(事件的相互独立性)课件

1、2.2.2 事件的相互独立性第1页，共36页。第2页，共36页。第3页，共36页。思考 ：三张奖券只有一张可以中奖，现分别由三名同学有放回地抽取，事件A为“第一位同学没有抽到中奖奖券”，事件B为“最后一名同学抽到中奖奖券”。 事件A的发生会影响事件B发生的概率吗？分析：事件A的发生不会影响事件B发生的概率。于是：第4页，共36页。事件的相互独立性 设A，B为两个事件，如果 P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与事件B相互独立。即事件A（或B）是否发生,对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件。第5页，共36页。注：区别：互斥事件和相互独立事件是两个不同概念：两个事件

2、互斥是指这两个事件不可能同时发生；两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响。两个事件A、B相互独立等价于两个事件互斥，有反之，不成立。第6页，共36页。在事件A与B相互独立的定义中，A与B地位对称的；在条件概率P(B|A)中， A与B的地位不是对称的.如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B是相互独立的。第7页，共36页。证明：如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B是相互独立的。又 A与B相互独立第8页，共36页。一般地，如果事件A1，A2，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P（A1A2An）=P（A1）P

3、（A2）P（An）显然，必然事件 及不可能事件与任何事件A相互独立.第9页，共36页。练习.判断下列事件是否为相互独立事件篮球比赛的“罚球两次”中， 事件A：第一次罚球，球进了. 事件B：第二次罚球，球进了.袋中有三个红球，两个白球，采取不放回的取球.事件A：第一次从中任取一个球是白球.事件B：第二次从中任取一个球是白球.袋中有三个红球，两个白球，采取有放回的取球. 事件A：第一次从中任取一个球是白球. 事件B：第二次从中任取一个球是白球.第10页，共36页。 分别抛掷2枚质地均匀的硬币，设A是事件“第1枚为正面”，B是事件“第2枚为正面”，C是事件“2枚结果相同”。问：A、B、C中哪两个相互

4、独立？分析：利用古典概型计算概率的公式，可以求得P(A)=0.5 , P(B)=0.5, P(C)=0.5 , P(AB)=0.25 , P(BC)=0.25 , P(AC)=0.25 可以验证：P(AB)=P(A)P(B), P(BC)=P(B)P(C), P(AC)=P(A)P(C).所以根据事件相互独立定义，有事件A与B、B与C、A与C都是相互独立的。练习:第11页，共36页。例3、某商场推出两次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券。奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如果两次兑奖活动的中奖概率都为0.05，求两次抽奖中以下事件的概率：（1）都抽到某一

5、指定号码；（2）恰有一次抽到某一指定号码；（3）至少有一次抽到某一指定号码。第12页，共36页。(1)都抽到某一指定号码; 解: （1）记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A，“第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB.由于两次抽奖结果互不影响，因此A与B相互独立.于是由独立性可得，两次抽奖都抽到某一指定号码的概率第13页，共36页。(2)恰有一次抽到某一指定号码; 第14页，共36页。(3)至少有一次抽到某一指定号码; 问题(3)还有没有其他方法可以计算?第15页，共36页。(3)至少有一次抽到某一指定号码; 解:“两次抽奖至少有一次抽到某一指定号

6、码”的对立事件是“两次抽奖都没有抽到某一指定号码”，所求的概率为第16页，共36页。 设每一名机枪射击手击落飞机的概率都是0.2,若10名机枪射击手同时向一架飞机射击,问击落飞机的概率是多少?问题：解：事件 B 为“击落飞机”, 第17页，共36页。第18页，共36页。练习: 已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,臭皮匠老大解出问题的概率为0.5,老二为0.45,老三为0.4,且每个人必须独立解题，问三个臭皮匠中至少有一人解出的概率与诸葛亮解出的概率比较，谁大？ 略解: 三个臭皮匠中至少有一人解出的概率为 所以，合三个臭皮匠之力把握就大过诸葛亮.第19页，共36页。独立重复试验的概率第20页，共3

7、6页。提出问题：1、根据我们前面所学的知识，思考：若将一枚硬币连掷5次，5次都出现正面的概率是多少？2、某射手射击1次，击中的概率是0.9，他射击4次恰好击中1次的概率是多少？第21页，共36页。即从4个位置上取出1个写上A，另3个写 ，所以这些情况的种数等于从4个元素中取出1个元素的组合数C41 = 4 ，且这4种情况彼此互斥。若记在第1、2、3、4次射击中，这个射手击中目标为事件A1、 A2、 A3、 A4，未击中目标为事件那么，射击4次，击中1次共有下面4种情况：第22页，共36页。根据互斥事情的概率加法公式、相互独立事情的乘法公式，射击4次，击中1次的概率：= C41 0.9(10.9

