6.00的直径为10,求AF的长.（过0作0G丄AD,勾股定理）46、如图，AB是00的直径，BD是00的切线，点C为00上一点，0D丄BC于点F交00于点E,连接AE、CE.(I)求证：Z0DB=ZAEC；(2)若00的半径为4，sinA=3/4，求EF的长.与第九题类似