2023高考科学复习解决方案-数学(名校内参版) 第二章 2.2二次函数与一元二次方程、不等式（word版）

1、22二次函数与一元二次方程、不等式(教师独具内容)1经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义，了解函数的零点与方程根的关系了解一元二次不等式的现实意义，能借助二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系2一元二次不等式的解法中蕴含着数形结合、分类讨论、转化与化归、方程与函数等数学思想方法，学习过程中要认真领会方程、不等式、函数知识的内在联系和相互转化，为今后研究函数问题奠定理论基础3重点提升数学抽象、逻辑推理和数学运算素养(教师独具内容)1会结合二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数了解

2、一元二次不等式的现实意义，能借助二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集2掌握一元二次不等式的解法，会解分式不等式、高次不等式，能解决一元二次不等式的实际问题理解一元二次方程、二次函数与一元二次不等式之间的联系，并能解决相应的问题3数形结合思想是高中数学重要的数学思想，掌握三个“二次”之间的密切联系，在解决一元二次不等式、一元二次方程的相关问题时，转化为二次函数的相关问题，借助二次函数的图象直观形象地解决问题，使问题处理更加容易4高考中，一元二次不等式会在选择题、填空题中有所考查，与集合的运算结合，在每年的选择题中常考，属于容易题；在解答题中与恒成立、有解问题联系紧密，有

3、一定的难度(教师独具内容)(教师独具内容)1一元二次不等式的定义及一般形式一般地，我们把只含有 eq o(,sup3(01)一个未知数，并且未知数的最高次数是 eq o(,sup3(02)2的不等式，称为一元二次不等式一元二次不等式的一般形式是 eq o(,sup3(03)ax2bxc0或 eq o(,sup3(04)ax2bxc0，其中a，b，c均为常数，a0.2二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的解的对应关系判别式b24ac000)的图象续表判别式b24ac000)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x10(a0)的解集 eq o(,sup3(01)x|xx2 eq blcrc(avs

4、4alco1(xblc|(avs4alco1(xf(b,2a)Rax2bxc0)的解集 eq o(,sup3(02)x|x1x0或(xa)(xb)a(a0)的解集为(，a)(a，)；|x|0)的解集为(a，a).注：解绝对值不等式的三种方法平方法，主要用于两边均为一次式；公式法，口诀是大于取两边，小于取中间；定义法，|x| eq blc(avs4alco1(x，x0，,x，x0(0(0(a0)，xR恒成立a0且0；不等式ax2bxc0(a0)，xR恒成立a0且0)零点的分布问题设x1，x2是实系数一元二次方程ax2bxc0(a0)的两个不相等的实数根，即函数f(x)ax2bxc0(a0)的零点

5、，则函数f(x)的零点分布等价不等式组的关系如下：若x1x20，,f（m）0，,f(b,2a)m；)若mx10，,f（m）0，,f(b,2a)m；)若x1m0，,f（m）0，,f（m1）0，,f（m2）0，,m1f(b,2a)m2；)若x1，x2有且仅有一个在(m1，m2)内，则f(m1)f(m2)0，,f（m1）0，,f（m2）0，,m1f(b,2a)0，,f（m1）0，,f（m2）0，,m1f(b,2a)m2.)注：一元二次方程根的问题通常转化为二次函数零点的分布问题，关键在于以下三步：第一步，根据要求画图象，图象要跟题干要求一一对应；第二步，根据图象列式子，注意列式的四点要求：抛物线开口

6、与a的关系，判别式与0的关系，对称轴与区间的关系，区间端点函数值的正负情况1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)若不等式ax2bxc0.()(2)若方程ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式ax2bxc0的解集为R.()(3)若二次函数yax2bxc的图象开口向下，则不等式ax2bxc0的解集一定不是空集()(4) eq f(xa,xb)0等价于(xa)(xb)0.()答案(1)(2)(3)(4)2已知集合Ax|x25x40，Bx|x2x60，则AB()A(2，3) B.(1，3)C.(3，4) D.(2，4)答案B解析由题意知Ax|1x4，Bx|2x3，所以AB(1，3).3若不

7、等式ax2bx20的解集为 eq blcrc(avs4alco1(xblc|(avs4alco1(f(1,2)x0，,（1m）24m20，)解得m eq f(1,3).6已知函数f(x)ax2ax1，若对任意实数x，恒有f(x)0，则实数a的取值范围是_答案4，0解析若a0，则f(x)10恒成立；若a0，则由题意，得 eq blc(avs4alco1(a0，,a24a0，)解得4a0，Bx|x10 x|x10 x|x3x|x1x|x1故选A.一、基础知识巩固考点解一元二次不等式例1不等式0 x2x24的解集为_答案x|2x1或20，,x2x24，)即 eq blc(avs4alco1(x2x2

