信息技术2.0微能力：中学八年级数学上（第一单元）探索勾股定理-中小学作业设计大赛获奖优秀作品-《义务教育数学课程标准（2022年版）》

1、 中学八年级数学上（第一单元）探索勾股定理义务教育数学课程标准（2022年版）微能力2.0认证-中小学作业设计大赛目 录作业设计方案撰写：TFCF优秀获奖作品北师大版八年级上册数学第一单元勾股定理作业设计一、单元信息基本信息学科年级学期教材版本单元名称数学八年级第一学期北师大版勾股定理单元组织方式自然单元重组单元课时信息序号课时名称对应教材内容11.1 探索勾股定理（1）第 1.1（P1-4）21.1 探索勾股定理（2）第 1.1（P4-8）31.2 一定是直角三角形吗第 1.2（P9-12）41.3 勾股定理的应用第 1.3（P13-15）51.4 回顾与思考P16二、单元分析（一）课标要求

2、在研究图形性质和运动等过程中，进一步发展学生空间观念.在多种形式的数学活动中，发展合情推理能力.经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题方法的多样性.探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题.（二）教材分析知识网络内容分析本单元的核心内容是勾股定理及其逆定理教学价值：勾股定理是初中数学的一个重要定理，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，充分体现了数形结合思想方法在数学的发展和现实世界中的广泛应用。本章是直角三角形相关知识的延续，同时也是认识无理数，学习圆，解直角三角形等知识的基础，通过勾股定理背景知识的了解，让学生感受勾股定理的丰富的文化内涵，特别的向

3、学生介绍我国古代的数学家对勾股定理的研究做出重大贡献，激发学生热爱祖国，不怕困难，敢于担当，为中华民族的复兴而努力学习.单元教学的重点与难点重点：掌握勾股定理及其逆定理；勾股定理及逆定理，在现实生活中的应用难点： 能够用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题（三）学情分析八年级学生此前已经学习了三角形的有关知识，了解了直角三角形概念，掌握了直角三角形的性质和一个三角形是直角三角形的条件，并且已具备一定的观察、归纳、猜想和推理能力。在此基础上学习勾股定理，可以加深对勾股定理的理解，提高应用知识解决问题的能力。但运用面积法、割补思想解决问题的意识还不够。在现阶段由于学生学习积极性高，具有强烈的求知欲

4、望，课堂主动参与，善于表现自我，为学好本单元奠定了基础.三、单元学习与作业目标（一）单元学习目标1、了解勾股定理的历史，感受它的多种证法.2、体会探究勾股定理的困难和探究成功的喜悦.3、会用勾股定理或其逆定理解决简单的问题.（二）单元作业目标了解勾股定理的历史，体会勾股定理的文化价值.掌握勾股定理的内容，会用拼图法、割补法、等积法验证勾股定理.能用勾股定理解决简单的实际问题.能用数形结合思想、分类讨论思想、方程思想等数学思想解决问题.知道勾股定理的逆定理的得出过程，掌握勾股定理的逆定理.了解勾股数的概念，能探索出勾股数组的规律.能运用勾股定理及其逆定理解决实际问题.四、单元作业设计思路本单元作

5、业设计，凸显育人导向，立足单元整体，聚焦核心素养，关注知识与技能目标的同时，注重过程方法的体验，注重个性发展、人文情怀、学习兴趣、应用意识和创新意识的渗透，书面作业的形式分为基础知识、能力提升、探究拓展、综合与实践等不同层次的作业，其中综合与实践类作业设计了测旗杆的高度，课内课外结合，巩固所学知识，让学生在完成作业的过程中实现核心素养的全面提升.作业设计在关注学生已有的学习经验的基础上，为学生构建成功跨越最近发展区的支架， 引导学生自主发展、探究学习，培养学生不怕困难、敢于挑战、勇于反思质疑的精神，帮助学生形成科学的学习方法，学会思考、独立思考，在潜移默化中实现核心素养的教学目标.本单元作业设

6、计以勾股定理及其逆定理作为核心，把培养学生直观想象和逻辑推理素养为导向，发展空间观念和合情推理能力，让学生在完成作业，自主建构的过程中落实核心素养，把应用意识、创新意识贯穿其中，题目的编排兼顾难度结构和内容结构，以期通过问题引导学生学会学习，实现素养的全面提升，具体以课标教材、单元教学目标和单元作业目标为依据， 设计选择题、填空题、探究题、证明题、综合与实践，难度适宜，结构完整，有利于实现作业的功能.五、课时作业单元内容第一章勾股定理课 题1.1 探索勾股定理（1）节次第_1 课时作业功能（可多选）课前预习课中练习课后复习课后实践作业类型（可多选）分层作业弹性作业个性化作业探究性作业实践性作业

7、跨学科综合性作业作业目标能用文字语言和符号语言正确表达勾股定理.知道勾股定理只适用直角三角形，揭示的是直角三角形三边之间的数量关系.会运用勾股定理进行简单的计算和实际应用.题型必做题有填空题、解答题选做题是解答题题量填空题 2 题解答题 2 题共 4 题作业时长基础性作业 12 分钟，拓展性作业 6 分钟，合计 18 分钟基础性作业（必做）作业内容设计意图与题目来源1.请你根据图中的直角三角形叙述勾股定理（分别用文字语言及符号语言叙述）； .cab作业分析与设计意图：渗透数学的建模思想，考查学生的解题能力.第 1 题考查勾股定理的的概念及用字母表示；第 2 题利用方位角计算出角度， 得出三角形

