2022年上海高考数列大题整理

1、上海高考数列大题整理（2022 春） 22. 此题满分 16 分 此题共有 3 个小题,第 分,第 3 小题满分 6 分. 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6已知数列 a n、 b n、 c n满意an1a nb n1b ncnnN*.（1）设cn3n6,an是公差为 3 的等差数列 . 当b 11时,求b 2、b 3的值；（2）设cnn3,ann28 . n 求正整数k 使得一切nN* ,均有bnbk;（3）设cn2nn a n1 1n.当b 11时,求数列 nb的通项公式 .21 / 18 上海高考数列大题整理2 / 18 上海高考数列大题整理22、（18 分）已知数列 an和 n

2、b的通项公式分别为a n3 n6,nb2n7（nN*）,将集合x xan,nN*x xb n,nN*中 的 元 素 从 小 到 大 依 次 排 列 , 构 成 数 列Bxc c 2,c 3,c n,； 求c c c3,c ； 求证：在数列 nc中、但不在数列b n中的项恰为a 2,a4,a 2n,； 求数列 cn的通项公式；22、c 19,c211,c 312,c413；任意nN*,设a 2n132n166 n3b k2 k7,就k3 n2,即a2n1b 3n2 假设a2n6n6b k2k7k3 n1* N （冲突）,a 2nb n2 在数列 cn中、但不在数列b n中的项恰为a2,a4,a2

3、 n,；b 3k223k276k3a2k1,b 3k16k5,a 2k6 k6,b 3 k6k76 k36 k56 k66k7 当k1时,依次有b 1a 1c b2c2,a2c b 3c , y6k3n4k31c n6k5n4k2,kN*；AO-116k6n4k16k7n4 -13 / 18 上海高考数列大题整理23（此题满分18 分）此题共有3 个小题,第1 小题满分 4 分,第 2 小题满分8 分 , 第3 小题满分6 分x 03a a0,由递推式xn11xnanN得到数列对于给定首项2xnx n,且对于任意的nN,都有nx3a ,用数列x n可以运算3 a 的近似值1 取x05,a100

4、,运算x 1,x 2,x 的值（精确到0.01）,归纳出nx ,xn1的大小关系；2 当n1 时,证明x nx n11x n1x n；x nx n1104,请你23 当x 05,10时,用数列nx运算3100 的近似值,要求估量 n ,并说明理由【解】1 x 14.74,x24.67,x 314.65,猜想xn1x ；3x na0,2 x nx n11x n1x n21xn11x nx n1x na2xn22x n1a1x n12x n2a1xn1x n1a112x n2x n21x1a1a2x n12x naxnxn1xn1,x na2x n由于x n3a ,1xna所以xnxn1x n1n

5、2xn2xn2所以xnx n1xn1xnaxnx n10,由式,x nx n1122xn1xn4 / 18 上海高考数列大题整理所以x nx n11x n1x n23 由 2 0 x n x n 1 12 x n 1 x n2 12 x n 2 x n 12 1n 1 x 1 x 22 1n x 0 x 1 , 所以只要 1n x 0 x 1 10 4即可 , 2n 4于是 2 10 x 0 x 1,由于 x 0 x 1 1 x 0 10,2 x 0所以 n log 2 10 4 10 1015.12所以 n 1620. 此题满分 13 分 此题共有 2 个 小题,第一个小题满分 5 分,第

6、2 个小题满分 8 分；*已知数列 a n 的前 n 项和为 S ,且 S n n 5 a n 85,n N（1）证明：a n 1 是等比数列；（2）求数列 S n 的通项公式,并求出 n 为何值时,S 取得最小值,并说明理由；解析： 1 当 n 1 时, a1 14；当 n2 时,1 5 5 1 1,所以 a n 1 5 a n 1 1,6又 a1 1 150,所以数列 1 是等比数列；n 1 n 12 由 1知：a n 1 15 5,得 a n 1 15 5,从而6 6n 1S n 75 5 n 90 n N* ；6n 1解不等式 1,得 5 2,n log 5 2 1 14.9,当 n1

7、5 时,数列 单调递增；6 5 6 25同理可得,当 n15 时,数列 单调递减；故当 n 15 时,取得最小值23.（此题满分 18 分）此题共有 3 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满分 8 分；已知a n是公差为 d 的等差数列,nb*是公比为 q 的等比数列；（1）如a n3n1,是否存在m、kN,有amam1ak.说明理由；5 / 18 上海高考数列大题整理（2）找出全部数列 a n 和 b n,使对一切 n N *, a n 1 b n ,并说明理由；a n（3）如 a 1 5, d 4, b 1 q 3, 试确定全部的 p ,使数列 a n

