《数学分析》无穷小量与无穷大量

1、 / 6 无穷小量与无穷大量教学目的：理解无穷小(大)量及其阶的概念。会利用它们求某些函数的极限。教学要求：作为函数极限的特殊情形，要求掌握无穷小(大)量及其阶的概念，并由此求出某些函数的极限。引言在学习数列极限时，有一类数列非常引人瞩目，它们具有如下特征：lim an0 . 我们称之为无穷小数n列。通过前面几节对函数极限的学习。我们可以发现，在一般函数极限中也有类似的情形。例如：我们给这类函数一个名称“无穷小量” 。既然有“无穷小量”，与之对应的也应有“无穷大量”，那么什么时“无穷大量”？进一步，这些“量 ”有哪些性质呢？以上就是我们今天要给大家介绍的内容无穷小量与无穷大量。一、无穷小量定义

2、：设 f 在某 U 0(x0)内有定义。若lim f(x) 0 ，则称 f 为当 xx0时的无穷小量。记作：x x0f(x) 0(1)(xx0).(类似地可以定义当xx0 ,xx0 , x , x ,x 时的无穷小量)。例 ：xk(k 1,2, ),sin x,1 cosx都是当 x 0 时的无穷小量；1 x 是当 x 1 时的无穷小量；sin x, sin x 是 x 时的无穷小量。xx2无穷小量的性质()先引进以下概念定义 ( 有界量 )若函数g 在某U 0(x0)内有界，则称g 为当 xx0时的有界量，记作：g(x) O(1)(xx0).1例如： sin x 是当 x 时的有界量，即si

3、n x O (1)(x); sin 1 是当 x 0 时的有界量，即x1 TOC o 1-5 h z sin O (1)(x0.)x注 ：任何无穷小量都是有界量(局部有界性)，即若 f (x) 0(1)(xx0) ，则 f (x) O(1)(xx0) .区别 ： “ 有界量 ”与“ 有界函数”。一般在谈到函数f 是有界函数或函数f 是有界的，意味着存在，f 在定义域内每一点x，都有 | f (x) | M 。这里“有界”与点无关：而有界是与“点有关”，是在某点的周围(且除去此点)有界，是一种“局部”的有界。()性质性质两个(相同类型的)无穷小量之和、差、积仍为无穷小量。性质无穷小量与有界是的乘

4、积为无穷小量。性质lim f(x) A f(x) A是当x x0时的无穷小量lim( f(x) A) 0 .x x0 x x0例如；21 lim x sin230， lim( x x ) 0,lim xsin x 0. x0 x0：两个(相同类型的)无穷小量之商是否仍为无穷小量？考虑：sin x2xlim 0,lim 2 ?,lim 2 1,lim 1,lim 2 x 0 x x 0 x x 0 x x 0 x x 0 x22.2引申 ：同为无穷小量，lim x 0，而 limx2 不存在？这说明“无穷小量”是有“级别”的。这个“级x 0 xx 0 x2别” 表现在收敛于(或趋近于)的速度有快

5、不慢。就上述例子而言，这个 “级别” 的标志是x的 “指数” ，当 x 0 时， x 的指数越大，它接近于的速度越快。这样看来，当x 0 时，x2 的收敛速度快于x的收敛速度。所以其变化结果以x2 为主。此时称x2 是(当x 0 时) x 的高阶无穷小量，或称x 0 时， x是2x2 的低阶无穷小量。无穷小量阶的比较(主要对xx0 叙述，对其它类似)设当 xx0时，f ,g 均为无穷小量。若 lim f (x) 0，则称 xx0时f 为 g 的高阶无穷小量，或称g 为 f 的低阶无穷小量，x x0 g(x)f (x)记作 f (x) 0(g(x)(xx0) . 即 f (x) 0(g(x)(x

6、x0)lim 0 .x x0 g(x)例 lim x0k1xk 1 k1 cosxxk 0 x 0 (x )x(0， )limlim tan 01 cosx 0(sin x)(x 0) .xkx 0 sin x x 021xlimx11 xlim(1 x)0，此时是可说1 x20(1 x)(x 1)？引申与上述记法：f(x) 0(g(x)(xx0)相对应有如下记法：f(x) O(g(x)(xx0)，这是什么意思？含义如下：若无穷小量f 与 g 满足关系式f (x) g(x)L,x U 0(x0)，则记作f(x) O(g(x)(xx0) .例如， ()1 cosx O(x2)(x0) ， x(2

7、 sin x) O(x)(x 0) .2f (x) 0(g(x)(xx0)f (x) O(g(x)(xx0) .注 等式 f (x) 0(g(x)(xx0)，f (x) O(g(x)(xx0) 等与通常等式的含义不同的。这里的等式左边是一个函数，右边是一个函数类(一类函数)1 cos x 0(sin x)(x 0) ，其 中 0(sinx) f |lim f (x) 0 ， 而 上 述 等 式 表 示 函 数 x 0 g(x)1 cos x f | lim (x) 0 。为方便起见，记作1 cosx 0(sin x).若存在正数和，使得在某U 0 (x0 ) 上有Kf (x)g(x)L ，则称