8、是直角三角形，利用勾股定理解答；第 3 题让学生知道勾股定理只适用于直角三角形，并熟练掌握已知直角三角形的两边可求出第三 边.2.（创编） 如图，小颖从家 A 出发向北偏东 30 方向走了 200m 到了小红家 B，小颖与小红一起向南偏东 60的方向走 150m 到达书店 C，则小颖家与书店 AC 的距离是 mBCA3.在 RtABC 中，已知C90，BCa，ACb，ABc.（1）若 a3，b4，求 c；（2）若 a8，c17，求 b；（3）若 b24，c25，求 a；学科素养：数学抽象逻辑推理数学建模 数学运算 直观想象00数据分析能力维度：了解理解掌握应用题目来源: 选编改编创编作业评价表

9、评价指标等级备 注ABC答题的准确性A 等，答案正确、过程正确.B 等，答案正确、过程有问题.C 等，答案不正确，有过程不完整；答案不准确，过程错误、或无过程.答题的规范性A 等，过程规范，答案正确.B 等，过程不够规范、完整，答案正确.C 等，过程不够规范或无过程，答案错误.解法的创新性A 等，解法有新意和独到之处，答案正确.B 等，解法思路有创新，答案部完整或错误.C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程.综合评价等级AAA、AAB 综合评价为 A 等；ABB、BBB、AAC 综合评价为B 等；其余情况综合评价为 C 等.拓展性作业（或实践性作业等）（选做）1. 在 RtABC 中，

10、ACB90，CDAB 于点 D， AC20，BC15，求 AB 的长；求 CD 的长作业分析与设计意图：考查学生利用勾股定理解决问题的能力.第 1 题考查勾股定理的应用及直角三角形面积的不同表示方法.学科素养： 数学抽象逻辑推理数学建模 数学运算直观想象数据分析能力维度：了解理解掌握应用题目来源: 选编改编创编作业评价表评价指标等级备 注ABC答题的准确性A 等，答案正确、过程正确.B 等，答案正确、过程有问题.C 等，答案不正确，有过程不完整；答案不准确，过程错误、或无过程.答题的规范性A 等，过程规范，答案正确.B 等，过程不够规范、完整，答案正确.C 等，过程不够规范或无过程，答案错误.

11、解法的创新性A 等，解法有新意和独到之处，答案正确.B 等，解法思路有创新，答案部完整或错误.C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程.综合评价等级AAA、AAB 综合评价为 A 等；ABB、BBB、AAC 综合评价为B 等；其余情况综合评价为 C 等.单元内容第一章勾股定理课 题1.1 探索勾股定理（2）节次第_2 课时作业功能（可多选）课前预习课中练习课后复习课后实践作业类型（可多选）分层作业弹性作业个性化作业探究性作业实践性作业跨学科综合性作业作业目标会用拼图法、等积法验证勾股定理.能运用勾股定理解决一些实际问题.题型必做题有填空题选做题有解答题题量填空题 3 题解答题 1 题共

12、4 题作业时长基础性作业 11 分钟，拓展性作业 9 分钟，合计 20 分钟基础性作业（必做）作业内容设计意图与题目来源1. 如图，把长、宽、对角线的长分别是 a、b、c 的矩形沿对角线剪开，与一个直角边长为 c 的等腰直作业分析与设计意图：渗透数学的建模思想、分类讨论思想，考查学生的解题角三角形，拼接成右边的图形，用面积割补法能够能力。第 1 题利用三角形的面积和、梯得到的一个验证勾股定理的等式是 形的面积来表示这个图形的面积，验证勾股定理，从而揭示直角三角形三边之间的关系，并用字母表示；第 2 题通过分类讨论，x 分为两种情况，即 x 是直角边或斜边，根据勾股定理计算即可； 第 3 题运用

13、勾股定理解决实际问题.2. 一个直角三角形三边分别为 5，12，x，那么 x2为 学科素养： 数学抽象逻辑推理3. 如图是一个外轮廓为长方形的机器零件的平面数学建模 数学运算直观想象示意图,根据图中尺寸(单位:mm),计算两圆孔中心数据分析A 和 B 的距离为 .能力维度：了解理解掌握应用题目来源: 选编改编创编作业评价表评价指标等级备 注ABC答题的准确性A 等，答案正确、过程正确.B 等，答案正确、过程有问题.C 等，答案不正确，有过程不完整；答案不准确，过程错误、或无过程.答题的规范性A 等，过程规范，答案正确.B 等，过程不够规范、完整，答案正确.C 等，过程不够规范或无过程，答案错误

14、.解法的创新性A 等，解法有新意和独到之处，答案正确.B 等，解法思路有创新，答案部完整或错误.C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程.综合评价等级AAA、AAB 综合评价为 A 等；ABB、BBB、AAC 综合评价为B 等；其余情况综合评价为 C 等.拓展性作业（或实践性作业等）（选做）如图，隔湖有两点 A、B，从与 BA 方向成直角的BC 方向的点 C 测得 CA=50 米，CB=40 米. 求：（1）A、B 两点的距离；（2） B 点到直线 AC 的距离.探索与创新 如图，所有的四边形都是正方形， 所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为 9cm，请你完成下列学习任务

