2019-2020年高考数学一轮总复习7.4基本不等式及应用教案理新人教A版

1、2019-2020年高考数学一轮总复习7.4基本不等式及应用教案理新人典例精析题型一利用基本不等式比较大小【例1】设x, y R+,且xy - (x + y) = 1，则()A.x + y2( 2 + 1)B.x + y( 2+ 1)2a + ba2 + b2 2ab .已知a, b R+,U .ab, 丁 ,2, 訐的大小顺序是x + yx + y【解析】 选A.由已知得xy = 1 + (x + y)，又xy 1+ (x + y).解得 x + y2(2 + 1)或 x + y0，所以 x + y2(2+ 1).a + b I2abi 2ab 由 ab有 a + b2 ab,即卩 a+ b

2、，所以.ab+ba2 + b2a+ ba + b a2 + 2ab+ b2 2(a2 + b2) 又亍4丄，所以所以a2 + b2尹.ab2aba+ b.【点拨】本题(2)中的结论由基本不等式简单推导而来，可作为结论使用11入【变式训练1】设a b c,不等式百+ b ac恒成立，则入的取值范围是【解析】(一8, 4).因为 ab c,所以 a b0, b c 0, a c0.1 1 1 1而(a 一c)( ab+b一c)=(a 一b)+(b 一c)( ab+bc)4,所以入 v4.题型二利用基本不等式求最值 TOC o 1-5 h z 51【例2】(1)已知xv-,则函数y = 4x 2+

3、的最大值为；44x 5 已知二次函数 f(x) = ax2 + bx + c的导数f (x) , f (0) 0,对任意实数 x,有f(x) 0, f(1)贝U f，(0)的最小值为()53A.3B.C.2D22【解析】(1)因为xv4,所以5 4x0.1 1所以 y = 4x 2+= (5 4x +) + 30,所以L. Q所以 c-又 f (X) = 2ax + b，所以 f (0) = b0,f(1)a+ b+ ca+ c 4a2 + b2 2 ,4a2b2=1 + A1 +A1+ = 2,f (0) bb4ab4abL. Q当且仅当c= -且4a2= b2时等号成立.4a【点拨】应用基

4、本不等式求最值时，常见的技巧是“拆或凑”，同时注意“一正、二定、 相等”这三个条件，避免出现错误【变式训练2】已知x,a,b,y成等差数列，x,c,d, y成等比数列，求:jb的取值范围.【解析】由等差数列、等比数列的性质得a + b = x+ y,(a + b)2( + y)2 n , x , ycd= xy，所以=2+ +-， TOC o 1-5 h z cdxyy 当x 0时，斗M A4；当yv 0时，+些w 0，cdxcd故+db)2的取值范围是(R，0 U 4 ,+).题型三应用基本不等式解实际应用问题【例3】某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800

5、元,面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元.求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少(所购面粉第二天才能使用)；AlZ若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于 210吨时，其价格可享受9折优惠(即原价的90%),问该厂是否可以利用此优惠条件？请说明理由 TOC o 1-5 h z 【解析】(1)设该厂x天购买一次面粉，其购买量为6x吨，面粉的保管等其他费用为36x+ 6(x 1) + + 6X 2 + 6X 1 = 9x(x + 1).设平均每天所支付的总费用为y1,则1900y1 = -9x(x + 1) + 900 + 6X 1 800 =

6、 + 9x + 10 809 2+ 10 809 = 10 989 ,900当且仅当9x=，即x = 10时，取等号.X即该厂应10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少(2)若厂家利用此优惠条件，则至少应35天购买一次面粉，设该厂利用此优惠条件后，每x(x 35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y2，贝U1900y2= -9x(x + 1) + 900 + 6X 1 800 X 0.9 = 一 + 9x + 9 729(x 35).x因为所以y2= 9 900，当 x35 时，y2 0.900y2 = + 9x + 9 729在35 ,)上是增函数.X所以70 488x= 3

7、5时，y2 取最小值7由一7 v 10 989知，该厂可以利用此优惠条件【点拨】解决这类应用题，首先要依题意构造出相应的数学模型，并通过适当的变形使所得到的模型符合基本不等式的结构，再求最值当等号不能成立时，常利用函数的单调性来处理.【变式训练 3】已知a0, b0,且2a+ b = 1，求S= 2 ab 4a2 b2的最大值.【解析】因为a 0, b 0,2a + b = 1,所以 4a2 + b2= (2a + b)2 4ab= 1 4ab,且 1 = 2a + b2 2ab，即-jabw-, abw所以 S= 2 ab 4a2 b2= 2 ab (1 4ab) = 2 ab + 4ab