8、0，,x2x60，)解得 eq blc(avs4alco1(x2或x1，,2x3.)故原不等式的解集为x|2x1或2x3例2(1)求不等式ax2(a1)x10(aR)的解集解若a0，原不等式等价于x11.若a0，解得x1.若a0，原不等式等价于 eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,a)(x1)0.当a1时， eq f(1,a)1， eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,a)(x1)1时， eq f(1,a)1，解 eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,a)(x1)0得 eq f(1,a)x1；当0a1，解 eq blc(rc)(avs4alco1(x

9、f(1,a)(x1)0得1x eq f(1,a).综上所述，当a0时，不等式的解集为 eq blcrc(avs4alco1(xblc|(avs4alco1(x1)；当a0时，不等式的解集为x|x1；当0a1时，不等式的解集为 eq blcrc(avs4alco1(xblc|(avs4alco1(1x1时，不等式的解集为 eq blcrc(avs4alco1(xblc|(avs4alco1(f(1,a)x1).(2)将本例(1)中不等式改为x2(a1)xa0(aR)，求不等式的解集解原不等式可化为(xa)(x1)1时，原不等式的解集为(1，a)；当a1时，原不等式的解集为；当a1时，原不等式的解

10、集为(a，1).1.已知集合M eq blcrc(avs4alco1(xblc|(avs4alco1(f(x3,x1)0)，Nx|ylog3(6x211x4)，则MN()A eq blcrc(avs4alco1(1，f(4,3) B eq blc(rc(avs4alco1(f(1,2)，3)C eq blc(rc)(avs4alco1(1，f(4,3) D eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,3)，2)答案C解析易得集合M eq blcrc(avs4alco1(xblc|(avs4alco1(f(x3,x1)0)x|1x3，集合Nx|ylog3(6x211x4)x|6x211x4

11、0 eq blcrc(avs4alco1(xblc|(avs4alco1(f(1,2)xf(4,3)，所以MN eq blcrc(avs4alco1(xblc|(avs4alco1(1x0的解集为 eq blcrc(avs4alco1(xblc|(avs4alco1(xf(1,3)或xf(1,2)，则不等式bx25xa0的解集为()A eq blcrc(avs4alco1(xblc|(avs4alco1(f(1,3)xf(1,2)B eq blcrc(avs4alco1(xblc|(avs4alco1(xf(1,2)Cx|3x2Dx|x2答案C解析由题意知a0，且 eq f(1,2)， eq

12、f(1,3)是方程ax25xb0的两根， eq blc(avs4alco1(f(1,3)f(1,2)f(5,a)，,f(1,3)f(1,2)f(b,a)，)解得 eq blc(avs4alco1(a30，,b5，)bx25xa5x25x300，即x2x60，解得3x0的解集是x|x0)，则不等式cx2bxa0的解集是x|x0)，则，是一元二次方程ax2bxc0的实数根，且a0， eq f(b,a)， eq f(c,a).不等式cx2bxa0，x2()x10，化为(x1)(x1)0，又0 eq f(1,)0，不等式cx2bxa0的解集是 eq blcrc(avs4alco1(xblc|(avs4

13、alco1(xf(1,).故选B.3.已知不等式ax2bx10的解集是 eq blcrc(avs4alco1(xblc|(avs4alco1(f(1,2)xf(1,3)，则不等式x2bxa0的解集是()Ax|2x3 B.x|x2或x3C eq blcrc(avs4alco1(xblc|(avs4alco1(f(1,3)xf(1,2) D eq blcrc(avs4alco1(xblc|(avs4alco1(xf(1,2)答案B解析不等式ax2bx10的解集是 eq blcrc(avs4alco1(xblc|(avs4alco1(f(1,2)xf(1,3)，ax2bx10的解是x1 eq f(1

14、,2)和x2 eq f(1,3)，且a0，,36k24k（k8）0，)解得0k1.综上所述，k的取值范围是0，1.例6设函数f(x)mx2mx1(m0)，若对于x1，3，f(x)m5恒成立，则m的取值范围是_答案 eq blcrc(avs4alco1(mblc|(avs4alco1(0mf(6,7)或m0)解析要使f(x)m5在1，3上恒成立，故mx2mxm60，则m eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2) eq sup15(2) eq f(3,4)m60在x1，3上恒成立解法一：令g(x)m eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2) eq sup15(2)