15、求出正方形 A，B，C，D 的面积之和;利用几何画板软件画出如下图所示的图形，并验证上述（1）中你得到的结论作业分析与设计意图：1.渗透数学建模思想，利用数学抽象，根据实际问题抽象出直角三角形，根据勾股定理计算， 感受数学在生活中的应用.2.考查学生数形结合思想和勾股定理的应用， 并通过利用几何画板画图加以验证，激发学生的想象力，提高学生的信息技术素养学科素养： 数学抽象逻辑推理数学建模 数学运算直观想象数据分析能力维度：了解理解掌握应用题目来源: 选编改编创编作业评价表评价指标等级备 注ABC答题的准确性A 等，答案正确、过程正确.B 等，答案正确、过程有问题.C 等，答案不正确，有过程不完

16、整；答案不准确，过程错误、或无过程.答题的规范性A 等，过程规范，答案正确.B 等，过程不够规范、完整，答案正确.C 等，过程不够规范或无过程，答案错误.解法的创新性A 等，解法有新意和独到之处，答案正确.B 等，解法思路有创新，答案部完整或错误.C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程.综合评价等级AAA、AAB 综合评价为 A 等；ABB、BBB、AAC 综合评价为B 等；其余情况综合评价为 C 等.单元内容第一章勾股定理课 题1.2 一定是直角三角形吗节次第_3 课时作业功能（可多选）课前预习课中练习课后复习课后实践作业类型（可多选）分层作业弹性作业个性化作业探究性作业实践性作业跨

17、学科综合性作业作业目标能用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形.知道勾股数的概念，并能准确判断一组数是否是勾股数.题型必做题有选择题选做题有解答题题量选择题 3 题解答题 2 题共 5 题作业时长基础性作业 10 分钟，拓展性作业 8 分钟，合计 18 分钟基础性作业（必做）作业内容设计意图与题目来源若ABC 的三边 a、b、c 满足（ab）2+|a2+b2c2|0，则ABC 是（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等边三角形下列各组数为勾股数的是（）A7，12，13B3，4，7 C6，8，10D1.5，2，2.5如图 1，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等

18、的直角三角形围成的，若AC12，BC7，将四个直角三角形中边长为 12 的直角边分别向外延长一倍，得到如图 2 所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）A100B144C148D196作业分析与设计意图：第 1 题是利用恒等式变形及勾股定理逆定理判定三角形的形状；第 2 题考查直角三角形的勾股数；第3 题考查勾股数的应用.学科素养： 数学抽象逻辑推理数学建模 数学运算直观想象数据分析能力维度：了解理解掌握应用题目来源: 选编改编创编作业评价表评价指标等级备 注ABC答题的准确性A 等，答案正确、过程正确.B 等，答案正确、过程有问题.C 等，答案不正确，有过程不完整；答案不准确，过程错

19、误、或无过程.答题的规范性A 等，过程规范，答案正确.B 等，过程不够规范、完整，答案正确.C 等，过程不够规范或无过程，答案错误.解法的创新性A 等，解法有新意和独到之处，答案正确.B 等，解法思路有创新，答案部完整或错误.C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程.综合评价等级AAA、AAB 综合评价为 A 等；ABB、BBB、AAC 综合评价为B 等；其余情况综合评价为 C 等.拓展性作业（或实践性作业等）（选做）1. 如图，正方形网格中的ABC,若小方格边长为1,请你根据所学的知识(1)求ABC 的面积(1)判断ABC 是什么形状? 并说明理由.2.观察下列表格列举猜想3、4、53

20、2=4+55、12、1352=12+137、24、2572=24+2513、b、c132=b+c请你结合表格及相关知识，求 b、c 的值.作业分析与设计意图：第 1 题渗透数学转化思想，把不规则图形转化为规则图形，利用勾股定理及逆定理判定三角形的形状，第 2 题探究勾股数的规律.学科素养： 数学抽象逻辑推理数学建模 数学运算直观想象数据分析能力维度：了解 理解 掌握应用题目来源: 选编改编创编作业评价表评价指标等级备 注ABC答题的准确性A 等，答案正确、过程正确.B 等，答案正确、过程有问题.C 等，答案不正确，有过程不完整；答案不准确，过程错误、或无过程.答题的规范性A 等，过程规范，答案

21、正确.B 等，过程不够规范、完整，答案正确.C 等，过程不够规范或无过程，答案错误.解法的创新性A 等，解法有新意和独到之处，答案正确.B 等，解法思路有创新，答案部完整或错误.C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程.综合评价等级AAA、AAB 综合评价为 A 等；ABB、BBB、AAC 综合评价为B 等；其余情况综合评价为 C 等.单元内容第一章勾股定理课 题1.3 勾股定理的应用节 次第_4 课时作业功能（可多选）课前预习课中练习课后复习课后实践作业类型（可多选）分层作业弹性作业个性化作业探究性作业实践性作业跨学科综合性作业作业目标能正确应用勾股定理及其逆定理，解决简单的实际问题.

