2021-2022学年高二物理竞赛课件：一维谐振子势场_第1页
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1、一维谐振子势场2 有一个质量为的粒子在一维谐振子势场中运动在动能的非相对论近似下，定态能量为，定态波函数为其中为归一化常数考虑T与p的相对论修正，计算能级的移动至阶提示：一维谐振子势场3注意：相对论公式只是对动能的修正，总能量为而总能量是静能与动能之和，所以解：由前面分析可知这是非简并微扰问题。能量的一级修正为考虑利用题目所给出的条件递推公式4则其精度符合题目要求。5 电子在类氢离子势场 中的定态 能量为 ，定态波函数为 。 这是在动能 的非相对论近似下得到 的结果。现在考虑 的相对论修正至 阶， 即修正项为 计算能级 的移动至 阶。提示：分析：这显然是简并的微扰论问题。其中6解：利用公式则可

2、知， 的所有非对角元均为0。利用 的本征值 是 简并的,相应的本征函数为 为求矩阵元方便寻找同H0的关系7也就是说，我们可以选 作为0级近似波函数使 从而 对角化。（已经介绍：新选的0级波函数是使 对角化的）。即每一个分裂能级对应一个 ，可用非简并态微扰方法来处理简并微扰问题。此时8代入上式将及得以上用到Bohr半径9一原子在 向磁场 中除了能级的Zeeman分裂外,还受到 的微扰其中 为Bohr磁子, 为Bohr半径, 为电子电荷（）已知氢原子基态波函数，求一级微扰能（）估计这项修正的能级（设 高斯）， 同Zeeman分裂( 量级)比较;（）分析这个修正的物理意义 。10分析：氢原子的基态能

3、级是非简并的，应该使用 非简并微扰论解：（1）一级微扰能即能量的一级修正（2）Zeeman效应中给出了分裂强度故其比值为11其中精细结构常数为电子的静能为玻尔磁子是个已知量且 B=104高斯可以得到 =2.1210-6。（3） 是原子的磁四极矩同磁场的作用能！12（）给出此体系的Hamiltonian量及其本征函数 与本征值 。 一根质量均匀分布长度为的杆，以它的中 心为固定点，被约束在一平面上转动。此杆具有 质量 和固定于两端的电荷 与 。（ 2 ）如有一个处于该转动平面的恒定弱电场作用 于这个体系，用微扰方法求基态新的本征函 数（一级近似）与本征能量（二级近似）（ 3 ）如果外电场很强，求基态近似波函数与能量。提示: 1. 这是个刚性转子问题，应该会按照平动的形式写 出相应的哈密顿； 2. 外场强和弱时对转子的影响肯定不一样，应该会 分别处理。13解：（1）设杆沿z轴转动，xy为转动平面。无外场的哈密顿可以比照平动方式写出其本征值与本征函数分别为（2）可以考虑所加弱电场的方向沿x方向， 即当所加外电场较弱时，转子可以在xy平面内转动，但受到外场的微扰，转动不是很均匀。-Q+Qd/2z14基态零级近似能量 是非简并的，零级近似波函

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