7.3空间向量-2023届高三数学（艺考生）一轮复习讲义（解析版）

1、注：请用Microsoft Word2016以上版本打开文件进行编辑，用WPS等其他软件可能会出现乱码等现象.专题七 立体几何与空间向量第3讲 空间向量1.异面直线的定义：不同在任何一个平面的两条直线叫做异面直线（1）异面直线所成的角的范围：（2）求法：平移2直线和平面所成角的求法：如图所示，设直线l的方向向量为e，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为，两向量e与n的夹角为，则有sin |cos |eq f(|en|,|e|n|).0903求二面角的大小(1)如图1，AB、CD是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小，(2)如图2、3，分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二

2、面角的大小(或)1在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1=3，则异面直线AD1与BB1所成角为（）A4B3C6D2【解答】解：长方体ABCDA1B1C1D1中，DD1BB1，则异面直线AD1与BB1所成角的平面角为AD1D，在RtAD1D中，AD1，DD1=3，则tanAD1D=ADDD1=13=33，即AD1D=6，所以异面直线AD1与BB1所成角为6故选：C2已知正方体ABCDA1B1C1D1，点E，F分别是棱B1C1，A1D1的中点，则异面直线BE，DF所成角的余弦值为（）A55B35C45D255【解答】解：连接CE，正方体ABCDA1B1C1D1，点E，F分别是棱B1

3、C1，A1D1的中点，DFCE，CEB是异面直线BE，DF所成角（或所成角的补角），设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则CEBE=22+12=5，cosCEB=CE2+BE2BC22CEBE=5+54255=35异面直线BE，DF所成角的余弦值为35故选：B3已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB1，CC12，点E为CC1的中点，则异面直线AC1与BE所成的角等于（）A30B45C60D90【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），C1（0，1，2），B（1，1，0），E（0，1，1），AC1=（1，1，2），BE=（

4、1，0，1），设AC1与BE所成角为，则cos=|AC1BE|AC1|BE|=362=32，30异面直线AC1与BE所成的角为30故选：A4如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱A1B1，BC的中点，则EF与平面A1BC1所成角的正弦值为（）A36B26C33D23【解答】解：在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱A1B1，BC的中点，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCDA1B1C1D1中棱长为2，则E（2，1，2），F（1，2，0），A1（2，0，2），B（2，2，0），C1（0，2，2），EF=（1，1，2），

5、BA1=（0，2，2），BC1=（2，0，2），设平面A1BC1的法向量n=（x，y，z），则nBA1=2y+2z=0nBC1=2x+2z=0，取x1，得n=（1，1，1），设EF与平面A1BC1所成角为，则sin=|EFn|EF|n|=263=23EF与平面A1BC1所成角的正弦值为23故选：D5如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中（1）求证：AD1平面A1BC1；（2）若ABAD2，AA13，求直线A1D与平面A1BC1所成角的正弦值【解答】（1）证明：长方体ABCDA1B1C1D1中，ABC1D1，ABC1D1，所以ABC1D1是平行四边形，所以AD1BC1；因为BC1平面A1BC1

6、，AD1平面A1BC1，所以AD1平面A1BC1；（2）解：以A1为原点，A1D1、A1B1、A1A的方向为x、y、z轴的正方向，建立空间直角坐标系如图所示；由ABAD2，AA13，则A1（0，0，0），C1（2，2，0），D（2，0，3），所以A1D=（2，0，3），A1C1=（2，2，0），A1B=（0，2，3）；设平面C1A1B的法向量为m=（x，y，z），由mA1C1=0mA1B=0，得2x+2y=02y+3z=0；令y3，得m=（3，3，2），设直线A1D与平面A1BC1所成的角为，所以sin|cosA1D，m|A1Dm|A1D|m|=6+64+0+99+9+4=6286143，即直

7、线A1D与平面A1BC1所成角的正弦值为62861436如图，在四棱锥PABCD中，PD2AD，PDDA，PDDC，底面ABCD为正方形，MN分别为AD，PD 的中点（）求证：PA平面MNC；（）求直线PB与平面MNC所成角的正弦值【解答】解：（）证明：M，N分别为AD，PD的中点，PAMN，又PA不在平面MNC，PA平面MNC；（）如图建立空间直角坐标系，设AD2，则B（2，2，0），C（0，2，0），P（0，0，4），M（1，0，0），N（0，0，2），PB=(2，2，4)，NC=(0，2，2)，MN=(1，0，2)，设平面MNC的法向量为n=(x，y，z)，则nMN=x+2z=0nNC=

8、2y2z=0，可取n=(2，1，1)，设直线PB与平面MNC所成角为，则sin=|cosn，PB|=167如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，ABC60，侧面PAB底面ABCD，BAP90，ABACPA2（1）求证：平面PBD平面PAC；（2）若点M为PD中点，求直线MC与平面PBC所成角的正弦值【解答】（1）证明：因为BAP90，则PAAB，又侧面PAB底面ABCD，面PAB面ABCDAB，PA面PAB，则PA面ABCD（2分）BD面ABCD，则PABD又因为四边形ABCD为平行四边形，且ABC60，ABAC则ABC为等边三角形，则ABCD为菱形，则BDAC（5分）又PAA

