2023高考科学复习解决方案-数学(名校内参版) 第八章 8.4空间直线、平面的平行（Word学案）

1、84空间直线、平面的平行(教师独具内容)1从基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，归纳出以下性质定理和判定定理：(1)一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行(2)两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行(3)如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行(4)如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行2以立体几何的定义、基本事实和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质定理与判定定理，并能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些

2、关于空间图形的平行关系的简单命题3重点提升逻辑推理和直观想象素养(教师独具内容)1考查空间中的平行关系：以棱柱或棱锥等多面体为载体，考查空间中平行关系的证明；熟练掌握空间线面平行的判定与性质、面面平行的判定与性质，这是证明平行关系的理论依据2从近三年高考情况来看，本考点是高考的重点预测2023年高考中直线、平面平行的判定及性质为重点考查内容，涉及线线平行、线面平行及面面平行的判定及应用，题型为解答题中的一问(教师独具内容)(教师独具内容)1直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果平面外一条直线与 eq o(,sup3(01)此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平

3、面平行(简记为“线线平行线面平行”) eq o(,sup3(02) eq blc rc(avs4alco1(la,a,l)l性质定理一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与 eq o(,sup3(03)交线平行(简记为“线面平行线线平行”) eq o(,sup3(04) eq blc rc(avs4alco1(l,l,b) eq avs4al(lb)2平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面内的两条 eq o(,sup3(01)相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行(简记为“线面平行面面平行”) eq blc rc(avs

4、4alco1(a,b,abP,a,b)性质定理两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面 eq o(,sup3(02)相交，那么两条 eq o(,sup3(03)交线平行 eq o(,sup3(04) eq blc rc(avs4alco1(,a,b) eq avs4al(ab)3平行关系中的重要结论(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等(3)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例(4)同一条直线与两个平行平面所成的角相等(5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行线线平行、线面平行、面面平行的相互

5、转化是解决与平行有关的证明题的指导思想，解题中既要注意一般的转化规律，又要看清题目的具体条件，选择正确的转化方向1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线()(2)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行()(3)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面()(4)若直线a与平面内无数条直线平行，则a.()答案(1)(2)(3)(4)2平面平面的一个充分条件是()A存在一条直线a，a，aB存在一条直线a，a，aC存在两条平行直线a，b，a，b，a，bD存在两条异面直线a，b，a，b，a，b

6、答案D解析若l，al，a，a，则a，a，故排除A；若l，a，al，则a，故排除B；若l，a，al，b，bl，则a，b，故排除C.故选D.3已知直线a与直线b平行，直线a与平面平行，则直线b与平面的关系为()A平行B相交C直线b在平面内D平行或直线b在平面内答案D解析依题意，直线a必与平面内的某直线平行，又ab，因此直线b与平面的位置关系是平行或直线b在平面内4.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为_答案平行解析连接BD交AC于点O，连接OE(图略)，则OEBD1，OE平面ACE，BD1平面ACE，BD1平面ACE.5如图是长方体被一平面所

7、截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为_答案平行四边形解析因为平面ABFE平面CDHG，又平面EFGH平面ABFEEF，平面EFGH平面CDHGHG，所以EFHG.同理EHFG，所以四边形EFGH是平行四边形1(2020全国卷)如图，已知三棱柱ABCA1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.(1)证明：AA1MN，且平面A1AMN平面EB1C1F；(2)设O为A1B1C1的中心，若AOAB6，AO平面EB1C1F，且MPN eq f(,3)，求四棱锥BEB1C1F的体

8、积解(1)证明：M，N分别为BC，B1C1的中点，MNBB1.又AA1BB1，AA1MN.A1B1C1是等边三角形，N为B1C1的中点，A1NB1C1.又侧面BB1C1C为矩形，B1C1BB1.MNBB1，MNB1C1.又MNA1NN，MN，A1N平面A1AMN，B1C1平面A1AMN.又B1C1平面EB1C1F，平面A1AMN平面EB1C1F.(2)如图，过M作NP的垂线，垂足为H，平面A1AMN平面EB1C1F，平面EB1C1F平面A1AMNNP，MH平面A1AMN，MH平面EB1C1F.BCB1C1，BC平面EB1C1F.VBEB1C1FVMEB1C1F eq f(1,3)S四边形EB1