8、 f 与 g 为当 xx0 时的x 0 g(x)但 需 要 注 意 ： lim f(x) 不 存 在 ， 并 不 意 味 着 f 与 g 不 全 为 同 阶 无 穷 小 量 。 如 x 0 g(x)1 x(2 sin )xx3，所1 TOC o 1-5 h z 1x(2 sin )1lim x lim x(2 sin ) 0 ， limx lim(2 sin ) 不存在。但1x0 x0 xx0 xx0 x1x 与 x(2 sin ) 为当 x 0 时的同阶无穷小量。x若 f 与 g 是当 xx0时的同阶无穷小量，则一定有：f (x) O(g(x)(xx0)。()若 lim (x) 1 ， 则称

9、 f 与 g 是当 xx0时的等价无穷小量，记作f (x) g(x)(xx0) .x x0 g (x)002sin x2(1 cos x)x例如：)lim 1 sin x x(x 0) ; ) lim 211 cosx (x 0) .x0 xx0 x2对于“等价无穷小量”有下面的重要的结论，它在求极限问题中有重要作用，称为求极限的“等价量法” 。定 理 设 函 数 f 、 g 、 h 在U 0(x0) 内 有 定 义 ， 且 有 f (x) g(x)(xx0) . (1) 若lim f (x)h(x) A，则 lim g(x)h(x) A； (2) 若 lim h(x)B, ，则 lim h(

10、x)B.x x0 x x0 x x0 f (x)x x0 g (x)arctgx例 求 lim .x x0 sin 4x例 求极限 lim tgx si3nx. x x0sin x注：在利用等价无穷小量代换求极限时，应注意：只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来替代, 而对极限式中相加或相减的部分则不能随意替代。小结以上讨论了无穷小量，无穷小量性质。无穷小量比较。两个无穷小量可比较的特征其商是有界量。但应指出，并不是任何两个无穷小量都可以进行这种阶的比较。 12 例如 lim xsin lim x 0 .x x0 x x x0 问题 “无穷小量是以为极限的函数”。能否仿此说“无

11、穷大量是以 为极限的函数”。答 ：按已学过的极限的定义，这种说法是不严格的，讲为函数f (x) 当 xx0 时的极限，意味着是一个确定的数，而“ ”不具有这种属性，它仅仅是一个记号。所以不能简单地讲“无穷大量是以 为极限的函数”。但是，确实存在着这样的函数，当x x0 时， f (x) 与 ( or ) 无限接近。111例如：)f (x)1 ，当 x 0 时， 1 与 越来越接近，而且只要x 与充分接近，1 就会无xxx1限增大；)f (x)1 ，当 x 1 时，也具有上述特性。x1在分析中把这类函数f (x) 称为当 xx0 时有非正常极限。其精确定义如下：非正常极限 TOC o 1-5 h

12、 z 定义 ( 非正常极限) 设函数 f (x) 在某U 0(x0) 内有定义，若对任给的0，存在0，当x U 0(x0; )( U 0(x0) 时有 | f (x) | M ， 则称函数f (x) 当 xx0 时有非正常极限，记 作lim f (x)。x x0注 ：)若“| f (x) | M ”换成“ f (x) M ”，则称 f(x)当 xx0时有非正常极限；若换成 f(x) M , 则称 f (x) 当 xx0时有非正常极限，分别记作lim f (x), lim f (x).x x0 x x0关于函数f 在自变量x的其它不同趋向的非正常极限的定义，以及数列an当 n时的非正常极限的定义

13、，都可类似地给出。例如：lim f(x)M 0 ，当 x M 时， f (x) M ;xlim anM 0 ， N 0，当 n N 时， a M .nn无穷大量的定义定义 对于自变量x的某种趋向(或n ) ，所有以, or 为非正常极限的函数(包括数列) ，都称为无穷大量。1例如： 2 当 x 0时是无穷大量；ax(a 1)当 x 时是无穷大量。x注 ：)无穷大量不是很大的数，而是具有非正常极限的函数; )若f 为 xx0 时的无穷大量，则易见 f 为 U 0(x0) 上的无界函数，但无界函数却不一定是无穷大量。例如；f(x) xsin x在 U ()上无界，但lim f (x);)如同对无穷

14、小量进行阶的比较的讨论一样，对两个无穷大量，也可以定x义高阶无穷大量、同阶无穷大量等概念。利用非正常极限定义验证极限等式1例 证明lxim0 x2.例 证明；当a 1 时， lim ax 。x1定理 ()设f 在 U 0(x0) 内有定义且不等于，若f 为当 xx0时的无穷小量，则为 xx0时()若g 为 x x0时的无穷大量，则1 为 xx0时的无穷小量。g 引言22作为函数极限的一个应用。我们讨论曲线的渐近线问题。由平面解析几何知：双曲线x2y21 有两条abxy渐近线 x y 0 。那么，什么是渐近线呢？它有何特征呢？ ab曲线的渐近线定义定义若曲线上的动点p 沿着曲线无限地远离原点时，

15、点p 与某实直线的距离趋于零，则称直线为曲线的渐近线。形如 y kx b 的渐近线称为曲线的斜渐近线；形如x x0 的渐近线称为曲线的垂直渐近线。 曲线的渐近线何时存在？存在时如何求出其方程？()斜渐近线假 设 曲 线 y f(x) 有 斜 渐 近 线 y kx b ， 曲 线 上 动 点 p 到 渐 近 线 的 距 离 为x 时( x 或 x 类似) ，1| PN | | PM cos | | f (x) (kx b) | 依渐近线定义，当 1 k2| PN | 0，即有 lim f (x) (kx b) 0 lim f(x) kx b，又由f (x)1f(x)lim k lim f (x) kx 0 k 0 limk .若曲线 y