22、能选择适当的数学模型解决问题.题型必做题有选择题、填空题选做题有解答题题量选择题 1 题填空题 2 题解答题 3 题共 6 题作业时长基础性作业 12 分钟，拓展性作业 8 分钟，合计_20_分钟基础性作业（必做）作业内容设计意图与题目来源1. 如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离为 0.7 米,顶端距离地面 2.4 米,如果保持梯子底端位置不动, 将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面 2 米,那么小巷的宽度为 ( )A.0.7 米 B.1.5 米C.2.2 米 D.2.4 米一个三级台阶如图,每一级的长、宽、高分别为 8dm、3dm、2dm,A 和 B 是这

23、个台阶上两个相对的端点,点 A 处有一只蚂蚁,想到点 B 处去吃可口的食物,则蚂蚁沿着台阶面爬行到点 B 的最短路程为 dm.如图,铁路上 A,B 两站(视为直线上两点)相距25 km,C,D 为两村庄(视为两个点),DAAB 于点A,CBAB 于点 B.已知 DA=15 km,CB=10 km,现在要在铁路 AB 上建设一个土特产收购站 E,使得 C,D 两村到 E 站的距离相等,则 E 站应建在距离 A 站 km 处.4.（改编）如图，在ABC 中，D 是 AB 上一点，CD=12，BC20，AC15，BD16求 AB 的长CABD作业分析与设计意图：渗透建模思想， 构造直角三角形用勾股定

24、理及其逆定 理，解决生活中的实际问题.学科素养： 数学抽象逻辑推理数学建模 数学运算直观想象数据分析能力维度：了解理解掌握应用题目来源: 选编改编创编作业评价表评价指标等级备 注ABC答题的准确性A 等，答案正确、过程正确.B 等，答案正确、过程有问题.C 等，答案不正确，有过程不完整；答案不准确，过程错误、或无过程.答题的规范性A 等，过程规范，答案正确.B 等，过程不够规范、完整，答案正确.C 等，过程不够规范或无过程，答案错误.解法的创新性A 等，解法有新意和独到之处，答案正确.B 等，解法思路有创新，答案部完整或错误.C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程.综合评价等级AAA、

25、AAB 综合评价为 A 等；ABB、BBB、AAC 综合评价为B 等；其余情况综合评价为 C 等.拓展性作业（或实践性作业等）（选做）1.小汽车在同方向划有两条以上机动车道的城市道路上,在没有限速标志、标线的情况下,最高速度不得超过 70km/h.如图,省内一辆小汽车自右向左在同方向划有两条以上机动车道的城市道路上直道行驶,某一时刻刚好行驶到路对面车速观察点 A 正前方 30m 的 C 处,过了 2.5 s 后行驶到 B 处,此时测得小汽车与车速观察点 A 之间的距离为 50 m,这辆小汽车超速了吗?2.（创编）为了对学生进行爱国主义教育，我校开展“生在红旗下，长在春风里”感党恩主题教育活动，

26、请你运用所学知识设计一个方案，测量我校旗杆的高度，画出示意图，并说明理由.作业分析与设计意图：第 1 题让学生从数学的角度观察与分析、思考与表达生活中的现实问题，发展应用意识和实践能力，即从实际情景出发抽象出数学模型，利用勾股定理计算即可. 第 2 题通过实际测量旗杆的高度综合应用勾股定理等有关数学知识解决问题，积累数学活动经验，提高语言表达能力，动手操作能力，数学抽象能力、数学建模能力，形成和发展核心素养.学科素养： 数学抽象逻辑推理数学建模 数学运算直观想象数据分析能力维度：了解理解掌握应用题目来源: 选编改编创编作业评价表评价指标等级备 注ABC答题的准确性A 等，答案正确、过程正确.B

27、 等，答案正确、过程有问题.C 等，答案不正确，有过程不完整；答案不准确，过程错误、或无过程.答题的规范性A 等，过程规范，答案正确.B 等，过程不够规范、完整，答案正确.C 等，过程不够规范或无过程，答案错误.解法的创新性A 等，解法有新意和独到之处，答案正确.B 等，解法思路有创新，答案部完整或错误.C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程.综合评价等级AAA、AAB 综合评价为 A 等；ABB、BBB、AAC 综合评价为B 等；其余情况综合评价为 C 等.单元内容第一章勾股定理课 题1.4 回顾与思考节 次第_5 课时作业功能（可多选） 课前预习课中练习课后复习课后实践作业类型（可

28、多选）分层作业弹性作业个性化作业探究性作业实践性作业跨学科综合性作业作业目标能自己建立本章的知识结构图.理解直角三角形边、角之间分别存在的关系.加深对勾股定理及其逆定理的理解，体会两个定理应用的广泛性.了解勾股定理的历史.题型必做题有选择题、填空题选做题有解答题题量选择题 5 题填空题 1 题解答题 2 题共 7 题作业时长基础性作业 14 分钟，拓展性作业 6 分钟，合计 20 分钟基础性作业（必做）课前预习（3-5 分钟）梳理本章知识、建立知识结构图.作业分析与设计意图：引导学生回顾本章学习的主要内容，构建知识系 统，养成回顾反思的学习习惯.作业内容设计意图与题目来源1.（创编）勾股定理在

29、我国古代被称为（）A商高定理B.赵爽定理C.祖冲之定理D.百牛定理2.(创编)2002 年第 24 届国际数学家大会在中国北京召开，下列哪个图案被选为本届会徽（）A.B.C.D.在 RtABC 中，C=90，若 AC+BC=14cm， AB=10cm，则 RtABC 的面积是()A.24cm2B.36cm2C.48cm2D.60cm2张大爷出门散步，他先向正东走了 80m，接着又向正南走了 150m，此时他离家的距离为（ ）A.200m B.160m C.170m D.180m5（创编）在ABC 中，A、B、C 的对边分别记为a 、b 、c ，由下列条件不能判定ABC 为直角三角形的是（ ）A

