精选天津市南开中学2023-2023学年高二(下)期中数学试卷

1、天津市南开中学2023-2023学年高二(下)期中数学试卷天津市南开中学2023-2023学年高二下期中数学试卷一、选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的12023春天津校级期中i是虚数单位，那么复数在复平面内所对应的点在A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限考点：复数代数形式的乘除运算专题：数系的扩充和复数分析：化简复数为a+bi的形式，然后求出复数对应点，判断即可解答：解：复数=，复数对应点的坐标在第四象限应选：D点评：此题考查复数的几何意义，复数代数形式的混合运算，考查计算能力22023春天津校级期中函数fx=2x34x 的单调递减区间是A，B，C，D，考点：利

2、用导数研究函数的单调性专题：计算题；导数的综合应用分析：求出函数的导函数，令导函数小于0，求出x的范围，写成区间的形式即为函数的单调递减区间解答：解：因为fx=6x24=6x+x，令fx0，解得x所以函数fx=2x34x 的单调递减区间，应选：C点评：此题考查根据导函数的符号与函数单调性的关系，求函数的单调区间，属于根底题32023春天津校级期中某班级要从4名男生、3名女生以及3位任课教师中选派一位男生，一位女生，一位任课教师共3人参加社区效劳，那么不同的选派方案的种数为A12B24C36D48考点：排列、组合及简单计数问题专题：排列组合分析：分别从从4名男生、3名女生以及3位任课教师哥各选一

3、个，根据分步计数原理即可解决解答：解：分别从从4名男生、3名女生以及3位任课教师哥各选一个，故有C41C31C31=36种，应选：C点评：此题考查了分步计数原理，属于根底题42023春天津校级期中设函数fx=x33ax2+3bx的图象与直线12x+y1=0 相切于点1，11，那么实数b的值是A1B1C3D3考点：利用导数研究曲线上某点切线方程专题：导数的概念及应用；直线与圆分析：由函数在切点处的导数值为切线斜率，切点在切线上，列方程即可解得解答：解：求导得fx=3x26ax+3b由于fx的图象与直线12x+y1=0相切于点1，11，所以f1=11，f1=12，即：13a+3b=11，36a+3

4、b=12，解得：a=1，b=3应选：D点评：此题考查导数的运用：求切线的斜率，运用导数的几何意义和正确求导是解题的关键52023春天津校级期中点Ax1，fx1，Bx2，fx2是函数fx=2x的图象上任意不同的两点，依据图象可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的上方，因此有结论f成立运用类比的思想方法可得以下结论1fx=sinx，0 x有f成立2fx=lnx有f成立3fx=x3，x0有f成立4fx=tanx，0 x有f成立其中，正确的结论的个数为A1个B2个C3个D4个考点：类比推理专题：综合题；推理和证明分析：根据函数y=2x的图象可知，此函数的图象是向下凹的，即可得到f成立，再根据函

5、数图象的特征，即可类比得到相应的不等式解答：解：函数y=2x上任意两点A，B两点之间函数图象的上方，函数y=2x上的图象是向下凹的，可得不等式f，据此，1y=sinxx0，图象可以看出：y=sinxx0，图象是向上凸的，故可知f成立，故不正确；2fx=lnx是向下凹的，有f成立，故不正确；3fx=x3，x0是向下凹的，有f成立，故正确；4fx=tanx，0 x是向下凹的，有f成立，故正确应选：B点评：此题主要考查类比推理的知识点，还考查了数形结合思想，解答此题的关键是熟练掌握对数函数图象的凸凹性，常用方法是图象法62023春天津校级期中函数fx=ax32x2+4x7在，+上既有极大值，也有极小

6、值，那么实数a的取值范围是AaBaCa且a0Da或a0考点：函数在某点取得极值的条件专题：计算题；导数的概念及应用分析：先对函数进行求导，根据函数fx=ax32x2+4x7在，+上既有极大值又有极小值，可以得到0，进而可解出a的范围解答：解：fx=ax32x2+4x7，fx=3ax24x+4函数fx=ax32x2+4x7在，+上既有极大值，也有极小值，=4243a40且a0a且a0应选：C点评：此题主要考查函数在某点取得极值的条件属根底题72023春天津校级期中设fx=2|x|，那么fxdx=ABCD考点：微积分根本定理专题：导数的概念及应用分析：原积分转化为=2xdx+2xdx，再根据定积分

7、的计算法那么计算即可解答：解：fx=2|x|，那么fxdx=2xdx+2xdx=2x|+2x|=14+161=3+15=，应选：C点评：此题考查了定积分的计算，关键是求出原函数，属于根底题82023春天津校级期中函数y=的最大值为AB1CD考点：函数的最值及其几何意义专题：函数的性质及应用分析：先求函数的定义域，然后两边平方，将式子整理为关于x的一元二次方程，该方程有解，那么判别式非负构造出关于y的不等式，解得y的最值，并求出取得最值时对应的x的值是否在定义域内即可解答：解：由题意得2xx20得0 x2，故定义域为0，2将原式两边平方整理后得：y2+1x2+2y22x+y2=0，该方程有实数解