8、)4 1 = 40.90.13 0.0036第23页，共36页。掷一枚图钉，设针尖向上的概率为p，则针尖向下的概率是q=1-p，连续掷一枚图钉3次，仅出现1次针尖向上的概率是多少？第24页，共36页。类似可以得到：可以发现第25页，共36页。 一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中，这个事件恰好发生k次的概率：此时称随机变量X服从二项分布，记作XB(n,p)，并称p为成功概率。第26页，共36页。说明:（1）每一次独立重复试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的；(2)此公式

9、仅用于独立重复试验二项分布公式第27页，共36页。例1：某气象站天气预报的准确率为80%，计算:(1)5次预报中恰有4次准确的概率；(2)5次预报中至少有4次准确的概率。(结果保留两个有效数字)：解：设X为天气预报准确的次数， 则XB（5,0.8）(1) 5次预报中恰有4次准确的概率是：P（x=4）= C540.84 (10.8)54 0.41第28页，共36页。例1：某气象站天气预报的准确率为80%，计算:(1)5次预报中恰有4次准确的概率；(2)5次预报中至少有4次准确的概率。(结果保留两个有效数字)：(2) 5次预报中至少有4次准确的概率，就是5次预报中恰有4次准确的概率与5次预报都正确

10、的概率的和。P（X4）=P（x=4） + P（x=5） = C540.84 (10.8)54 + C550.85 (10.8)5-5 0.74第29页，共36页。例2：某人参加一次考试，若五道题中解对4道则为及格，已知他解一道题的正确率为 0.6 ,试求他能及格的概率(结果保留两个有效数字)分析：设事件 A ：“解题一道正确”，则P（A）= 0.6，由于解题五道相当于5次独立重复试验，且他若要获得及格需解对4题或5题，因此即为在5次独立重复试验中，事件A至少发生4次。第30页，共36页。例2：某人参加一次考试，若五道题中解对4道则为及格，已知他解一道题的正确率为 0.6 ,试求他能及格的概率(

11、结果保留两个有效数字)解：设X为解题正确的题数， 则XB（5,0.6）P （X4）= P（X=4）+ P（X=5）所求及格的概率为= C54 0.640.4 +C55 0.65 0.34第31页，共36页。练习：某车间的5台机床在1小时内需要工人照管的概率都是1/4，求1小时内这5台机床中至少2台需要工人照管的概率是多少？分析：设事件A：一台机床需要工人照管。则P（A）= ，且这5台机床需要照管相当于5次独立重复试验。1小时内这5台机床中至少2台需要照管就是指事件A至少发生2次。解：设X为需要工人照管机床的台数，则XB（5, 14）1小时内这5台机床中至少2台需要工人照管的概率为：P（X2）=

12、1P（X=1）+ P（X=0）=1C51(1/4)(3/4)4 + C50(1/4)0(3/4)50.37第32页，共36页。练习： 某射手每次射击击中目标的概率是0.8，求这名射手在10次射击中，（1）恰有8次击中目标的概率；（2）至少有8次击中目标的概率。解：设X为击中目标的次数，则XB(10,0.8)(1)在10次射击中，恰有8次击中目标的概率为第33页，共36页。练习： 某射手每次射击击中目标的概率是0.8，求这名射手在10次射击中，（1）恰有8次击中目标的概率；（2）至少有8次击中目标的概率。解：设X为击中目标的次数，则XB(10,0.8)(2)在10次射击中，至少有8次击中目标的概率为第34页，共36页。练习： 设一射手平均每射击10次中靶4次，求在五次射击中击中一次，第二次击中，击中两次，第二、三两次击中，至少击中一次的概率由题设，此射手射击1次，中靶的概率为0.4 n5，k1，应用公式得 事件“第二次击中”表示第一、三、四、五次击中或击不中都可，它不同于“击中一次”，也不同于“第二次击中，其他各次都不中”，不能用公式它的概率就是0.4n5，k2，第35页，共36页。“第二、三两次击中”表示第一次、第四次及第五次可中可不中，所以概率为0.40.40.16设“至少击中一次