15、eq f(3,4)m6，x1，3.当m0时，g(x)在1，3上是增函数，所以g(x)maxg(3)7m60.所以m eq f(6,7)，则0m eq f(6,7).当m0时，g(x)在1，3上是减函数，所以g(x)maxg(1)m60，所以m6，所以m0.综上所述，m的取值范围是 eq blcrc(avs4alco1(mblc|(avs4alco1(0mf(6,7)或m0).解法二：因为x2x1 eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2) eq sup15(2) eq f(3,4)0，又因为m(x2x1)60，所以m eq f(6,x2x1).因为函数y eq f(6,x2x1)

16、 eq f(6,blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)sup15(2)f(3,4)在1，3上的最小值为 eq f(6,7)，所以只需m eq f(6,7)即可因为m0，所以m的取值范围是 eq blcrc(avs4alco1(mblc|(avs4alco1(0mf(6,7)或m0，,g（1）（x2）x24x40，)解得x3.故当x(，1)(3，)时，对任意m1，1，函数f(x)的值恒大于零4.若不等式(a2)x22(a2)x40对一切xR恒成立，则实数a的取值范围是()A(，2 B.2，2C(2，2D(，2)答案C解析当a20，即a2时，不等式为40，对一切xR恒成立当a2时，则

17、eq blc(avs4alco1(a20，,4（a2）216（a2）0，)即 eq blc(avs4alco1(a20，,a20，,f(a,2)0，,f(a,2)2，,g（2）7a0.)解，得6a2，解，解集为，解，得7a6.综上可得，满足条件的实数a的取值范围是7，2.(3)令h(a)xax23.当a4，6时，h(a)0恒成立只需 eq blc(avs4alco1(h（4）0，,h（6）0，)即 eq blc(avs4alco1(x24x30，,x26x30，)解得x3 eq r(6)或x3 eq r(6).实数x的取值范围是(，3 eq r(6)3 eq r(6)，).1一元二次不等式恒成

18、立问题的求解策略(1)不等式ax2bxc0对任意实数x恒成立 eq blc(avs4alco1(ab0，,c0)或 eq blc(avs4alco1(a0，,b24ac0.)(2)不等式ax2bxc0对任意实数x恒成立 eq blc(avs4alco1(ab0，,c0)或 eq blc(avs4alco1(a0，,b24ac0.)2一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法(1)若f(x)0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围).(2)转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为m，n，则f(x)a恒成立f(x)mi

19、na，即ma；f(x)a恒成立f(x)maxa，即na.3一元二次不等式在参数的某区间上恒成立确定变量x范围的方法解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解考点一元二次方程根的分布例8(1)已知二次方程(2m1)x22mx(m1)0有一正根和一负根，求实数m的取值范围解设f(x)(2m1)x22mx(m1)，由(2m1)f(0)0，即(2m1)(m1)0，解得 eq f(1,2)m0，,f(（m1）,22)0，,f（0）0) eq blc(avs4alco

20、1(（m1）28m0，,m1，,m0) eq blc(avs4alco1(m32r(2)，,m0)0m32 eq r(2)，即实数m的取值范围为(0，32 eq r(2)(32 eq r(2)，).6.已知二次函数f(x)(m2)x2(2m4)x3m3有两个零点，且一个大于1，一个小于1，求实数m的取值范围解由题意可得(m2)f(1)0，即(m2)(2m1)0，解得2m0的解集是(1，3)，则b_；若对于任意x1，0，不等式f(x)t4恒成立，则实数t的取值范围是_答案4(，2解析由不等式f(x)0的解集是(1，3)，可知1和3是方程2x2bxc0的根，即 eq blc(avs4alco1(2

21、f(b,2)，,3f(c,2)，)解得 eq blc(avs4alco1(b4，,c6，)所以f(x)2x24x6.所以不等式f(x)t4可化为t2x24x2，x1，0.令g(x)2x24x2，x1，0，由二次函数的性质可知g(x)在1，0上单调递减，则g(x)的最小值为g(0)2，则t2.例题体现了转化与化归思想在一元二次不等式中的应用转化与化归思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数的性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而解决问题的思想本题的解法充分体现了转化与化归思想，不等式的解集转化为一元二次方程的根，可求出b，c的值，不等式恒成立可以分离常数，转化为

22、函数值域问题课时作业一、单项选择题1已知集合Ax|x290，集合B1，0，1，2，3，4，则AB()A1，0，1，2 B0，1，2，3C1，0，1 D3，4答案A解析因为Ax|x290(3，3)，所以AB1，0，1，2故选A.2已知某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y300020 x0.1x2，x(0，240).若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是()A100台 B.120台C150台 D.180台答案C解析由题意，产量为x台时，总售价为25x；欲使生产者不亏本，必须满足总售价大于等于总成本，即25x300020 x0.1x2，