8、 中存在某个连续 p 项的和是数列 b n 中的一项,请证明；23 解法一 （1）由 a m a m 1 a ,得 6 m 5 3 k 1,2 分整理后,可得 k 2 m 4,m 、 k N,k 2 m 为整数,3不存在 m 、 k N,使等式成立；5 分（2）如 a n 1 b n,即 a 1 ndb q n 1,（*）a a 1 n 1 dn 1（）如 d 0, 就 1 b q b ；当 a 为非零常数列, b 为恒等于 1 的常数列,满意要求；7 分（）如 d 0,（ *）式等号左边取极限得 lim n a 1 a 1 n nd1 d 1,（*）式等号右边的极限只有当 q 1 时,才能等

9、于 1；此时等号左边是常数,d 0,冲突；综上所述,只有当 a 为非零常数列, nb 为恒等于 1 的常数列,满意要求； 10 分【解法二】设 a n nd c , 如 a n 1 b n , 且 b n 为等比数列a n就 a n 2 / a n 1 q , 对 n N *都成立,即 a a n 2 qa 2n 1a n 1 a n2 * 2 dn c dn 2 d c q dn d c 对 n N 都成立,a qd 2.7 分*（i ）如 0,就 a n c 0, b n 1, n N（ii ）如 d 0, 就q=1, nb m（常数）即dn d cm,就 0,冲突dn c综上所述,有 a

10、 n c ,0 b n ,1 使对一切 n N * , a n 1 b n,10 分a n（3）a n 4 n ,1 b n 3 n , n N *6 / 18 上海高考数列大题整理设a m1am2ampb kk 3,p、kN*,mN. s.3013 分4 m114 mp 1p3k,24 m2p33k,p、kN*,p5 3,sN. p取k3 s2,4m32s223s3412s2241 ,15 分由二项绽开式可得正整数M 1、M 2,使得（ 4-1）22=4M 1+1, 241 s8M21s2 ,4 m4M12M21 s1,2存在整数 m 满意要求故当且仅当3时,命题成立 . 说明：第（ 3）题

11、如同学从以下角度解题,可分别得部分分（即分步得分）如 p 为偶数,就 12+ 为偶数,但 3 k 为奇数 故此等式不成立,所以,p 肯定为奇数；1,即 45=3 k,当 1 时,就 而 34-1k =C04kC14k11 Ck141 k1Ck1 k4M1 k,MZ,kkkk当为偶数时,存在,使3k成立1 分当 3 时,就123,即 32,也即 3（49）=3k,所以 49=31,41+5=31 由已证可知,当1 为偶数即 k 为奇数时,存在m, 49=3k成立2 分2 分当 5 时,就12+ 5,即 53m 不存在也即 5（413）=3k,而 3k不是 5 的倍数,所以,当5 时,所要求的故不

12、是全部奇数都成立. 17. 此题满分 14 分 此题共有 2 个小题,第1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分.已知数列aan的前 n 项和为S ,a11,且3 an12 Sn3（ n为正整数） . k 的最大（1）求数列n的通项公式；.如对任意正整数n ,kSS n恒成立,求实数（2）记Sa 1a2an值. 7 / 18 上海高考数列大题整理解： （1）3an12S n3,1当n2时,3an2S n13. 潜在的学问与方法需求（数列与函数的关系）由 - ,得3 an13 an2 an0. 数学模式识别才能（n2 时anSnS nann11 n2. 预备学问需求（等式的性质）a3又a1

13、1,3 a22 a13,解得a21. 才能需求（运算才能）3数列an是首项为1,公比为q1的等比数列 . 显现的学问与方法需求（等比数3ana1qn11列的定义）n1（ n 为正整数） . 显现的学问与方法需求（等比数3列的通项公式）（2）由（ 1）知,S1a 1q13,31显现的学问与方法需求（无穷等11 32Sna11qn111n311n. k比数列各项和）显现的学问与方法需求 （等比数列31q1233前 n 项和）3n,恒有由题意可知,对于任意的正整数1n,解得k11n. 2233预备学问（不等式性质）数列11n单调递增,当n1时,数列中的最小项为2 ,33潜在的学问与方法需求（数列与函