9、C1FMH.AO平面EB1C1F，AO平面A1AMN，平面A1AMN平面EB1C1FNP，AONP.又NOAP，四边形OAPN为平行四边形AONP6.O为A1B1C1的中心，A1NAMAB sin eq f(,3)6 eq f(r(3),2)3 eq r(3)，ON eq f(1,3)A1N eq r(3).APON eq r(3)，则PMAMAP2 eq r(3).MHPM sin MPH2 eq r(3)sin eq f(,3)3.又在等边三角形ABC中， eq f(EF,BC) eq f(AP,AM)，EF eq f(APBC,AM) eq f(r(3)6,3r(3)2.由(1)知，四边

10、形EB1C1F为梯形，S四边形EB1C1F eq f(EFB1C1,2)NP eq f(26,2)624.VBEB1C1F eq f(1,3)S四边形EB1C1FMH eq f(1,3)24324.2(2018全国卷)如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧 eq o(CD,sup15()所在平面垂直，M是 eq o(CD,sup14()上异于C，D的点(1)证明：平面AMD平面BMC；(2)在线段AM上是否存在点P，使得MC平面PBD？说明理由解(1)证明：由题设知，平面CMD平面ABCD，交线为CD.因为BCCD，BC平面ABCD，所以BC平面CMD，故BCDM.因为M为 eq o(CD,sup

11、14()上异于C，D的点，且DC为直径，所以DMCM.又BCCMC，BC，CM平面BMC，所以DM平面BMC.而DM平面AMD，故平面AMD平面BMC.(2)当P为AM的中点时，MC平面PBD.证明如下：连接AC交BD于O.因为四边形ABCD为矩形，所以O为AC的中点连接OP，因为P为AM的中点，所以MCOP.又MC平面PBD，OP平面PBD，所以MC平面PBD.一、基础知识巩固考点平行关系的基本问题例1已知m，n是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题正确的是()A若m，n，则mnB若，则C若m，m，则D若m，n，则mn答案D解析对于A，若m，n，则m与n可能平行，可能相交，也可能异面，故A

12、错误；对于B，若，则与可能平行，也可能相交(比如直三棱柱相邻两侧面都与底面垂直)，故B错误；对于C，若m，m，则与可能平行，也可能相交，故C错误；对于D，垂直于同一平面的两条直线相互平行，故D正确故选D.1.已知两条不同的直线a，b，两个不同的平面，有如下命题：若a，b，则ab；若，a，则a；若，a，b，则ab.其中正确命题的个数为()A3 B2C1 D0答案C解析若a，b，则a与b平行或异面，故错误；若，a，则a与没有公共点，即a，故正确；若，a，b，则a与b无公共点，得a，b平行或异面，故错误正确命题的个数为1.故选C.2(多选)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，

13、Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ平行的是()答案BCD解析A项，作如图所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QDAB.QD平面MNQQ，直线AB与平面MNQ相交；B项，作如图所示的辅助线，则ABCD，CDMQ，ABMQ.又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，AB平面MNQ；C项，作如图所示的辅助线，则ABCD，CDMQ，ABMQ.又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，AB平面MNQ；D项，作如图所示的辅助线，则ABCD，CDNQ，ABNQ.又AB平面MNQ，NQ平面MNQ，AB平面MNQ.故选BCD.判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是选

14、择题还是含有选择项的填空题，都可以先从中选出最熟悉最容易判断的选项确定或排除，再逐步判断其余选项直线、平面间平行的判定方法：(1)关注是否符合判定定理与性质定理，并注意定理中易忽视的条件(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断(3)利用实物进行空间想象，比较判断(4)熟记一些常见结论，如垂直于同一条直线的两个平面平行等考点直线与平面平行的判定与性质例2如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，G，F分别是线段BE，DC的中点求证：GF平面ADE.证明证法一： (线线平行，则线面平行)如图，取AE的中点H，连接HG，HD，又G是BE的中点，所以GHAB，且GH eq f(1,2)A

