12.1　复数的概念 学案

1、121复数的概念探究点1复数的概念 下列命题：若aR，则(a1)i是纯虚数；若a，bR，且ab，则aibi；若(x24)(x23x2)i是纯虚数，则实数x2；实数集是复数集的真子集其中正确的是()ABCD【解析】对于复数abi(a，bR)，当a0且b0时，为纯虚数对于，若a1，则(a1)i不是纯虚数，即错误；两个虚数不能比较大小，则错误；对于，若x2，则x240，x23x20，此时(x24)(x23x2)i0不是纯虚数，则错误；显然，正确故选D【答案】D判断与复数有关的命题是否正确的方法(1)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这种类型的题时，可按照“先特殊，后一般，先否

2、定，后肯定”的方法进行解答(2)化代数形式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为abi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实部、虚部提醒解答复数概念题时，一定要紧扣复数的定义，牢记i的性质 对于复数abi(a，bR)，下列说法正确的是()A若a0，则abi为纯虚数B若a(b1)i32i，则a3，b2C若b0，则abi为实数Di的平方等于1解析：选C对于A，当a0时，abi也可能为实数；对于B，若a(b1)i32i，则a3，b1；对于D，i的平方为1.故选C探究点2复数的分类 当实数m为何值时，复数z eq f(m2m6,m)(m22m)i：(1)为实数？(2)为虚数？(3

3、)为纯虚数？【解】(1)当 eq blc(avs4alco1(m22m0，,m0，)即m2时，复数z是实数(2)当m22m0且m0，即m0且m2时，复数z是虚数(3)当 eq blc(avs4alco1(m0，,f(m2m6,m)0，,m22m0，)即m3时，复数z是纯虚数解决复数分类问题的方法与步骤(1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为abi(a，bR)的形式，以确定实部和虚部(2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可(3)下结论：设所给复数为zabi(a，bR)，z为实数b0；z为虚数b0；z

4、为纯虚数a0且b0. 1若复数a2a2(|a1|1)i(aR)不是纯虚数，则()Aa1Ba1且a2Ca1Da2解析：选C复数a2a2(|a1|1)i(aR)不是纯虚数，则有a2a20或|a1|10，解得a1.故选C2复数za2a2(a23a4)i (其中aR). (1)若复数z为实数，求a的值；(2)若复数z为纯虚数，求a的值解：(1)因为复数z为实数，所以a23a40，所以a1或a4.(2)因为复数z为纯虚数，所以 eq blc(avs4alco1(a2a20，,a23a40，)所以a2.探究点3复数相等 (1)已知2xy1(y2)i0，其中i为虚数单位，求实数x，y的值；(2)已知(xy)

5、(y1)i(2x3y)(2y1)i，其中i为虚数单位，求实数x，y的值【解】(1)因为2xy1 eq blc(rc)(avs4alco1(y2)i0，所以 eq blc(avs4alco1(2xy10，,y20，)解得 eq blc(avs4alco1(xf(1,2)，,y2.)(2)由(xy)(y1)i(2x3y)(2y1)i得 eq blc(avs4alco1(xy2x3y，,y12y1，)解得 eq blc(avs4alco1(x4，,y2.)复数相等的充要条件复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据，多用来求解参数解决复数相等问题的步骤是分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部

6、相等、虚部与虚部相等列方程(组)求解注意在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a，b，c，dR，即当a，b，c，dR时，abicdiac且bd.若忽略前提条件，则结论不能成立 1复数z1(2m7)(m22)i，z2(m28)(4m3)i，mR，若z1z2，则m_.解析：因为mR，z1z2，所以(2m7)(m22)i(m28)(4m3)i.由复数相等的充要条件得 eq blc(avs4alco1(2m7m28，,m224m3，)解得m5.答案：52已知A1，2，a23a1(a25a6)i，B1，3，AB3，求实数a的值解：由题意知，a23a1(a25a6)i3(aR)，所以 eq blc(a

7、vs4alco1(a23a13，,a25a60，)即 eq blc(avs4alco1(a4或a1，,a6或a1，)所以a1.1若复数zai2bi(a，bR)是纯虚数，则一定有()Ab0Ba0且b0Ca0或b0Dab0解析：选Bzai2biabi，由纯虚数的定义可得a0且b0.2若复数zm21(m2m2)i为实数，则实数m的值为()A1B2C1D1或2解析：选D因为复数zm21(m2m2)i为实数，所以m2m20，解得m1或m2.3若复数z(m1)(m29)i0，则实数m_解析：因为z0，所以 eq blc(avs4alco1(m290，,m10，)解得m3.答案：34已知 eq f(x2x6