30、A+B=C BABC =123C a2 c2 b2D a b c =346 6.（改编）如图,O 为数轴原点,A,B 两点分别对应-3,3,作腰长为 5 的等腰三角形 ABC,连接 OC,以 O 为圆心、OC 长为半径画弧交数轴于点 M,则点 M 对应的实数为 .CA0B M作业分析与设计意图：第 1 题了解勾股定理的历史，感受数学文化；第 2 题勾股定理在数学中重要地位，从不同选项中了解中国文化，教育学生热爱祖国；第 3 题考查学生灵活运用勾股定理和整体思想解决问题的能力； 第 4 题旨在运动中发展学生空间观念, 利用建模思想构造直角三角形求解； 第 5 题综合考查了直角三角形边角之间的关系

31、；第 6 题考查等腰三角形的性质及勾股定理.学科素养： 数学抽象逻辑推理数学建模 数学运算直观想象数据分析能力维度：了解理解掌握应用题目来源: 选编改编创编作业评价表评价指标等级备 注ABC答题的准确性A 等，答案正确、过程正确.B 等，答案正确、过程有问题.C 等，答案不正确，有过程不完整；答案不准确，过程错误、或无过程.答题的规范性A 等，过程规范，答案正确.B 等，过程不够规范、完整，答案正确.C 等，过程不够规范或无过程，答案错误.解法的创新性A 等，解法有新意和独到之处，答案正确.B 等，解法思路有创新，答案部完整或错误.C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程.综合评价等级A

32、AA、AAB 综合评价为 A 等；ABB、BBB、AAC 综合评价为B 等；其余情况综合评价为 C 等.拓展性作业（或实践性作业等）（选做其一）作业分析与设计意图：第 1 题渗透建1.“引葭赴岸”是九章算术中的一道题：“今有模思想构造直角三角形，考查勾股定池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与理应用；第 2 题考查勾股定理逆定理岸齐问水深，葭长各几何？”题意是：有一个边应用及直角三角形面积两种表示形式长为 1O 尺的正方形池塘，一棵芦苇 AB 生长在它的或根据勾股定理列出方程解答，让学中央，高出水面 BC 为 l 尺如果把该芦苇沿与水池生学会用数学的语言和数学的思维解边垂直的方向拉向岸边

33、，那么芦苇的顶部 B 恰好碰到岸边的（如图）问水深和芦苇长各多少？决问题.学科素养：数学抽象逻辑推理数学建模 数学运算直观想象数据分析能力维度：了解理解掌握应用题目来源: 选编改编创编2. 如图，是超市购物车的侧面简化示意图，测得支架 AC24cm，CB18cm，两轮中心的距离 AB30 cm，求点 C 到 AB 的距离(结果保留整数)作业评价表评价指标等级备 注ABC答题的准确性A 等，答案正确、过程正确.B 等，答案正确、过程有问题.C 等，答案不正确，有过程不完整；答案不准确，过程错误、或无过程.答题的规范性A 等，过程规范，答案正确.B 等，过程不够规范、完整，答案正确.C 等，过程不

34、够规范或无过程，答案错误.解法的创新性A 等，解法有新意和独到之处，答案正确.B 等，解法思路有创新，答案部完整或错误.C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程.综合评价等级AAA、AAB 综合评价为 A 等；ABB、BBB、AAC 综合评价为B 等；其余情况综合评价为 C 等.六、单元检测作业（一）单元质量检测作业内容一、选择题1在ABC 中，若B+C90，则（）ABCAB+ACBAC2AB2+BC2CAB2AC2+BC2DBC2AB2+AC2下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中不能构成直角三角形的一组是（）A8，10，12B6，8，10C5，12，13D7，24，25 3下列判断

35、中正确的有（）个直角三角形的两边为 3 和 4，则第三边长为 5有一个内角等于其它两个内角和的三角形是直角三角形若三角形的三边满足 b2a2c2，则ABC 是直角三角形若ABC 中，A：B：C8：15：17，则ABC 是直角三角形A1B2 C3D4我县在创建安徽省文明县城，我校积极参与文明创建工作，如图，有一块边长为 24 米的正方形绿地，在绿地旁边 B 处可以进入操场，有些同学抄近路在 A 处的践踏了绿地，小明想在 A 处树立一个标牌“少走米，踏之何忍”，请你计算后帮小明在标牌的“”填上适当的数字是 ( )A3 米 B4 米 C5 米 D6 米如图，在 44 的正方形网格中有两个格点 A、B

36、，连接 AB，在网格中再找一个格点 C，使得ABC 是等腰直角三角形，满足条件的格点 C 的个数是（）A2 B3 C4 D5在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如图图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（ ）A统计思想B分类思想C数形结合思想D函数思想二、填空题如图，每个小正方形的边长都相等，A、B、C 是小正方形的顶点，则ABC 的度数 勾股定理 a2+b2c2 本身就是一个关于 a，b，c 的方程，满足这个方程的正整数解（a，b， c）通常叫做

37、勾股数组毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），分析上面勾股数组可以发现，41（3+1），122（5+1），243（7+1），分析上面规律，第 5 个勾股数组为 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形 ABCD，对角线 AC、BD 交于点 O若 AD2，BC4，则 AB2+CD2 如图，这是某种牛奶的长方体包装盒，长、宽、高分别为 5cm、4cm、12cm，插吸管处的出口到相邻两边的距离都是 1cm，为了设计配套的直吸管，要求插入碰到底面后，外露的吸管长度要在 3cm