15、B.又F是CD的中点，所以DF eq f(1,2)CD.由四边形ABCD是矩形得ABCD，ABCD，所以GHDF，且GHDF，所以四边形HGFD是平行四边形，所以GFDH.又DH平面ADE，GF平面ADE，所以GF平面ADE.证法二：(面面平行，则线面平行)如图，取AB的中点M，连接MG，MF.又G是BE的中点，可知GMAE.又AE平面ADE，GM平面ADE，所以GM平面ADE.在矩形ABCD中，由M，F分别是AB，CD的中点，得MFAD.又AD平面ADE，MF平面ADE.所以MF平面ADE.又因为GMMFM，GM平面GMF，MF平面GMF，所以平面GMF平面ADE.又GF平面GMF，所以GF

16、平面ADE.例3如图所示，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H.求证：PAGH.证明如图所示，连接AC交BD于点O，连接OM，四边形ABCD是平行四边形，O是AC的中点，又M是PC的中点，PAOM，又OM平面BMD，PA平面BMD，PA平面BMD，又平面PAHG平面BMDGH，PAGH.3如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，PA平面ABCD，PA3，F是棱PA上的一个动点，E为PD的中点，O为AC的中点(1)求证：OE平面PAB；(2)若AF1，求证：CE平面BDF；(3)若AF2，M为ABC的重心，求

17、证：FM平面PBC.证明(1)因为四边形ABCD为菱形，O为AC的中点，所以O为BD的中点，又E为PD的中点，所以OEPB.又OE平面PAB，PB平面PAB，所以OE平面PAB.(2)过E作EGFD交AP于G，连接CG，FO.因为EGFD，EG平面BDF，FD平面BDF，所以EG平面BDF，因为E为PD的中点，所以G为FP的中点，因为AF1，PA3，所以F为AG的中点，所以OFCG.因为CG平面BDF，OF平面BDF，所以CG平面BDF.又EGCGG，EG，CG平面CGE，所以平面CGE平面BDF，又CE平面CGE，所以CE平面BDF.(3)连接AM并延长，交BC于点Q，连接PQ，因为M为AB

18、C的重心，所以Q为BC的中点，且 eq f(AM,MQ) eq f(2,1).又AF2，所以 eq f(AF,FP) eq f(2,1).所以 eq f(AM,MQ) eq f(AF,FP)，所以FMPQ，又FM平面PBC，PQ平面PBC，所以FM平面PBC.4.如图，在五面体ABCDE中，四边形ABDE是矩形，ABC是正三角形，AB1，AE2，F是线段BC上一点，直线BC与平面ABD所成的角为30，CE平面ADF.(1)试确定F的位置；(2)求三棱锥ACDF的体积解(1)连接BE交AD于点O，连接OF，则O为BE的中点因为CE平面ADF，CE平面BEC，平面ADF平面BECOF，所以CEOF

19、.因为O是BE的中点，所以F是BC的中点(2)因为BC与平面ABD所成的角为30，BCAB1，所以C到平面ABD的距离为hBC sin 30 eq f(1,2).因为AE2，F是BC的中点，所以VACDFVFACD eq f(1,2)VBACD eq f(1,2)VCABD eq f(1,2) eq f(1,3) eq f(1,2)12 eq f(1,2) eq f(1,12).判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点).(2)利用线面平行的判定定理(a，b，aba).(3)利用面面平行的性质(，aa).(4)利用面面平行的性质(，a，aa)(客观题可用).应用线面平行的

20、性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线考点平面与平面平行的判定与性质例4如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点(1)求证：B，C，H，G四点共面；(2)求证：平面EFA1平面BCHG；(3)若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1平面AC1D.证明(1)G，H分别是A1B1，A1C1的中点，GH是A1B1C1的中位线，GHB1C1.又B1C1BC，GHBC，B，C，H，G四点共面(2)E，F分别是AB，AC的中点，EFBC.EF平面BCHG，BC平面BCHG，EF平面BCHG.A1GEB

21、且A1GEB，四边形A1EBG是平行四边形，A1EGB.又A1E平面BCHG，GB平面BCHG，A1E平面BCHG.又A1EEFE，A1E，EF平面EFA1，平面EFA1平面BCHG.(3)如图所示，连接A1C交AC1于点M，四边形A1ACC1是平行四边形，M是A1C的中点，连接DM.D为BC的中点，A1BDM.A1B平面A1BD1，DM平面A1BD1，DM平面A1BD1.又由三棱柱的性质知，D1C1綊BD，四边形BDC1D1为平行四边形，DC1BD1.又DC1平面A1BD1，BD1平面A1BD1，DC1平面A1BD1，又DC1DMD，DC1平面AC1D，DM平面AC1D，平面A1BD1平面A