23、即0.1x25x30000，x250 x300000，解得x150或x200(舍去).故欲使生产者不亏本，最低产量是150台3不等式x2ax40对一切x1，3恒成立，则a的最小值是()A5 B eq f(13,3) C4 D3答案C解析x1，3时，x2ax40恒成立，则a eq blc(rc)(avs4alco1(xf(4,x)恒成立，又x1，3时，x eq f(4,x)2 eq r(4)4，当且仅当x2时取等号 eq blc(rc)(avs4alco1(xf(4,x)4，a4.故a的最小值为4.4已知集合Ax|x2x60，Bx|1x2m，且ABx|1x2，则m()A eq f(3,2) B.

24、0 C.1 D.1答案D解析因为Ax|x2x60 x|3x2，Bx|x12m，且ABx|1x2，所以12m1，解得m1.5已知Ax|x26x80，Bx|xa，若AB，则实数a的取值范围是()A(4，) B4，)C(2，) D2，)答案C解析Ax|x26x80 x|4x2，Bx|x0，,（2a）24a0，)解得00，,4c212b0.)所以b eq f(c2,3).则 eq f(b3c,a) eq f(b3c,3) eq f(1,9)c2c eq f(1,9) eq blc(rc)(avs4alco1(cf(9,2) eq sup15(2) eq f(9,4) eq f(9,4)，即 eq f(

25、b3c,a)的取值范围为 eq blcrc)(avs4alco1(f(9,4)，).故选D.二、多项选择题9已知集合AxR|x23x180，BxR|x2axa2270，则下列命题中正确的是()A若AB，则a3B.若AB，则a3C若B，则a6或a6D.若a3，则ABx|3x6答案ABC解析由已知，得Ax|3x6，令g(x)x2axa227，对于A，若AB，即3，6是方程g(x)0的两个根，则 eq blc(avs4alco1(a3，,a22718，)解得a3，故A正确；对于B，若AB，则 eq blc(avs4alco1(g（3）a23a180，,g（6）a26a90，)解得a3，故B正确；对于

26、C，当B时，a24(a227)0，解得a6或a6，故C正确；对于D，当a3时，有BxR|x23x180 x|6x3，所以ABx|3x12，解得x130.设乙的速度为x2，由题意得0.05x20.005x eq oal(sup3(2),sdo1(2)10，解得x240.由于x0，从而得x130 km/h，x240 km/h.经比较知，乙车超过限速三、填空题11不等式2x23x1 eq f(1,2)的解集是_答案(1，2)解析2x23x1 eq f(1,2)21，x23x11，即x23x20，解得1x2，故所求不等式的解集为(1，2).12若“x eq blcrc(avs4alco1(f(1,2)

27、，2)，使得2x2x10成立”是假命题，则实数的取值范围为_答案(，1解析若“x eq blcrc(avs4alco1(f(1,2)，2)，使得2x2x10的解集为(1，2)，则关于x的不等式 eq f(2ab,x)cbx的解集为_答案(，0)解析由题意，关于x的不等式ax2bxc0的解集为(1，2)，即1，2是一元二次方程ax2bxc0的两根，可得 eq blc(avs4alco1(f(b,a)12，,f(c,a)12，,a0，)解得ba，c2a，且abx可化为 eq f(a,x)2aax，即 eq f(1,x)2x，即 eq f(x22x1,x) eq f(（x1）2,x)0，解得x0的解

28、集为 eq blcrc(avs4alco1(xblc|(avs4alco1(f(1,2)x0的解集为 eq blcrc(avs4alco1(xblc|(avs4alco1(f(1,2)x2)，方程(axb)(x2)0的实数根为 eq f(1,2)和2，且 eq blc(avs4alco1(a0，,f(b,a)f(1,2)，)即a2b0，Bx|x22xm0(1)若m3，求A(RB)；(2)若ABx|1x4，求实数m的值解(1)由题意可得集合Ax|1x5，当m3时，Bx|1x3，所以RBx|x3或x1所以A(RB)x|3x5(2)因为ABx|1x4，所以4是方程x22xm0的一个根所以168m0，所以m8.16已知f(x)2x2bxc，不等式f(x)0的解集是(0，5).(1)求f(x)的解析式；(2)若对于任意的x1，1，不等式f(x)t2恒成立，求t的取值范围解(1)f(x)2x