38、至 5cm 间（包括 3cm 与 5cm，不计吸管粗细及出口的大小），则设计的吸管总长度 L 的范围是 三、解答题夏天到了，小明的爸爸让安装师傅给小明的奶奶安装了一台空调，要使空调支架的横梁与地面平行，如图，BC 边竖直紧靠房子的外墙壁，AC 边为横梁，已知：AC=40cm、BC=30cm, 当 AB 为多长时横梁 AC 是水平的，请说明理由.如图所示的一块草坪，已知 AD=12m，CD=9m，ADC=90，AB=39 m，BC=36 m，求这块草坪的面积DCBA探索与思考如图，我们知道，以 RtABC 的三边为边长的三个正方形的面积之间有关系：两个小正方形面积之和等于大正方形请你回答下面 的

39、问题：（）如图 2，以 RtABC 的三边为边长的三 个等腰直角三角形的面积之间有什么关系？ 请给出证明（）根据上面两个问题的启示，你还能发现哪些结论？请你写出发现的一个结论，并给出证明（二）单元质量检测作业属性表序号类型对应单元作业目标对应学习水平难度来源完成时间了解理解应用1选择题2易原创30 分钟2选择题5易原创3选择题3、5易改编4选择题3中原创5选择题7较难选编6选择题2、4易选编7填空题7中改编8填空题6中选编9填空题3、4中选编10填空题7较难选编11解答题3、4易原创12解答题7中改编13解答题2、3较难改编七、参考答案部分基础性作业（必做）课时作业参考答案1.1 探索勾股定理

40、（1）参考答案1.请你根据图中的直角三角形叙述勾股定理（分别用文字语言及符号语言叙述）； .cab【答案】直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方. 如图，两直角边长分别为、,斜边长为，则2 + 2 = 2【分析】直接利用勾股定理叙述并写出即可.【解答】解：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方. 如图，两直角边长分别为，,斜边长为，则2 + 2 = 2.【点评】本题主要要求同学们掌握勾股定理文字语言表述及符号语言表示.2.（创编） 如图，小颖从家 A 出发向北偏东 30方向走了 200m 到了小红家 B，小颖与小红一起向南偏东 60的方向走 150m 到达书店 C，则小颖家到书店

41、AC 的距离是 mBCA【答案】250北【分析】根据题意：小颖从家 A 点出发，向北偏东 30方向走了200，到达小红家 B 点， 即 = 200，然后两人一起向南偏东 60的方向走 150m,到达书店 C 点，即 = 15,画出方位角即可.【解答】解：如图所示，根据方位角可知ABC=90，ABC 是直角三角形，2 = 2 + 2 = 2002 + 1502 = 62500 = 250.故答案为：250.【点评】本题主要考查了方位角及勾股定理的运用.3.在 RtABC 中，已知C90，BCa，ACb，ABc.（1）若 a3，b4，求 c；（2）若 a8，c17，求 b；（3）若 b24，c25

42、，求 a；【分析】在直角三角形中，知道两边求第三边，利用勾股定理直接计算即可，注意计算时把勾股定理变形运用.【解答】解：（1）在 中， = 90，a3，b42 = 32 + 42 = 25, = 5;（2）在 中， = 90，a8，c172 = 172 82 = 225, = 15;（3）在 中， = 90，b24，c252 = 252 242 = 49, = 7.【点评】本题主要看出来勾股定理的运用，如果直角三角形的两条直角边长分别是，斜边长为,那么2 + 2 = 2.拓展性作业（或实践性作业等）（选做）2. 在 RtABC 中，90， 于点，20，15，求 AB 的长；求 CD 的长【分析

43、】（1）在 中利用勾股定理可直接求得的长度；（2）在同一个三角形中，选取不同的底以及，分别对应的高以及，通过面积相等联立在一起 = 求得.【解答】解：（1）在 中， = 90，20，15，2 = 2 + 2 = 202 + 152 = 625， = 25；（2）在 中， = 90，20，15， = 1 = 1 20 15 = 150，22 是ABC 的边上的高1 = 15021 25 = 1502 = 12.【点评】本题考查了勾股定理的应用和三角形的面积公式.探索勾股定理（2）参考答案基础性作业（必做）如图，把长、宽、对角线的长分别是 a、b、c 的矩形沿对角线剪开，与一个直角边长为 c 的等

44、腰直角三角形，拼接成右边的图形，用面积割补法能够得到的一个验证勾股定理的等式是 【答案】a2 + b2 = c2.【分析】用三角形的面积和、梯形的面积来表示这个图形的面积，从而列出等式，发现边与边之间的关系【解答】解：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.梯形的面积为S（a + b）（b + a）ab +（2 + b2），利用分割法，梯形的面积为三个直角三角形的面积和： + 2 + + 2，ab + （2 + b2）ab + c2，a2 + b2c2.(3)故答案为：a2 + b2c2.【点评】此题考查的知识点是勾股定理的证明，主要利用了三角形的面积公式：底高2， 和梯形的面积公式：（