22、C1D.例5如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的多面体中，AF平面ABCD，DE平面ABCD，ADBC，BC2AD.请在图中作出平面，使得DE，且BF，并说明理由解如图，取BC的中点P，连接DP，PE，则平面PDE即为所求的平面.下面证明BF.因为BC2AD，ADBC，所以ADBP，且ADBP，所以四边形ABPD为平行四边形，所以ABDP.又AB平面PDE，DP平面PDE，所以AB平面PDE.因为AF平面ABCD，DE平面ABCD，所以AFDE.又AF平面PDE，DE平面PDE，所以AF平面PDE.又AF平面ABF，AB平面ABF，ABAFA，所以平面ABF平面PDE.又BF平面ABF，所

23、以BF平面PDE，即BF.5.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，点D是BC上一点，且A1B平面AC1D，点D1是B1C1的中点求证：平面A1BD1平面AC1D.证明如图，连接A1C交AC1于点E，连接ED，因为四边形A1ACC1是平行四边形，所以点E是A1C的中点，因为A1B平面AC1D，平面A1BC平面AC1DED，所以A1BED，因为点E是A1C的中点，所以点D是BC的中点，又因为点D1是B1C1的中点，所以D1C1綊BD，所以四边形BDC1D1为平行四边形，所以BD1C1D.又BD1平面AC1D，C1D平面AC1D，所以BD1平面AC1D，又因为A1BBD1B，所以平面A1BD1平面A

24、C1D.6.如图所示，在四棱锥EABCD中，ABD为正三角形，CBCD，ECBD.(1)求证：BEDE；(2)若BCD120，M为线段AE的中点，求证：DM平面BEC.证明(1)取BD的中点O，连接OC，OE.CBCD，OCBD.又ECBD，ECOCC，BD平面OEC.OE平面OEC，BDOE.又O为BD的中点，OE为BD的垂直平分线，BEDE.(2)取AB的中点N，连接DN，MN.M为AE的中点，MNBE.BE平面BEC，MN平面BEC，MN平面BEC.ABD为等边三角形，N为AB的中点，DNAB.BCD120，CDCB，OBC30，CBN90，即CBAB，DNCB.CB平面BEC，DN平面

25、BEC，DN平面BEC.DNMNN，DN，MN平面MND，平面MND平面BEC.又DM平面MND，DM平面BEC.1判定面面平行的四种方法(1)利用定义：即证两个平面没有公共点(不常用).(2)利用面面平行的判定定理(主要方法).(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用).(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(客观题可用).2面面平行的应用(1)两平面平行，构造与之相交的第三个平面，可得交线平行(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行，可用于证明线面平行考点平行关系的综合应用例6如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，DE

26、平面ABCD，AF平面ABCD，DE3，AF1.(1)证明：平面ABF平面DCE；(2)在DE上是否存在一点G，使平面FBG将几何体ABCDEF分成上、下两部分的体积比为35？若存在，求出点G的位置；若不存在，请说明理由解(1)证明：DE平面ABCD，AF平面ABCD，DEAF，又DE平面DCE，AF平面DCE，AF平面DCE.四边形ABCD是正方形，ABCD，又CD平面DCE，AB平面DCE，AB平面DCE.ABAFA，AB平面ABF，AF平面ABF，平面ABF平面DCE.(2)存在点G，满足题意理由如下：假设存在一点G，过G作MGBF交EC于M，过C作CHBF交ED于H，连接BG，BM，F

27、G，如图，由VABCDEFVBADEFVBCDE eq f(1,3)3 eq f(（13）3,2) eq f(1,3)3 eq f(33,2) eq f(21,2)，设EGt，则VGFBMEVBEFGVBEGM eq f(21,2) eq f(3,8) eq f(63,16)，设M到ED的距离为h，则 eq f(h,3) eq f(EM,EC) eq f(EG,EH) eq f(t,31)，即h eq f(3,2)t，则SEGM eq f(1,2)t eq f(3,2)t eq f(3,4)t2，VGFBMEVBEFGVBEGM eq f(1,3)3 eq f(1,2)3t eq f(1,3)