14、数的关系）必有k2,即实数 k 的最大值为2 . 3数学模式识别才能（等式恒成立的条件）321（此题满分18 分）此题共有3 个小题,第1 小题满分3 分,第 2 小题满分7 分,第 3小题满分 8 分；a nc a n3,S 100；已知a 为首项的数列 a n满意 :a n1a n,a n3,. d1 当a 11,c1,d3时,求数列 a n的通项公式；（2）当0a 11,c1,d3时,试用a 表示数列 an前 100 项的和8 / 18 上海高考数列大题整理（3）当0a 11,（ m 是正整数）,c1,正整数d3 m 时,求证：数列a 21,mmma 3m21,a 6m21,a 9m21

15、成等比数列当且仅当d3 m；mmm9 / 18 上海高考数列大题整理10 / 18 上海高考数列大题整理21 （此题满分16 分）此题共有3 个小题,第1 小题满分 3 分,第 2 小题满分5 分,第 3小题满分 8 分；在直角坐标平面 xOy 上的一列点 A 1 ,1 a 1 , A 2 ,2 a 2 , , A n n , a n ,简记为 A n；如由 b n A n A n 1 . j 构成的数列 b n 满意 b n 1 b n , n 2,1 ,其是 j 为方向与 y 轴正方向相同的单位向量,就长 A n 为 T 点列；（1）判定 A 1 1,1 , A 2 2 , 1, A 3

16、,1 1, , A n n , 1 ,是否为 T 点列,并说明理由；2 3 n（2）如 A n 为 T 点列,就点 A 在点 A 的右上方； 任取其中连续三点 A 、A k 1、A k 2；判定 A k A k 1 A k 2 的外形（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）,并予以证明；（ 3 ） 如 A n 为 T 点 列 , 正 整 数 1 m n p q 满 足 m q n p, 求 证 ：A n A q . j A m A p . j21 解（ 1）a n 1 , b n 1 1 1,明显有 b n 1 b n,n n 1 n n n 1A n 是 T 点列； 3 分（2）在 A k A

17、 k 1 A k 2 中,A k 1 A k ,1 a k a k 1 , A k 1 A k 2 ,1 a k 2 a k 1 ,A k 1 A k A k 1 A k 2 1 a k 2 a k 1 a k a k 1 ； 5 分点 A 在点 A 的右上方,b 1 a 2 a 1 0,A n 为 T 点列,bn 1b 0, a k 2 a k 1 a k a k 1 b k 1 b k 0,就 A k 1 A k A k 1 A k 2 0；11 / 18 上海高考数列大题整理A k A k 1 A k 2 为钝角,A k A k 1 A k 2 为钝角三角形； 8 分（3）证明 1 m

18、n p q , m q n p,q p n m 0 . a q a p a q a q 1 a q 1 a q 2 a p 1 a pb q 1 b q 2 b p q p b p 同理 a n a m b n 1 b n 2 b m n m b n 1 . 12 分由于 A n 为 T 点列,于是 b p b n 1,由、可推得 a q a p a n a m, 15 分a q a n a p a m,即 A n A q . j A m A p . j； 16 分20、如有穷数列 a a 2 . a （ n 是正整数）,满意 a 1 a n , a 2 a n 1 . a n a 即 a i

19、 a n i 1（ i 是正整数,且 1 i n）,就称该数列为“ 对称数列”；（1）已知数列 b n 是项数为 7 的对称数列,且 b b b b 成等差数列,b 1 2, b 4 11,试写出 b n 的每一项（2）已知 c n 是项数为 2 k 1 k 1 的对称数列,且 c k , c k 1 . c 2 k 1 构成首项为 50,公差为 4的等差数列, 数列 nc 的前 2 k 1 项和为 S 2 k 1,就当 k 为何值时,S 2 k 1 取到最大值？最大值为多少？（3）对于给定的正整数 m 1,试写出全部项数不超过 2m 的对称数列,使得 1,2, 2 .2 2 m 1成为数列中

20、的连续项；当 m 1500 时,试求其中一个数列的前 2022 项和 S 2022【解析】（1）设 b n 的公差为 d ,就 b 4 b 1 3 d 2 3 d 11,解得 d 3,数列 b n 为 2 5 8 11 8 5 2, , （2）S 2 k 1 c 1 c 2 c k 1 c k c k 1 c 2 k 1 2 c k c k 1 c 2 k 1 c k,S k 1 4 k 13 24 13 250,12 / 18 上海高考数列大题整理当k13时,S 2k1取得最大值S 2k1的最大值为626（3）全部可能的“ 对称数列” 是： 1 2 2, , ,22 m 2,2 m 1,2