45、上底+下底）高2一个直角三角形三边分别为 5，12，x，那么 x2 为 【答案】169 或 119.【分析】根据题意应分情况讨论，分 x 为斜边和直角边两种情况讨论，根据勾股定理求解即可.【解答】解：当 x 为斜边时，2 = 52 + 122 = 169， 当 x 为直角边时，12 大于 5，12 为斜边2 = 122 52 = 119，x2 = 169 或 119.故答案为：169 或 119.【点评】本题考查了勾股定理及分类讨论思想，已知直角三角形的两边，利用勾股定理求第三边时，已知的两边可能都是直角边，也可能是一直角边与斜边，若题中没有明确说明，则应分类讨论如图是一个外轮廓为长方形的机器

46、零件的平面示意图,根据图中尺寸(单位:mm),计算两圆孔中心 A 和 B 的距离为 .【答案】150.【分析】观察图像可得 为直角三角形，, 的长度观察图像可以求得，直接利用勾股定理求出的长度即可.【解答】解：由题意得： = 180 60 = 120() = 150 60 = 90()在 中， = 90，根据勾股定理得: 2 = 2 + 2 = 902 + 1202 = 1502，的距离为150. 故答案为：150.【点评】熟练掌握勾股定理在直角三角形中的应用,已知两直角边，求斜边，直接利用勾股定理就可以解决.关键是从题中抽象出确定直角三角形的两边长度.拓展性作业（或实践性作业等）（选做）1.

47、如图，隔湖有两点 A、B，从与 BA 方向成直角的 BC 方向的点 C 测得 CA=50 米，CB=40 米. 求：（1）A、B 两点的距离；B 点到直线 AC 的距离.【分析】（1）本题考查的是勾股定理的应用，由 BA 方向成直角的 BC 方向的点 C 判定此三角形为直角三角形，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理.（2）本题考查的是点到直线的垂直距离最短，以及灵活运用面积法解题.【解答】解：（1）根据勾股定理即可求得结果.由题意得2 = 2 2 = 502 402 = 302， = 30米，答：A、B 两点的距离为 30 米（2）设点到直线的距离为，作 ,如图，D由面积法： = 1 = 1 ,

48、2230 40 = 50BD=24 米答：B 点到直线 AC 的距离为 24 米.【点评】解答本题的关键是熟练掌握勾股定理及点到直线的距离的概念：即任意直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.过直线外一点作已知直线的垂线，垂线段的长叫这个点到这条直线的距离，垂线段最短.探索与创新 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为 9cm，请你完成下列学习任务求出正方形 A，B，C，D 的面积之和;利用几何画板软件画出如下图所示的图形，并验证上述（1）中你得到的结论【分析】根据正方形的性质和勾股定理的几何意义解答即可【解答】解：（1）由勾股定理，可得正方形，的

49、面积之和为812.（2）利用几何画板基本作图工具分步作图或用迭代法作图均可，然后进行度量验证.【点评】本题考查了勾股定理，有一定难度，注意掌握直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。一定是直角三角形吗参考答案基础性作业（必做）若ABC 的三边 a、b、c 满足（ab）2+|a2+b2c2|0，则ABC 是（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等边三角形【答案】.【分析】根据“几个非负数的和为 0，则这几个数都为 0”得出 a-b=0,a2+b2-c2=0,再由勾股定理的逆定理即可判断ABC 的形状.【解答】解：(a-b)2+|a2+b2-c2|=0且（a-b)20,|a2+b2-

50、c2|0(a-b)2=0 且|a2+b2-c2|=0a-b=0 且 a2+b2=c2ABC 是等腰直角三角形. 故选：C.【点评】本题考查非负数的性质及勾股定理的逆定理. 2.下列各组数为勾股数的是（）A7，12，13B3，4，7 C6，8，10D1.5，2，2.5【答案】C.【分析】考查勾股数的概念.【解答】解：三个数之间存在两个较小数的平方和等于最大数的平方，且这三个数都是正整数，即为勾股数.故选：C.【点评】熟记常见的勾股数有利于快速解题.3. 如图 1，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的， 若 AC12，BC7，将四个直角三角形中边长为 12 的直角

51、边分别向外延长一倍，得到如图 2 所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）A100B144C148D196【答案】C.【分析】感受数学文化，认真分析题意，运用勾股定理解决问题.【解答】解：AC=122AC=24又BC=7由勾股定理可得：“数学风车”的外围较长边为 25又较短边为 12每个扇叶的外围长为：25+12=37“数学风车”的外围周长为：374=148 故选：C.【点评】本题主要要理清题意，熟练运用勾股定理是解题的关键.拓展性作业（或实践性作业等）（选做）1. 如图，正方形网格中的ABC,若小方格边长为 1,请你根据所学的知识(1)求ABC 的面积(1)判断ABC 是什么形状?