28、3 eq f(3,4)t2 eq f(63,16)，即4t28t210，解得t eq f(3,2)或t eq f(7,2)(舍去)，则存在点G，当EG eq f(3,2)，即G为ED的中点时满足条件7.如图所示，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件_时，就有MN平面B1BDD1(请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况).答案点M在线段FH上解析连接HN，FH，FN，则FHDD1，HNBD，平面FHN平面B1BDD1，只需MFH，则MN平面FHN，MN平面

29、B1BDD1.8如图所示，平面平面，点A，点C，点B，点D，点E，F分别在线段AB，CD上，且AEEBCFFD.(1)求证：EF平面；(2)若E，F分别是AB，CD的中点，AC4，BD6，且AC，BD所成的角为60，求EF的长解(1)证明：当AB，CD在同一平面内时，由平面平面，平面平面ABDCAC，平面平面ABDCBD知，ACBD.AEEBCFFD，EFBD.又EF，BD，EF平面.当AB与CD异面时，如图所示，设平面ACD平面HD，且HDAC，平面平面，平面平面ACDHAC，ACHD，四边形ACDH是平行四边形在AH上取一点G，使AGGHCFFD，连接EG，FG，BH.AEEBCFFDAG

30、GH，GFHD，EGBH.又EGGFG，BHHDH，平面EFG平面.又EF平面EFG，EF平面.综合可知，EF平面.(2)如图所示，连接AD，取AD的中点M，连接ME，MF.E，F分别是AB，CD的中点，MEBD，MFAC，且ME eq f(1,2)BD3，MF eq f(1,2)AC2.EMF为AC与BD所成的角或其补角，EMF60或120.在EFM中，由余弦定理得EF eq r(ME2MF22MEMF cos EMF) eq r(3222232f(1,2) eq r(136)，即EF eq r(7)或EF eq r(19).解决存在问题一般先假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结

31、论成立的充分条件，若找到了使结论成立的充分条件，则存在；若找不到使结论成立的充分条件(出现矛盾)，则不存在二、核心素养提升例1(多选)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为2，侧棱AA11，P为上底面A1B1C1D1内的动点，则下列四个结论中正确的是()A若PD3，则满足条件的点P有且只有一个B若PD eq r(3)，则点P的轨迹是一段圆弧C若PD平面ACB1，则PD长的最小值为2D若PD平面ACB1，且PD eq r(3)，则平面BDP截正四棱柱ABCDA1B1C1D1的外接球所得平面图形的面积为 eq f(9,4)答案ABD解析如图，因为正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长

32、为2，所以B1D12 eq r(2)，又侧棱AA11，所以DB1 eq r(（2r(2)）21)3，则P与B1重合时PD3，此时点P唯一，故A正确；因为PD eq r(3)(1，3)，DD11，则PD1 eq r(2)，即点P的轨迹是一段圆弧，故B正确；连接DA1，DC1，可得平面A1DC1平面ACB1，则当PD平面ACB1时，点P在A1C1上运动又DA1DC1 eq r(5)，则P为A1C1的中点时，PD有最小值为 eq r(（r(5)）2（r(2)）2) eq r(3)，故C错误；由C项知，平面BDP即为平面BDD1B1，平面BDP截正四棱柱ABCDA1B1C1D1的外接球所得平面图形为外

33、接球的大圆，其半径为 eq f(1,2) eq r(222212) eq f(3,2)，面积为 eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2) eq sup12(2) eq f(9,4)，故D正确故选ABD.例2如图，在空间几何体ABCDE中，BCD与CDE均为边长为2的等边三角形，ABC为腰长为 eq r(13)的等腰三角形，平面CDE平面BCD，平面ABC平面BCD.(1)试在平面BCD内作一条直线，使直线上任意一点F与A的连线AF均与平面CDE平行，并给出详细证明；(2)求点B到平面AEC的距离解(1)如图所示，分别取BC和BD的中点H，G，连接HG，则直线HG为所求直线证明如下