21、m 2, , ,；2 1 2 2, , ,22 m 2,2 m 1,2 m 1,2 m 2, , , ；2 2 m 1,2 m 2, , , , ,2 22 m 2,m 1； 2 m 1,2 m 2, , , , ,2 22 m 2,2 m 12 2022 2022对于,当 m2022 时,S 2022 1 2 2 2 2 1m 2 m 1 m 2 2 m 2022当 1500 m2022 时,S 2022 1 2 2 2 2 2m m 1 2 m 2022 m m 1 2 m 20222 1 2 2 2 2 2 1对于,当 m2022 时,S 2022 2 2022 1m 1 2 m 202

22、2当 1500 m2022 时,S 2022 2 2 1m m 2022对于,当 m2022 时,S 2022 2 2m 2022 m当 1500 m2022 时,S 2022 2 2 3对于,当 m2022 时,S 2022 2 m 2 m 2022当 1500 m2022 时,S 2022 2 m2 2022 m221（满分 18 分）此题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分我们在下面的表格内填写数值：先将第1 行的全部空格填上1；再把一个首项为1,公比为 q 的数列an依次填入第一列的空格内；然后根据“ 任意一格的数是它上面一格的

23、数与它左边一格的数之和” 的规章填写其它空格第 1 列第 2 列第 3 列第 n 列 1 B 的值；第 1 行1 q1 1 第 2 行第 3 行q2第 n 行qn1（1）设第 2 行的数依次为B 1,B 2,B ,试用n,q表示B 1B2（2） 设第 3 列的数依次为c 1,c 2,c3,c ,求证：对于任意非零实数q , 1c 32c ；（3）请在以下两个问题中挑选一个进行讨论（只能挑选一个问题,假如都选, 被认为挑选了第一问） 13 / 18 上海高考数列大题整理能否找到 q 的值,使得（2） 中的数列c c2,c 3,c 的前 m 项c 1,c 2,c m（m3） 成为等比数列？如能找到

24、,m 的值有多少个？如不能找到,说明理由能否找到 q 的值,使得填完表格后,除第 各自依次成等比数列？并说明理由1 列外,仍有不同的两列数的前三项21（1）B 1 q B 2 1 q B 3 1 1 q 2 q , , B n n 1 q ,所以 B 1 B 2 B n 1 2 n 1 nq n n 1 nq 4 分22 2（2）c 1 1,c 2 1 1 q 2 q ,c 3 2 q 1 q q 3 2 q q ,7 分2 2由 c 1 c 3 2 c 2 1 3 2 q q 22 q q 0得 c 1 c 3 2 c 10 分（3）先设 c 1 , c 2 , c 成等比数列,由 cc 3

25、 c ,得 23 2 q q 22 q 2,q 12此时 c 1 1,c 2 3, c 3 9,所以 c 1 , c 2 , c 是一个公比为 3 的等比数列13 分2 4 2假如 m 4,c 1 , c 2 , , c 为等比数列,那么 c c 2 , c 肯定是等比数列1 3 9 23由上所述,此时 q,c 1 1, c 2 , c 3,c 4,2 2 4 8由于 c 4 3,因此,对于任意 m 4,c 1 , c 2 , , c 肯定不是等比数列16 分c 3 2综上所述,当且仅当 m 3 且 q 1时,数列 c c 2 , , c 是等比数列 2 设 x 1 , x 2 , x 3 和

26、 y 1 , y 2 , y 3 分 别 为 第 k 1 列 和 第 m 1 列 的 前 三 项 ,1 k m n 1,2 k k 1 2就 x 1 1, x 2 k q x 3 1 2 3 k kq q kq q 13 分2如第 k 1 列的前三项 x 1 , x 2 , x 3 是等比数列,就2由 x x 3 x ,得 2 k k 1kq q 2k q 2,k kkq 0,q 1 k16 分2 2 2同理,如第 m 1 列的前三项 y 1 , y 2 , y 是等比数列,就 q 1 m2当 k m 时,1 k 1 m2 2所以,无论怎样的 q ,都不能同时找到两列数（除第 1 列外）,使它

27、们的前三项都成等比数列 18 分 21（此题满分 16 分）此题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3小题满分 6 分）已知有穷数列 a 共有 2k 项（整数 k 2）,首项 a 2设该数列的前 n 项和为 S ,且 a n 1 a 1 S n2（ n 1,2, , 2k 1）,其中常数 a 1（1）求证：数列 a 是等比数列；2（2）如 a 2 2 k 1,数列 b 满意 b 1log 2 a 1 a 2 a n （ n 1,2, , 2k ）,求数n列 b 的通项公式；14 / 18 上海高考数列大题整理（3）如（ 2）中的数列 b 满意不等式 |b