8、，所以=2y2224y2y2+10解得将代入原方程得x=符合题意故应选：A点评：此题考查了判别式法求函数的值域，要注意取得最值时对应的自变量是否在函数的定义域内取值二、填空题：本大题共8个小题，每题4分，共32分92023春天津校级期中函数fx=xsin2x+5的导数为sin2x+5+2xcos2x+5考点：简单复合函数的导数专题：导数的概念及应用分析：根据导数的运算法那么和复合函数的求导法那么计算即可解答：解：fx=xsin2x+5+xsin2x+5=sin2x+5+2xcos2x+5，故答案为：sin2x+5+2xcos2x+5，点评：此题考查了导数的运算法那么和复合函数的求导法那么，属于

9、根底题102023春天津校级期中fx=x34x+4的极大值点为x=2考点：利用导数研究函数的极值专题：导数的综合应用分析：先求导，再导数等于0，判断函数的单调性，得到函数的极值点解答：解：fx=x34x+4，fx=x24，令fx=0，解得x=2或x=2，当fx0时，解得x2或x2，函数单调递增，当fx0时，解得2x2，函数单调递减，当x=2时，函数有极大值，fx=x34x+4的极大值点为x=2，故答案为：2点评：此题考查了导数和函数的极值的关系，关键是判断函数的单调性，属于根底题112023春玉田县期中2i3是关于x的方程2x2+px+q=0其中p，qR的一个根，那么p+q=38考点：实系数多

10、项式虚根成对定理专题：数系的扩充和复数分析：利用实系数的一元二次方程的虚根成对原理即可得出解答：解：2i3是关于x的方程2x2+px+q=0其中p，qR的一个根，2i3也是关于x的方程2x2+px+q=0其中p，qR的一个根2i3+2i3=，2i32i3=解得p=12，q=26p+q=38故答案为：38点评：此题考查了实系数的一元二次方程的虚根成对原理，属于根底题122023清城区一模函数y=2x33x212x+5在0，3上的最小值是15考点：利用导数求闭区间上函数的最值专题：计算题；导数的综合应用分析：先求导y=6x26x12=6x2x+1，从而判断函数的单调性，再求最小值即可解答：解：y=

11、6x26x12=6x2x+1，那么y=2x33x212x+5在0，2上单调递减，在2，3上单调递增，ymin=2834122+5=15故答案为：15点评：此题考查了导数的应用，属于根底题132023春天津校级期中抛物线y2=2x上的点与A0，6距离最近的点的坐标为2，2；不等式3ax2lnx0对任意x0恒成立，那么实数a的取值范围是，+考点：抛物线的简单性质专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设抛物线上一点Py2，y，运用两点的距离公式，再求导数，求得单调区间，即可得到最小值点；运用参数别离，可得amax，令y=，求出导数，求得单调区间和最大值，即可得到

12、a的范围解答：解：设抛物线上一点Py2，y，令t=|PA|2=y4+y62，由于t=y3+2y12，方程y3+2y12=0的解为y=2，当y2时，t0，当y2时，t0，即有y=2取得极小值，且为最小值那么有所求点P2，2；不等式3ax2lnx0对任意x0恒成立，即为amax，令y=，y=，当xe时，y0，当0 xe时，y0，即有x=e处函数y取得极大值，且为最大值，即有a，解得a故答案为：2，2，+点评：此题考查抛物线的方程和性质，主要考查导数的运用：求最值，运用参数别离和不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，属于中档题142023秋宣城期末函数fx=xxc2在x=2处有极大值，那么c=6考

13、点：函数在某点取得极值的条件专题：导数的概念及应用分析：由函数fx=xxc2在x=2处有极大值，那么必有f2=0，且在x=2的左侧附近fx0，右侧附近fx0，据此即可求出c的值解答：解：fx=xc2+2xxc=3x24cx+c2，且函数fx=xxc2在x=2处有极大值，f2=0，即c28c+12=0，解得c=6或2经检验c=2时，函数fx在x=2处取得极小值，不符合题意，应舍去故c=6故答案为6点评：熟练掌握利用导数研究函数的极值的方法是解题的关键152023春天津校级期中给出以下四个命题：1对于任意的n4，nZ，2nn22对于任意实数a，b，总有2a2+b2a+b23+24平面内的4条直线，

14、最多将平面分割成11局部这四个命题中，真命题的序号为1、2、3、4考点：命题的真假判断与应用专题：综合题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；空间位置关系与距离分析：1n4，且nZ时，2nn2恒成立；2由根本不等式得出a2+b22ab，从而得2a2+b2a+b2成立；3用分析法证明+2成立；4画图表示平面内的4条直线，最多将平面分割成11局部解答：解：对于1，任意的n4，nZ，都有2nn2，命题1正确；对于2，任意实数a，b，总有a2+b22ab，2a2+b2a2+b2+2ab=a+b2，命题2正确；对于3，假设+2，那么3+7+2，即5，2125，命题3成立；对于4，平面内的4条直线，最多