52、并说明理由.【分析】（1）根据面积差求值.（2）用勾股定理得出三边的平方，再根据三边的平方关系即可判定ABC 的形状.【解答】解：（1）ABC 的面积=大矩形的面积-三个直角三角形的面积S=48-1 18-1 23-1 64=13ABC222（2）ABC 是直角三角形。理由如下：由勾股定理可得：AB2=32+22=13BC2=62+42=52 AC2=82+12=65AB2+BC2=AC2ABC 是直角三角形.【点评】本题考查了图形面积的和差关系，以及勾股定理和逆定理的应用.2.观察下列表格列举猜想3、4、532=4+55、12、1352=12+137、24、2572=24+2513、b、c1

53、32=b+c请你结合表格及相关知识，求 b、c 的值.【分析】观察表格每一组数据的特点，得出在一组勾股数中，当最小边是奇数时，它的平方等于两个连续的正整数之和.【解答】解：132=b+c 即 169=b+c又b、c 为连续的正整数b=84c=85【点评】探索常见的勾股数的规律，激发学生的学习兴趣，为熟记常见的勾股数做好铺垫.勾股定理的应用参考答案基础性作业（必做）如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离为 0.7 米,顶端距离地面 2.4 米,如果保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面 2 米,那么小巷的宽度为 ( )A.0.7 米 B.1.5

54、 米C.2.2 米 D.2.4 米【答案】.【分析】如图，先根据勾股定理求出梯子 AB 的长，同理可得出 BD 的长，进而可得出结论.【解答】解：在 中， = 90， = 0.7米， = 2.4米，2 = 0.72 + 2.42 = 6.25.在 中, = 90， = 2米，2 + 2 = 2,2 + 22 = 6.25，2 = 2.25， 0， = 1.5米， = + = 0.5 + 1.5 = 2.2米.故选：.【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法；从题目中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意 图，领会数形结合的思

55、想的应用是关键.一个三级台阶如图,每一级的长、宽、高分别为8、3、2,A 和 B 是这个台阶上两个相对的端点,点 A 处有一只蚂蚁,想到点 B 处去吃可口的食物,则蚂蚁沿着台阶面爬行到点 B的最短路程为 dm.【答案】17【分析】先将台阶的平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短，进行解答即可.【解答】解：三阶台阶平面展开图为长方形，长为8，宽为（2 + 3） 3 = 15dm， 则蚂蚁沿着台阶面爬行到点 B 的最短路程是此长方形的对角线的长,设则蚂蚁沿着台阶面爬行到点 B 的最短路程为, 由勾股定理得：2 = 82 + 152 = 172,解得 = 17.故答案为：17【点评】本题主要考查

56、了平面展开，最短路径问题，勾股定理的应用，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答.如图,铁路上 A,B 两站(视为直线上两点)相距 25 km,C,D 为两村庄(视为两个点),DAAB 于点 A,CBAB 于点 B.已知 DA=15 km,CB=10 km,现在要在铁路 AB 上建设一个土特产收购站 E, 使得 C,D 两村到 E 站的距离相等,则 E 站应建在距离 A 站 km 处.【答案】10.【分析】设 AE 为 x,则 BE=25-x,在直角三角形 DAE 和直角三角形 CBE 中，DE2 = AD2+ AE2 ,CE2= BE2+BC2 ,则 AD2 + AE

57、2 = BE2 + BC2，然后列方程求解即可.【解答】解：C、D 两村到 E 站距离相等，CE = DE ,在 和 中，DE2 = AD2+ AE2 , CE2 = BE2+BC2 ,AD2 + AE2 = BE2 + BC2 .设 AE 为 x ,则 BE = 25-x ,则 x2 + 152 = (25 - x)2 + 102 ,整理得,50 x = 500 ,解得 x = 10 ,.E 站应建在距 A 站 10km 处. 故答案为：10 .【点评】本题主要考查勾股定理的应用，依据勾股定理列出关于 x 的方程是解题的关键.4.（创编）如图，在ABC 中，D 是 AB 上一点，CD=12，

58、BC20，AC15，BD16求 AB 的长CABD【分析】利用勾股定理的逆定理判定 是直角三角形，即 = 90，所以ACD 也是直角三角形，利用勾股定理可求出的值，即可得出结论.【解答】解：在 中， = 20， = 12， = 16，2 = 202 = 400，2 + 2 = 122 + 162 = 400,2 = 2 + 2，BCD 是直角三角形，BDC=90，ADC=90，ADC 是直角三角形，2 = 2 2 = 152 122 = 81, = 9， = 9（舍去）， = + = 9 + 16 = 25.【点评】本题主要考查了勾股定理及逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解题的关键.拓

59、展性作业（或实践性作业等）（选做）小汽车在同方向划有两条以上机动车道的城市道路上,在没有限速标志、标线的情况下,最高速度不得超过 70 km/h.如图,省内一辆小汽车自右向左在同方向划有两条以上机动车道的城市道路上直道行驶,某一时刻刚好行驶到路对面车速观察点 A 正前方 30 m 的 C 处,过了 2.5 s 后行驶到 B 处,此时测得小汽车与车速观察点 A 之间的距离为 50 m,这辆小汽车超速了吗?【分析】本题求小汽车是否超速，其实就是求 BC 的距离，直角三角形 ABC 中，有斜边 AB 的长，有直角边 AC 的长，那么 BC 的长就容易求得，根据小汽车用 2.5s 行驶的路程为 BC，

60、那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速了.【解答】解：在 中， = 30, = 50； 据勾股定理可得：2 = 2 2 = 502 302 = 1600， = 40（m）, = 40（舍去），小汽车的速度为 = 40 = 16() = 16 3.6（km/h）= 57.6（km/h）；2.570 / 57.6km/h这辆小汽车没有超速行驶. 答：这辆小汽车没有超速.【点评】本题考查勾股定理的应用，是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件和问题放到直角三角形中，进行解决，要注意题目中单位要统一.2.（创编）为了对学生进行爱国主义教育，我校开展“生在红旗下，长在春风里”感党恩主题教育