34、：因为H，G分别为BC，BD的中点，所以HGCD，所以HG平面CDE.取CD的中点O，连接EO，AH，AG，易知EOCD，AHBC.因为平面CDE平面BCD，且EOCD，所以EO平面BCD，又由平面ABC平面BCD，AHBC，得AH平面BCD，所以EOAH，所以AH平面CDE，又AHHGH，所以平面AHG平面CDE，所以直线HG上任意一点F与A的连线AF均与平面CDE平行(2)由(1)可得EOAH，所以EO平面ABC，所以点E到平面ABC的距离和点O到平面ABC的距离相等，连接OH，则OH1，EO eq r(3)，因为AB eq r(13)，所以AH2 eq r(3)，所以AE eq r(（A

35、HEO）2OH2)2，所以ABC的面积S eq f(1,2)22 eq r(3)2 eq r(3)，分别取AC，CH的中点M，N，连接EM，MN，ON，DH.所以MNAH且MN eq f(1,2)AH，又EOAH且EO eq f(1,2)AH，所以MNEO且MNEO，所以四边形EONM为平行四边形，所以EMON.因为BCD为等边三角形，H为BC的中点，所以DHBC，又平面BCD平面ABC，所以DH平面ABC，因为O，N分别为CD和CH的中点，所以ONDH，又EMON，所以EMDH，所以EM平面ABC，所以EMAC，所以ACE的面积S1 eq f(1,2)ACEM eq f(1,2) eq r(

36、13) eq r(22blc(rc)(avs4alco1(f(r(13),2)sup12(2) eq f(r(39),4)，设点B到平面AEC的距离为h，由等体积法可得，VEABCVBACE，即 eq f(1,3)2 eq r(3) eq f(r(3),2) eq f(1,3) eq f(r(39),4)h，解得h eq f(4r(39),13).平行关系中对点的存在性的探索问题，一般利用转化方法求解，即首先确定点的位置然后把问题转化为证明问题，而证明线面平行时又有两种转化方法，一是转化为线线平行，二是转化为面面平行课时作业一、单项选择题1若l，m是平面外的两条不同直线，且m，则“lm”是“l

37、”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析l，m是平面外的两条不同的直线，m，若lm，则l；若l，则lm或l与m相交或l与m异面若l，m是平面外的两条不同直线，且m，则“lm”是“l”的充分不必要条件2已知直线a平面，a平面，b，则a与b()A相交 B平行C异面 D共面或异面答案B解析因为直线a，a，所以在平面，中分别有一直线平行于a，不妨设为m，n，所以am，an，所以mn.又，相交，m在平面内，n在平面内，所以m，所以mb，所以ab.3如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，M，N分别为棱AA1，BB1的中点，过MN作一平面分别交底面三角形ABC的边BC

38、，AC于点E，F(异于A，B，C)，则()A.MFNEB四边形MNEF为梯形C四边形MNEF为平行四边形DA1B1NE答案B解析在AA1B1B中，AMMA1，BNNB1，AM綊BN，四边形ABNM是平行四边形，MN綊AB.又MN平面ABC，AB平面ABC，MN平面ABC.又MN平面MNEF，平面MNEF平面ABCEF，MNEF，EFAB.显然在ABC中，EFAB，EFMN，四边形MNEF为梯形故选B.4已知在三棱锥SABC中，D为线段AB的中点，点E在SBC(含边界位置)内，则满足DE平面SAC的点E的轨迹为()A线段SB，BC的中点连接而成的线段B线段SB的中点与线段BC靠近点B的三等分点连

39、接而成的线段C线段BC的中点与线段SB靠近点B的三等分点连接而成的线段D线段BC靠近点B的三等分点与线段SB靠近点B的三等分点连接而成的线段答案A解析如图所示，P，Q分别为线段SB，BC的中点，所以PQSC，DQAC，PQ平面SAC，SC平面SAC，所以PQ平面SAC，同理DQ平面SAC，PQDQQ，所以平面PDQ平面SAC，若DE平面PDQ，则会有DE平面SAC，故点E的轨迹为线段SB，BC的中点连接而成的线段故选A.5如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，E是棱AB的中点，F是四边形AA1D1D内一点(包含边界).若EF平面BB1D1D，且线段EF长度的最小值为 eq r(2)，

