微积分a10,无穷级数

1、微积分A刻苦 勤奋求实 创新理学院公共数学教学中心第十章 无穷级数教学内容和基本要求 理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解 无穷级数基本性质及收敛的必要条件。掌握几何级数和P级数的收敛性。 了解交错级数的莱布尼兹定理，会估计交错级数截断误差。 了解正项级数的比较审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。 了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。 了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 掌握比较简单的幂级数收敛区间的求法（区间端点的收敛性可不作要求）。了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。会利用ex、

2、sinx、cosx、ln(1+x)和(1+x)u的马克劳林（Maclaurin）展开式将一些简单的函数间接展开成幂级数。了解级数在近似计算上的简单应用。了解函数展开为傅里叶（Fourier）级数的狄利克雷（Dirichlet）条件,会将定义在（-,）和（- L ,+L）上的函数展开为傅里叶级数,并会将定义在（0, +L ）上的函数展开为正弦或余弦级数。重点与难点重点：无穷级数收敛和发散的概念; 正项级数的比值审敛法; 级数绝对收敛与收敛的关系; 幂级数的收敛半径与收敛区间; Taylor级数; 函数的幂级数展开式; 函数的Fourier级数; 函数展开为正弦或余弦级数。难点：求幂级数的收敛半径

3、与收敛区间， 函数展开为正弦级数或余弦级数。深度与广度：绝对收敛与条件收敛包括 概念、两者之间的关系、绝对收 敛 的 性质；幂级数的四则运算、和的连 续性、逐项积分与逐项微分均不证。 1 函数项级数的定义定义在区间I上的一列函数则由这一列函数构成的表达式 称为定义在区间I上的（函数项）无穷级数，简称（函数项）级数。（1）一、函数项级数10.3 幂 级 数2 函数项级数的收敛与发散 对于每一个确定的值 函数项级数就成为常数项级数:（1）如果（1）收敛，称点x0是函数项级数（1）的收敛点；如果（1）发散，则称点x0是函数项级数（1）的发散点。此级数可能收敛可能发散。 由所有的收敛点构成的集合称为函

4、数项级数的收敛域，由所有的发散点构成的集合称为函数项级数的发散域。 显然，在收敛域上，函数项级数的和是x的函数，记作 称为函数项级数的和函数，即和函数的定义域就是级数的收敛域。函数项级数（1）的前n项和称为它的部分和函数，易知在收敛域上有 称为函数项级数的余项，在收敛域上有形如的级数称为幂级数，其中的常数称为幂级数的系数。 一个幂级数的和是定义在它们的收敛域内的一个函数，即和函数。二、幂级数及其收敛性1,幂级数定义如幂级数的收敛域是(-1,1)，当 时有即当 时,收敛；当 时,发散.收敛域发散域定理1 (阿贝尔Abel定理)(1)如果级数 在 处收敛, 则它在满足不等式 的一切 处绝对 收敛；

5、(2)如果级数 在 处发散,则它在满 足不等式 的一切 处发散.使得当 时,等比级数 收敛, 收敛,即级数 收敛. 证明收敛,几何意义收敛区域发散区域发散区域假设当 时发散,而有一点 适合使级数收敛.由(1)结论,则级数当 时应收敛,这与所设矛盾.推论 如果幂级数 不是仅在 一点收敛,也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定的正数 存在,使得当 时,幂级数绝对收敛；当 时,幂级数发散；当 与 时,幂级数可能收敛也可能发散 正数R称为幂级数的收敛半径.从而决定了收敛域为以下四个区间之一:规定收敛域(1) 幂级数只在 处收敛,收敛域(2)幂级数对一切 都收敛,2,收敛半径幂级数收敛域举例(先不

6、证明):证明对级数 应用达朗贝尔判别法 ()或定理2 如果幂级数 的所有系数 ,设(1)则当 时,(2)则当 时,(3)则当 时,如果 存在由比值审敛法,当 时,级数 收敛,从而级数 绝对收敛.当 时,级数 发散,并且从某个n开始从而级数 发散,收敛半径定理证毕.从而级数 绝对收敛.收敛半径如果有级数 收敛,级数 必发散.如果(否则由定理1知将有点 使 收敛)收敛半径例1 求幂级数 的收敛域。解：因为又当 时，级数为 ，发散；当 时，级数为 ，发散。所以这个幂级数的收敛域为 。收敛域也可叫收敛区间。解解令t =x 1, 则级数变为解 求下列幂级数的收敛区间:该级数发散；当 时,级数为该级数收敛；当 时,级数为故收敛域是练 1故收敛域是级数只在 处收敛.当 即 时,原级数收敛. 求幂级数 的收敛域.解级数 缺少偶次幂的项,对级数 用比值判别法练 2当