9、CA，则BD面PAC，BD面PBD，则面PBD面PAC（7分）（2）取BC中点E，以点A为原点，分别以AE，AD，AP为x轴、y轴、z轴建立如图空间直角坐标系，则A（0，0，0），B(3，1，0)，C(3，1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，M（0，1，1）则MC=(3，0，1)，PB=(3，1，2)，PC=(3，1，2)，（9分）设面PBC的法向量为n=(x，y，z)，则PBn=0PCn=0，则n=(1，0，32)（12分）设直线MC与面PBC所成角为，则sin=|cosMC，n|=|MCn|MC|n|=2114所以直线MC与平面PBC所成角的正弦值为2114（15分）（其它方法酌

10、情给分）8如图四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PBBC，PDCD，且PAAB，E为PD中点（1）求证：PA平面ABCD；（2）求二面角ABEC的正弦值【解答】解：（1）证明：底面ABCD为正方形，BCAB，BCPB，ABPBB，BC平面PAB，BCPA，同理，CDPA，BCCDC，PA平面ABCD（2）解：如图，分别以AB，AD，AP所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设正方形ABCD的边长为2，则A（0，0，0），C（2，2，0），E（0，1，1），B（2，0，0），则AE=（0，1，1），AB=（2，0，0），设平面ABE的一个法向量n=（x，y，z），则nAE=y+z

11、=0nAB=2x=0，取z1，得n=（0，1，1），同理得平面BCE的一个法向量m=（1，0，2），cosm，n=mn|m|n|=225=105，二面角ABEC的正弦值为1(105)2=1559如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，四边形ABCD是平行四边形，BAD45，且ADBDPD1（1）求证：PAPC；（2）求二面角APBC的余弦值【解答】（1）在平行四边形ABCD中，易得CD=AB=BD2+AD2=2，由余弦定理得，AC2AD2+CD22ADCDcos1505因为PD平面ABCD，所以有PDAD，PDDC，所以PA2PD2+AD22，PC2PD2+CD23，所以AC2PA2+P

12、C2，所以PAPC（2）分别以DA，DB，DP为x轴，y轴，z轴建立如图空间坐标系，所以A（1，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1），B（1，1，0），所以PA=(1，0，1)，PC=(1，1，1)，因为PAPC=1+0+1=0，所以PAPC由（1）得PB=(0，1，1)，设m=(x1，y1，z1)为平面PAB的一个法向量，所以mPA=0mPB=0，即x1z1=0y1z1=0，可取m=(1，1，1)，同理，设n=(x2，y2，z2)为平面PBC的一个法向量，所以nPC=0nPB=0，即x2+y2z2=0y2z2=0，可取n=(0，1，1)，所以cosm，n=mn|m|n|=1+132=

13、63，由图可知，二面角APBC的平面角是钝角，所以，二面角APBC的余弦值6310如图，在四棱锥PABCD中，已知四边形ABCD是平行四边形，DAB60，ADABPB，PCPA，PCPA（1）求证：BD平面PAC；（2）求二面角APBC的余弦值【解答】（1）证明：设ADABPB2，ACBDO，连接OP，则ABAD，且DAB60，四边形ABCD为菱形，ACBD，且AC=23，BD2，BO1，又PCPA，PCPA，PCA是等腰Rt，POAC，PC=PA=6，PO=3，在POB中，PO=3，PB2，BO1，有PB2PO2+BO2，POBO，即BDOP，又ACOPO，AC平面PAC；OP平面PAC；B

14、D平面PAC；（4分）（2）以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图：则O（0，0，0），A(3，0，0)，B（0，1，0），C(3，0，0)，P(0，0，3)，则AP=(3，0，3)，AB=(3，1，0)，BP=(0，1，3)，BC=(3，1，0)，设平面PAB的法向量为n1=(x1，y1，z1)，则n1AP=3x1+3z1=0n1AB=3x1+y1=0，令x11，则y1=3、z11，则n1=(1，3，1)，设平面PBC的法向量为n2=(x2，y2，z2)，则n2BP=y2+3z2=0n2BC=3x2y2=0，令x21，则y2=3、z21，则n2=(1，3，1)，cosn1，n2=n1n2|

15、n1|n2|=35，设二面角APBC的平面角为，经观察为钝角，则cos=|cosn1，n2|=35（12分）11已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点0，AB4，BAD120，将ACD沿AC折起，使点D到达点P位置，满足OPB为等边三角形（1）求证：ACPB；（2）求二面角PBCA的余弦值【解答】证明：（1）由已知，翻折后ACPO，ACOB，POOBO，AC平面POB，又PB平面POB，ACPB解：（2）在菱形ABCD中，ABAD4，BAD120，BD43，OB23，取OB中点M，连结PM，则PMOB，又AC面POB，ACPM，又ACPOO，PM面ABC，PM3，以OC为x轴，OB为y轴，过