15、将平面分割成11局部，如下图；命题4正确综上，以上正确的命题是1、2、3、4故答案为：1、2、3、4点评：此题考查了指数函数与幂函数的应用问题，也考查了根本不等式的应用问题，考查了不等式的证明与应用问题，考查了空间想象能力的应用问题，是综合性题目162023春天津校级期中在区间0，1上给定曲线y=x2，如下图，0t1，S1，S2是t的函数，那么函数gt=S1+S2的单调递增区间为，1考点：定积分在求面积中的应用专题：导数的综合应用分析：首先利用定积分分别求出S1，S2，得到函数gt，然后分析其单调性解答：解：由题意S1=t2x|=，S2=|=，所以gt=S1+S2=，gt=4t22t=2t2t

16、1，令gt0解得t或t0，又0t1，所以函数gt=S1+S2的单调递增区间为，1；故答案为：，1点评：此题考查了利用定积分求曲边梯形的面积以及利用导数求函数的单调区间；属于经常考查的题型三、解答题：本大题共4小题，共36分解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤172023春天津校级期中求证：对于任意的xR，ex1+xe为自然对数的底数考点：导数在最大值、最小值问题中的应用专题：证明题；导数的综合应用分析：构造函数fx=ex1+x，从而求导fx=ex1，从而判断函数的单调性即最值，即可证明解答：证明：令fx=ex1+x，那么fx=ex1，故fx在，0上是减函数，在0，+上是增函数；故fxf0=1

17、1+0=0；故ex1+x0，即对于任意的xR，ex1+x点评：此题考查了导数的综合应用及函数的性质与不等式的关系应用，属于中档题182023春天津校级期中n为正整数，求证：1n+1+2n+3n1+n+11=n+1n+2n=3考点：数学归纳法专题：证明题；点列、递归数列与数学归纳法分析：根据数学归纳法证明的步骤，首先验证当n=1时成立，进而假设n=k时等式成立，证明n=k+1时，等式也成立；最后作答即可解答：证明：设fn=1n+1+2n+3n1+n+111当n=1时，左边=4，右边=4，等式成立；2设当n=k时等式成立，即1k+1+2k+3k1+k+22+k+11=k+1k+2k+3，那么当n=

18、k+1时，fk+1=fk+1+2+3+k+k+1+k+2=k+1k+2k+3+k+2k+2+1=k+2k+3k+4，即n=k+1时等式也成立；由12可知当nN*时等式都成立点评：此题考查数学归纳法的证明，需要牢记数学归纳法证明的步骤，特别要注意从k到k+1等式的形式的变化、区别192023春天津校级期中用总长29.6米的钢条制作一个长方体容器的框架如果所制容器底面一边的长比另一边的长多1米，那么高为多少时容器的容积最大？最大的容积是多少？考点：利用导数求闭区间上函数的最值；根本不等式在最值问题中的应用专题：导数的综合应用分析：先设容器底面短边长为xm，利用长方体的体积公式求得其容积表达式，再利

19、用导数研究它的单调性，进而得出此函数的最大值即可解答：解：设容器底面短边长为xm，那么另一边长为x+1m，高为：=6.42x由6.42x0和x0，得0 x3.2，设容器的容积为ym3，那么有y=xx+16.42x0 x3.2整理，得y=2x3+4.4x2+6.4x，y=6x2+8.8x+6.4令y=0，有6x2+8.8x+6.4=0，即15x222x16=0，解得x1=2，x2=不合题意，舍去从而，在定义域0，3.2内只有在x=2处使y=0由题意，假设x过小接近0或过大接近3.2时，y值很小接近0，因此，当x=2时y取得最大值，y最大值=28+4.44+6.42=14.4，这时，高为6.422

20、=2.4答：容器的高为2m时容积最大，最大容积为14.4m3点评：此题主要考查应用所学导数的知识、思想和方法解决实际问题的能力，建立函数式、解方程、不等式、最大值等根底知识202023春天津校级期中函数fx=lnx+1+ax22x+1；1求函数曲线在x=0处的切线方程；2函数fx不单调，求参数a的范围；3曲线C：y=fx与1中的切线只有一个公共点，求实数a的取值范围考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程专题：导数的综合应用分析：1根据导数的几何意义求出函数fx在x=0处的导数，求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成一般式即可；2求出函数fx的定义域，化简fx的表达

21、式，将条件转化为：f0=0有解，对讨论a与0的关系，根据导数与函数的单调性，以及二次函数的图象与性质，分别列出不等式组，求出a的取值范围；2将条件转化为：方程ax22x+1+lnx+1=x+1即ax2x+lnx+1=0有且只有一个实数解令hx=ax2x+lnx+1，求出hx，然后讨论a与0、的大小，利用导数研究函数的单调性，利用函数的单调性与特殊的函数值，分别求出满足使方程hx=0有一解x=0的a的取值范围即可解答：解：1由题意得，且f0=1，所以曲线在x=0处的切线斜率k=f0=1，那么曲线在x=0处的切线方程是y1=x，即x+y1=0；2函数fx的定义域是1，+，且=，因为函数fx不单调，所以f0=0有解，即2ax2+2