8、1w1 1当且仅当a= 4, b= 时，等号成立 总结提高基本不等式的几种常见变形公式：a + ba2 + b2abw(丁 )2 w厂(a, b R)；2abw a+ bJa2(a o, bo).注意不等式成立的条件及等号成立的条件合理拆分或配凑因子是常用的技巧，配、凑的目的在于使几个数的积为定值或和为定值,且等号能够成立多次使用基本不等式求最值时，要特别注意等号能否同时成立2019-2020年高考数学一轮总复习7.5不等式的综合应用教案理新人典例精析题型一含参数的不等式问题【例1】若不等式组的解集中所含整数解只有一2,求k的取值范围.【解析】由x2 x 2 0有x v 1或x 2,由 2x2

9、 + (5 + 2k)x + 5k v 0 有(2x + 5)(x + k) v 0.因为一2是原不等式组的解，所以kv 2.5由(2x + 5)(x + k) v 0 有一v xv k.因为原不等式组的整数解只有一2，所以一2v kw 3,即一3w kv 2,故k的取值范围是3,2).【点拨】涉及到含参数的不等式解集的有关问题时，借助数轴分析，往往直观、简洁【变式训练1】不等式(1)na v 2+ (n对任意n N*恒成立，求实数 a的取值范围.【解析】当11n 为奇数时，一av 2+，即 a (2 + ).nn TOC o 1-5 h z =1小而一(2 +) v 2，则 a- 2;n11

10、133当n为偶数时，a v 2 n，而2 石2 = 2，所以a v-.口3综上可得一 2 |x1 x2|恒成立，求实数 m的取值范围【解析】(1)f (x)=4 + 2ax 2x2(x2 + 2)2因为f(x)在1,1上是增函数，所以当 x 1,1时，f (x) 0恒成立,令 (x) = x2 ax 2，即 x2 ax 2 W0 恒成立.解得一所以 A= a| 1w aw 1.1 由 f(x)= -得 x2 ax 2= 0.设 x1 , x2 是方程 x2 ax 2= 0 的两个根，所以 x1 + x2 = a, x1x2 = 2. 从而 |x1 x2| =(x1 + x2)2 4x1x2 =

11、 a2+ 8,因为 a 1,1，所以；a2 + 8w3,即 |x1 x2|max = 3.不等式对任意a A及t 1,1不等式恒成立，即m2+ tm 20恒成立.设 g(t) = m2+ tm 2= mt + m2- 2，贝U百=nt + m 2 於 0 - g( 1) = nr m 2耳0 -解得m2或mW 2.故m的取值范围是(一a, 2 U 2 ,+).【点拨】对于在给定区间上恒成立的不等式问题，通常可以转化为给定区间上的函数最大值(最小值)大于零(或小于零)，亦可分离变量或者利用数形结合的方法，分离变量和数形结合更加简单明了 .ab【变式训练2】设a, b0,且ab= 1,不等式 豳十

12、+ 扁w入恒成立，则 入的取值范围【解析】题型三ab221 , +m).因为 ab= 1,所以 | + . _ , . =- 1a2 + 1 b2 + 1a+ b 2 ab不等式在实际问题中的应用【例3】某森林出现火灾，火势正以100 m2/分钟的速度顺风蔓延，消防站接到报警立即派消防队员前去，在火灾发生后5分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人灭火50 m2/分钟，所消耗的灭火材料，劳务津贴等费用为人均125元/分钟，另附加每次救火所耗损的车辆，器械和装备等费用人均 100元，而烧毁森林的损失费 60元/m2，问应该派多少 消防队员前去救火才能使总损失最少？【解析】设派x名消防队员前去

13、救火，用 t分钟将火扑灭，总损失为 y，则5X1001050 x - 100 = x2， y=灭火劳务津贴+车辆、器械装备费+森林损失费=125xt + 100 x + 60(500 + 100t)1060 000=125xX + 100 x + 30 000 +x 2x 2=100(x 2) +62 500 x 2卜 31 4502100(x 2) l00 + 31 450 = 36 450 ,当且仅当100(x 2)=62 500 x 2，即x= 27时，y有最小值36 450，故应派27人前去救火才能使总损失最少，最少损失 36 450元.【点拨】本题需要把实际问题抽象为数学问题，建立不

14、等式模型，利用基本不等式求最值， 基本不等式是历年高考考查的重要内容.【变式训练3】某学校拟建一块周长为 400 m的操场，如图所示，操场的两头是半圆形，中 间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽？【解析】设中间矩形区域的长，宽分别为x m , y m，中间的矩形区域面积为 S,n y则半圆的周长为n ，n y因为操场周长为 400,所以2x+ 2X扌=400,20 0007t即 2x + n y= 400(0 v xv 200,0 v yv 400),1所以 S= xy = (2x)2 nx =100,200y 二由解得 n所以当且仅当x =100,200 y =n时等号成立,即把矩形的长和宽分别设计为100 m和型口时，矩形区域面积最大.n总结提高不