16、点O作MP的平行线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则P（0，3，3），B（0，23，0），C（2，0，0），BC=（2，23，0），PB=（0，3，3），设平面PBC的法向量n=（x，y，z），则BCn=2x23y=0PBn=3y3z=0，取z1，得n=（3，3，1），平面ABC的一个法向量m=（0，0，1），cosm，n=113=1313，二面角PBCA的平面角是锐角，二面角PBCA的余弦值为131312如图，四棱锥PABCD中，平面PDC底面ABCD，PDC是等边三角形，底面ABCD为梯形，且DAB60，ABCD，DCAD2AB2（）证明：BDPC；（）求A到平面PBD的距离【解答】

17、证明：（）四棱锥PABCD中，平面PDC底面ABCD，PDC是等边三角形，底面ABCD为梯形，且DAB60，ABCD，DCAD2AB2由余弦定理得BD=12+22212cos60=3，BD2+AB2AD2，ABD90，BDAB，ABDC，BDDC又平面PDC底面ABCD，平面PDC底面ABCDDC，BD底面ABCD，BD平面PDC，又PC平面PDC，BDPC解：（）设A到平面PBD的距离为h取DC中点Q，连结PQ，PDC是等边三角形，PQDC又平面PDC底面ABCD，平面PDC底面ABCDDC，PQ平面PDC，PQ底面ABCD，且PQ=3，由（）知BD平面PDC，又PD平面PDC，BDPDVA

18、PBDVPABD，即131232h=1312133解得=32故A到平面PBD的距离为3213如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PAAD4，AB2，M是PD中点（）求直线CD与平面ACM所成的角的正弦值；（）求点P到平面ACM的距离【解答】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，PAAD4，AB2，则有A（0，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），P（0，0，4）M是PD的中点，M（0，2，2）设平面ACM的一个法向量为n=(x，y，z)，则有nAC=0nAM=0，即2x+4y=02y+2z=0，n=(2，1，1)又CD=(2，0，0)，设直线CD与平面ACM

19、所成的角为，则有sin=63故直线CD与平面ACM所成的角的正弦值为63（2）AP=(0，0，4)，平面ACM的一个法向量为n=(2，1，1)，设点P到平面ACM的距离为d，则有d=46=263故点P到平面ACM的距离为26314如图所示，在四棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABCD，侧棱PAPD=2，PAPD，底面ABCD为直角梯形，其中BCAD，ABAD，ABBC1，O为AD的中点（1）求直线PB与平面POC所成角的余弦值；（2）求B点到平面PCD的距离【解答】解：（1）侧棱PAPD=2，PAPD，O为AD的中点，AD=2+2=2，POAD，底面ABCD为直角梯形，其中BCAD，ABAD，

20、ABBC1，OCAD，OC1，侧面PAD底面ABCD，侧面PAD底面ABCDAD，OCAD，且OC平面ABCD，OC平面PAD，以O为原点，分别以OC为x轴，OD为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，则B（1，1，0），P（0，0，1），PB=（1，1，1），平面POC的法向量n=（1，0，0），设直线PB与平面POC所成角为，则sin=|PBn|PB|n|=13=33，cos=1(33)2=63，PB与平面POC所成角的余弦值为63；（2）C（1，0，0），D（0，1，0），PB=（1，1，1），PC=（1，0，1），PD=（0，1，1），设平面PCD的法向量m=（x，y，z），则mPC=

21、xz=0mPD=yz=0，取x1，得m=（1，1，1），B点到平面PCD的距离为d=|mPB|m|=13=3315已知矩形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在的平面垂直，M是半圆弧上异于C，D的点，l为平面AMD与平面BMC的交线（1）证明：lAD；（2）若CD2AD2MC2，求B到平面ADM的距离【解答】解：（1）证明：由题设知，ADBC，AD平面BMC，BC平面BMC，AD平面BMC，又AD平面ADM，平面ADM平面BMCl，lAD（2）过点M作MHCD于H，平面CMD平面ABCD，交线为CD，MH平面CDM，MH平面ABCD又ADCD，AD平面ABCD，AD平面CMD，ADDMM为CD上异

22、于C，D的点，且DC为直径，DMCMDC2MC2，DM=3，SADM=12ADDM=32，SADB=12ADAB=1，MH=32设B到平面ADM的距离为h，VMADBVBADM，13SADBMH=13SADM，解得h1，B到平面ADM的距离为116如图，在RtABC中，ACBC，BAC30，BC=3，AC3DC，DEBC，沿DE将点A折至A1处，使得A1CDC，点M为A1B的中点（1）证明：A1B平面CMD（2）求二面角BCME的余弦值【解答】（1）证明：由DCBC，A1CDC，且A1CBCC，A1C平面A1CB，BC平面A1CB，可得DC平面A1CB，因此DCA1B由BAC30，BC=3，得AC=3BC=3DC=3，因此DC1，AD2A1D，由勾股定理可得A1C=A1D2DC2=3=BC又因为点M为A1B的中点，所以CMA1B，而CDCMC，CM平面CMD，CD平面CMD，故A1B平面CMD（2