40、则a()A. eq r(2) B2 C eq r(3) D3答案B解析如图，过点F作DD1的平行线，交AD于点G，交A1D1于点H，则FG底面ABCD，连接EG，EG平面ABCD，则FGEG，所以EF2EG2FG2AE2AG2FG2AE2AF2，EF平面BDD1B1，FG平面BDD1B1，EFFGF，EF，FG平面EFG，平面EFG平面BDD1B1，又GE平面EFG，GE平面BDD1B1.又平面ABCD平面BDD1B1BD，GE平面ABCD，GEBD，又E为AB的中点，G为AD的中点，则H为A1D1的中点，即F在线段GH上(包含端点)，AFminAG eq f(a,2)，EFmin eq r(

41、blc(rc)(avs4alco1(f(a,2)sup12(2)blc(rc)(avs4alco1(f(a,2)sup12(2) eq f(r(2)a,2)， eq f(r(2)a,2) eq r(2)，a2.故选B.6已知在正三棱柱ABCA1B1C1中，点D，E分别是所在棱的中点，则下列图形中，满足B1E平面ACD的是()答案D解析取AC的中点M，连接BM，ME，由MECC1BB1且MECC1BB1，得四边形BMEB1为平行四边形，所以BMB1E，又BM与平面ACD相交，所以B1E与平面ACD相交，故排除A，C；取BB1的中点F，连接CF，则CFB1E，CF与平面ACD相交，则B1E与平面A

42、CD相交，故排除B；由ADB1E，AD平面ACD，B1E平面ACD，得B1E平面ACD，故D正确7如图，在正方体ABCDABCD中，点M为AB的中点，点N为BC的中点，点P在底面ABCD内，且DP平面CMN，DP与底面ABCD所成的角为，则sin 的最大值为()A. eq f(1,3) B eq f(r(3),3) C eq f(r(3),2) D eq f(2r(2),3)答案D解析取AD，CD的中点S，T，连接ST，DS，DT，因为DSCN，所以DS平面CMN，因为STMN，所以ST平面CMN，又因为STDSS，所以平面DST平面CMN，故点P在线段ST上(包含端点)时，DP平面CMN.设

43、正方体的棱长为1，因为DD底面ABCD，所以DPD即为DP与底面ABCD所成的角，当P为ST的中点时，取最大值，此时，DP eq f(r(2),4)，DP eq r(DP2DD2) eq f(3r(2),4)，sin eq f(DD,DP) eq f(1,f(3r(2),4) eq f(2r(2),3)，故sin 的最大值为 eq f(2r(2),3).故选D.8如图，在矩形ABCD中，已知AB2，BC4，E为BC的中点将ABE沿着AE向上翻折至AEM得到四棱锥MAECD.平面AEM与平面AECD所成的锐二面角为，直线ME与平面AECD所成的角为，则下列说法错误的是()A.若F为AD的中点，则

44、ABE无论翻折到哪个位置都有平面AEM平面MBFB若Q为MD的中点，则ABE无论翻折到哪个位置都有CQ平面AEMC eq r(2)sin sin D存在某一翻折位置，使 eq r(2)cos cos 答案C解析若F为AD的中点，记BF与AE的交点为H，连接MH，则AEBF，AEMH，则AE平面MBF，又AE平面AEM，平面AEM平面MBF，故A正确；取AM的中点P，连接PQ，PE，则PQAD，PQ eq f(1,2)AD，又CEAD，CE eq f(1,2)AD，PQCE，PQCE，四边形PECQ是平行四边形，CQPE，又CQ平面AEM，PE平面AEM，CQ平面AEM，故B正确；过M作MO平面

45、AECD，则O在BF上，连接OE，平面AEM与平面AECD所成的锐二面角为MHO(或其补角)，sin eq f(MO,MH)，sin eq f(MO,ME) eq f(MO,r(2)MH)，sin eq r(2)sin ，故C错误；若 eq r(2)cos cos ，又cos eq f(OH,MH)，cos eq f(OE,ME) eq f(OE,r(2)MH)，则OE2OH，故D正确二、多项选择题9.如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1平面ABCD，ABCD，DCB90，ABADAA12DC，Q为棱CC1上一动点，过直线AQ的平面分别与棱BB1，DD1交于点P，R，则下列结论正确