8、,x1)(x22x3)i(xR)，则x_解析：因为xR，所以 eq f(x2x6,x1)R.由复数相等的条件得 eq blc(avs4alco1(f(x2x6,x1)0，,x22x30，,x10，)解得x3.答案：3A基础达标1以3i的虚部为实部，以3ii2的实部为虚部的复数是()A1iB1iC33iD33i解析：选A3i的虚部为1，3ii213i的实部为1，故所求复数为1i.2若复数z(a22a)(a2a2)i(aR)是纯虚数，则()Aa0或a2 Ba0Ca1且a2 Da1或a2解析：选B因为复数z(a22a)(a2a2)i是纯虚数，所以a22a0且a2a20，所以a0.3若xii2y2i，

9、x，yR，则复数xyi()A2iB2iC12iD12i解析：选B由i21，得xii21xi，则由题意得1xiy2i，根据复数相等的充要条件得x2，y1，故xyi2i.4下列四个复数中，实部大于虚部的是()A12iB1iCi22i D2i解析：选C复数12i的实部为1，虚部为2，实部小于虚部；复数1i的实部与虚部相等，都是1；复数i22i12i的实部为1，虚部为2，实部大于虚部；复数2i的实部为0，虚部为2，实部小于虚部故选C5下列命题：若zabi，则仅当a0且b0时，z为纯虚数；若z eq oal(sup1(2),sdo1(1)z eq oal(sup1(2),sdo1(2)0，则z1z20；

10、若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系其中正确命题的个数是()A0B1C2D3解析：选A在中未对zabi中a，b的取值加以限制，故错误；在中将虚数的平方与实数的平方等同，如若z11，z2i，则z eq oal(sup1(2),sdo1(1)z eq oal(sup1(2),sdo1(2)110，但z1z20，故错误；在中忽视0i0，故也是错误的故选A6设i为虚数单位，若2aib3i(a，bR)，则abi_解析：由2aib3i eq blc(rc)(avs4alco1(a，bR)，得a3，b2，则abi32i，故答案为32i.答案：32i7下列命题中，真命题的个数是_实数集与虚

11、数集的交集是0；若x2y20且x，yC，则xy0；若z12i，则复数z的虚部是2.解析：实数集与虚数集的交集是空集，所以是假命题；当x1，yi时，x2y20同样成立，所以是假命题；复数z的虚部是2，所以是假命题故真命题的个数为0.答案：08设zlog2(1m)ilog eq sdo9(f(1,2)(3m)(mR)是虚数，则m的取值范围是_解析：因为z为虚数，所以log eq sdo9(f(1,2)(3m)0，故 eq blc(avs4alco1(1m0，,3m1，,3m0，)解得1m3且m2.答案：(1，2)(2，3)9已知复数z(m25m6)(m22m15)i.(1)若复数z是实数，求实数m

12、的值；(2)若复数z是虚数，求实数m的取值范围；(3)若复数z是纯虚数，求实数m的值；(4)若复数z是0，求实数m的值解：(1)当m22m150时，复数z为实数，所以m5或m3.(2)当m22m150时，复数z为虚数所以m5且m3.所以实数m的取值范围为m|m5且m3(3)当 eq blc(avs4alco1(m22m150，,m25m60)时，复数z是纯虚数，所以m2.(4)当 eq blc(avs4alco1(m22m150，,m25m60)时，复数z是0，所以m3.10已知a是实数，b是纯虚数，且满足aib3bi，求a2b2的值解：设bxi，xR且x0，则aixi3xi2，即(ax)i3

13、x，所以 eq blc(avs4alco1(ax0，,3x0.)解方程组，得 eq blc(avs4alco1(a3，,x3.)那么a2b232(3i)20.B能力提升11“复数4a2(1aa2)i(aR)是纯虚数”是“a2”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选B因为1aa2 eq blc(rc)(avs4alco1(af(1,2) eq sup12(2) eq f(3,4)0，所以若复数4a2(1aa2)i(aR)是纯虚数，则4a20，即a2；当a2时，4a2(1aa2)i7i为纯虚数，故选B12(多选)已知i为虚数单位，下列命题中正确的是()A若a

14、0，则ai是纯虚数B虚部为 eq r(2)的虚数有无数个C实数集在复数集中的补集是虚数集D两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等解析：选BCD对于A，若ai，则aii21，不是纯虚数，故A错误；对于B，虚部为 eq r(2)的虚数可以表示为m eq r(2)i(mR)，有无数个，故B正确；根据复数的分类，判断C正确；两个复数相等一定能推出实部相等，必要性成立，但两个复数的实部相等推不出两个复数相等，充分性不成立，故D正确故选BCD13已知sin icos eq f(r(2),2) eq f(r(2),2)i，0，2，则_解析：因为sin icos eq f(r(2),2) eq f(r(2),2)i，故 eq blc(avs4alco1(sin f(r(2),2)，,cos f(r(2),2)又0，2，故 eq f(3,4).故答案为 eq f(3,4).答案： eq f(3,4)C拓展探究14已知复数zm23m1(m25m6)i0(mR)，则m的值为_解析：因为z0，不符合题意，舍去；当m2时，z10，符合题意故m的值为2.答案：215实数m为