28、3|b 3| |b2k13| |b23|22224,求 k 的值1证明 当 1 时 2=2a,就a2；a 12 n 2k1 时, 1=a1 2, a1 1+2, 1 a1 , ann1 , 数列 是等比数列 . a2 解：由 1 得 2an1, a1a2 2n12n12nn n1 2nnn1 , 22k13（3）设 21 n n nn 2 k1,解得 n21n11 1,2, ,2k.3 ；212 k1,又 n 是正整数 ,于是当 nk时, 3 . 2原式 =3 b1+ 23 b2+ + 23 + 123+ +b2k3 22= 1+ 2k b1+ 1 k2 k1k10k11kk2k21. 222

29、k1k2 kk当2k21 4,得 k2840, 423 k4+2 3 ,又 k2,k当 2,3,4,5,6,7 时 ,原不等式成立 . 22. 此题满分18 分 此题共有3 个小题,第1 小题满分 4 分 ,第 2 小题满分 8 分. 第 3 小题满分 6 分.已知数列 a 1 , a 2 , , a 30,其中 a 1 , a 2 , , a 10 是首项为 1,公差为 1 的等差数列；2a 10 , a 11 , , a 20 是公差为 d 的等差数列；a 20 , a 21 , , a 30 是公差为 d 的等差数列（d 0）. （1）如 a 20 40,求 d ；（2）试写出 a 30

30、 关于 d 的关系式,并求 a 30 的取值范畴；（3）续写已知数列,使得 a 30 , a 31 , , a 40 是公差为 d 3的等差数列, ,依次类推,把已知数列推广为无穷数列 . 提出同（ 2）类似的问题（ （2）应当作为特例） ,并进行讨论,你能得到什么样的结论？15 / 18 上海高考数列大题整理22. 解（1）a 10 10 . a 20 10 10 d 40 , d 3 . 4 分（2）a 30 a 20 10 d 2 10 1 d d 2 d 0 , 8 分21 3a 30 10 d,2 4当 d , 0 0 , 时,a 30 7.5, . 12 分（3）所给数列可推广为无

31、穷数列 a n,其中 a 1 , a 2 , , a 10 是首项为 1,公差为 1 的等差数列,当 n 1 时,数列 a 10 n , a 10 n 1 , , a 10 n 1 是公差为 d 的等差数列 . n 14 分讨论的问题可以是：试写出 a 10 n 1 关于 d 的关系式,并求 a 10 n 1 的取值范畴 . 16 分讨论的结论可以是：由 a 40 a 30 10 d 3 10 1 d d 2 d 3,1 d n 1依次类推可得 a 10 n 1 10 1 d d n 101 d , d ,110 n 1 , d 1 .当 d 0 时,a 10 n 1 的取值范畴为 10 ,

32、等. 18 分20（此题满分 14 分）此题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 . 假设某市 2022 年新建住房面积 400 万平方米, 其中有 250 万平方米是中低价房 .估量在今后的如干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加 50 万平方米 .那么,到哪一年底,（1）该市历年所建中低价房的累计面积（以 4750 万平方米？2022 年为累计的第一年）将首次不少于（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%？20解：（1）设中低价房面积形成数列 a n,由题意可知 a

33、n 是等差数列,其中 a1=250,50,就 Sn 250 n n n 1 50 25 n 2225 n ,22 2令 25 n 225 n 4750 , 即 n 9 n 190 ,0 而 n 是正整数 , n 10 .到 2022 年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于 4750 万平方米 . （2）设新建住房面积形成数列 ,由题意可知 是等比数列,其中 b1=400,1.08,b n就 4001.08n1 由题意可知an0. 85有 250+n 150400 1.08n1 0.85. 由运算器解得满意上述不等式的最小正整数 6,到 2022 年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%. 16 / 18 上海高考数列大题整理22（此题满分18 分）此题共有3 个小题,第1 小题满分4 分,第 2 小题满分8 分,第 3小题满分 6 分 . 在直角坐标平面中,已知点 P 1 ,1 2 , P 2 2 , 2 2 , P 3 ,3 2 3 , , P nn , 2 n,其中 n 是正整数,对平面上任一点 A ,记 A 为 A 关于点 1P 的对称点,A 为 A 关于点 P 的对称点,A n为 A n 1 关于点 P 的对称点 . （1）求向量 A 0A