46、的是()A对于任意的点Q，都有APQRB对于任意的点Q，四边形APQR不可能为平行四边形C存在点Q，使得ARP为等腰直角三角形D存在点Q，使得直线BC平面APQR答案ABD解析在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1平面ABCD，ABCD，DCB90，四棱柱ABCDA1B1C1D1可补成长方体ABCEA1B1C1E1，如图，延长QR交EE1于点M，连接AM，BD，PR.ABCEA1B1C1E1为长方体，平面ABB1A1平面ECC1E1，又平面APQ平面ABB1A1AP，平面APQ平面ECC1E1MQ，APMQ，即APQR，故A正确；同理可得AMPQ，又AM与AR相交，AR与PQ相交，故B正确

47、；设ABADAA12DC2，则DC1，BD2，BC eq r(BD2DC2) eq r(3)，假设ARP是以APR为直角的等腰直角三角形，过点P作PHDD1，APPR，PHRABP，RHBP，RD0或2BP，若RD0，则ARAP，矛盾，若RD2BP，则AP2PR2AR2，4BP24BP24(2BP)2，BP eq r(2)，RD2 eq r(2)2，矛盾，不存在ARP是以APR为直角的等腰直角三角形同理，不存在ARP是以ARP或RAP为直角的等腰直角三角形，故C错误；易知BCPQ时，有BC平面APQR，故D正确故选ABD.10.如图，透明塑料制成的长方体容器ABCDA1B1C1D1内灌进一些水

48、，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，则下面四个命题正确的是()A没有水的部分始终呈棱柱形B水面EFGH所在四边形的面积为定值C棱A1D1始终与水面所在平面平行D当容器倾斜如图所示时，BEBF是定值答案ACD解析由题图，显然A正确，B错误；对于C，A1D1BC，BCFG，A1D1FG，又A1D1平面EFGH，FG平面EFGH，A1D1平面EFGH(水面)，C正确；对于D，水是定量的(定体积V)，SBEFBCV，即 eq f(1,2)BEBFBCV.BEBF eq f(2V,BC)(定值)，D正确三、填空题11如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E，F为

49、AA1，AB的中点，点M是正方形ABB1A1内的动点(包含边界)，若C1M平面CD1E，则点M的轨迹长度为_答案 eq r(2)解析如图所示，取A1B1的中点H，BB1的中点G，连接GH，C1H，C1G，EG，HF.可得四边形EGC1D1是平行四边形，C1GD1E，又C1G平面CD1E，D1E平面CD1E，可得C1G平面CD1E.同理可得C1HCF，C1H平面CD1E，又C1HC1GC1，平面C1GH平面CD1E.M点是正方形ABB1A1内的动点，C1M平面CD1E，点M在线段GH上点M的轨迹长度为GH eq r(1212) eq r(2).12如图，四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，

50、点E是棱PD上一点，PE3ED，若 eq o(PF,sup6() eq o(PC,sup6()且满足BF平面ACE，则_答案 eq f(2,3)解析如图，连接BD，交AC于点O，则BOOD，在线段PE上取一点G，使得GEED，则 eq f(PG,PE) eq f(2,3).连接BG，FG，OE，则BGOE，又因为OE平面ACE，BG平面ACE，所以BG平面ACE.因为BF平面ACE且满足BGBFB，故平面BGF平面ACE.因为平面PCD平面BGFFG，平面PCD平面AECEC，则FGEC.所以 eq f(PF,PC) eq f(PG,PE) eq f(2,3)，即 eq f(2,3).13如图

51、，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC eq r(3)，BAC120，D是AB上一点，且AD2DB，E是AA1的中点，F是CC1上一点，当CF1时，BF平面CDE，则三棱柱ABCA1B1C1外接球的表面积为_答案28解析如图，连接AF交EC于M，连接DM，因为BF平面CDE，BF平面ABF，平面ABF平面CDEDM，所以BFDM，因为AD2DB，所以AM2MF，则AE2CF2，因为AA12AE4，所以外接球的球心到平面ABC的距离为d2，因为ABAC eq r(3)，BAC120，所以ABC外接圆的半径为r eq f(1,2) eq f(r(3),sin 30) eq r(3)，故所求外接