固体物理(第3课)晶格分类

1、1.7 晶体的宏观对称性与晶格结构的分类系统的一些要素等价。对称性使系统的描述简化。晶体的对称操作：使晶体与自身重合的操作，操作之后，点阵不变 。1.7.1 晶体的对称性与对称操作 平移，旋转，镜反射， 中心反演。1.7.2 对称操作的变换关系(1)旋转/转动：如果晶体绕固定轴u旋转角度=2/n后，能与自身重合，则此对称操作称为旋转，轴u称为n度旋转对称轴（n度轴），记作n。n=1,2,3,4,6n度旋转=2/1=2/4=2/6=2/3=2/2(2)中心反演： 如果晶体中存在一个固定点O，当以O为坐标原点，并将晶体中任一点（x，y，z）变为（x，-y，-z）时，晶体能与自身重合，则该对称操作称

2、为中心反演，点O为反演中心，记作i。 如果晶体中存在一个平面，当以它作为xoy面，并将晶体中任一点（x，y，z）变为（x，y，-z）时，晶体能与自身重合，则该对称操作称为反映，该平面称为晶体的对称面或镜面，记作m。(3)反映（镜面反演，镜象）： (4)像转：如果晶体绕某固定轴u旋转2/n后，再通过某点O作中心反演，能与自身重合，则此对称操作称为像转，轴u称为n度像转对称轴，记作 。 =1,2,3,4,6如果晶体中存在i和n，则晶体中必有 ；但晶体中如果存在 ，则未必有n和i。 (示意图) 不是独立的对称操作：只有 是独立的。 (示意图)正四面体示意图返回abab并非4度旋转ab并非反演baab

3、中心对称旋转ab转动2/4，ab正四面体示意图返回像转示意图返回平移示意图返回返回点群和空间群(1)点群：一个晶体所包含的全部对称操作的集合。(2)最简单的点群是Cn群，即旋转，利用二维晶格可证明。(3)若只考虑宏观对称性，不考虑平移，晶体中有8种独立的对称元素：1，2，3，4，6，i，m ， 组合起来，得到32种宏观对称类型，即32种点群。*(4)空间群：点群的延伸，32种点群再加另外两种操作，导出230种微观对称类型。晶系与布喇菲原胞结晶学中的布喇菲原胞(晶胞)一般包括几个最小重复单元，格点不仅在顶角上，而且可以在体心或面心上。晶轴：晶胞的基矢沿对称轴或在对称面的法向上，构成了晶体的坐标系

4、，基矢即是晶轴。晶系：把晶胞基矢 满足同一类要求(边长a，b，c和夹角，)的一种或数种布喇菲格子称为一个晶系。七大晶系14种布喇菲格子（14种布喇菲原胞，14种晶胞）* (示意图)晶系示意图返回级别晶系布喇菲原胞数对称特征坐标系的性质点群符号低级三斜简单三斜没有对称轴或只有一个反演中心abc1，单斜简单单斜，底心单斜一个2度轴或1个对称面abc=90902，m，2/m正交简单正交，底心正交，体心正交，面心正交。有3个互相垂直的2度轴abc=90222，mm2，mmm中级三角简单三方/三角一个3度轴a=b=c=90四方简单四方，体心四方一个4度轴abc=90六角简单六方/六角一个6度轴a=bc=

5、 90=120高级立方简单立方，体心立方，面心立方四个3度轴a=b=c=90abc三斜晶系和单斜晶系单斜晶系简单单斜 底心单斜abc =90 90一个2度轴或1个对称面，2，m，2/m三斜晶系abc简单三斜点群：11度旋转2/1又名石青，化学成分Cu3CO32(OH)2，单斜晶系斜方柱晶类。 （均为复式布拉菲晶格）正交晶系简单正交abc =90底心正交 面心正交体心正交有3个互相垂直的2度轴三角晶系四方晶系简单四方a=bc =90体心四方一个4度轴一个3度轴a=b=c=90aaa简单三方六角晶系a a c 简单六方 一个6度轴a=bc= 90=120立方晶系简单立方a=b=c =90体心立方

6、面心立方四个3度轴和三个4度轴(100)(010)(001)完全对称，可用100表示，称为等效晶面布喇菲原胞示意图返回作业：1 如果晶体中存在i和n，则晶体中必有 ；但晶体中如果存在 ，则未必有n和i。上述说法是否正确，请举例说明。2 总结像转与中心反演、旋转、镜面对称的关系。1.9 倒格子(倒易点阵reciprocal)*S0ABOPS1.9 1 倒格子(倒易点阵)*的定义：1 正格矢与倒矢点P： Rl=l1a1+l2a2+l3a3，Rl是布喇菲点阵中由原胞基矢a1，a2，a3构成的矢量，S0和S是入射线和衍射线的单位矢量，经过O点和P点衍射后光程差为：原子可向空间任何方向散射X光线，只有一

7、些固定方向可形成衍射。当X光为单色光，衍射加强的条件为： Rl(S-S0)=u 令 ，代入上式，衍射加强条件变为： Rl （k -k0） = 2 u根据正点阵与倒易点阵的关系，(k-k0)必是倒易空间中的位置矢量，令：有 Rl Gh = 2 u ( Rl和Gh 不一定平行)可见， Rl和 Gh的量纲是互为倒逆的， Rl是格点P的位置矢量，称为正矢量， kh称为倒易矢量。若令Gh= h1b1+h2b2+h3b3，则称由b1，b2，b3为基矢构成的点阵为倒易点阵.(b1，b2，b3)如何确定？1.9.2 倒格子空间(倒易点阵)*1.倒矢与正格矢的关系： 2. 倒格子点阵与正格子点阵的关系为什么在倒

8、易关系中存在2 因子，这是因为如此定义的互为倒易的两个矢量G与T之间满足下面简洁的恒等式： exp(iG T) = 1(5)倒易点阵与正点阵互为倒易点阵(6)倒易点阵与正点阵有相同的宏观对称性倒格矢和正点阵晶面族示意图返回3.倒易点阵与傅里叶变换(示意图)总结：晶体点阵倒易点阵实际晶体结构虚构显微图像衍射图像微观粒子一族晶面线度量纲：L线度量纲：L1位置空间坐标空间倒易空间傅里叶空间K空间1.9.3 常见晶格的布里渊区(1) 一维晶格(2) 二维晶格离原点最近的倒格点有个：b1，-b1，b2，-b2b1-b1b2b2离原点次近的倒格点有个：b1b2 ，b1-b2 ，b2，-b2b1b2b1-b

9、2-b1b2b1-b2离原点再远的倒格点有个： b1，-b1，b2，-b2b1b1bb二维正方晶格的布里渊区二维长方晶格的布里渊区二维六方晶格的十个布里渊区 面心立方晶格的第一布里渊区(3) 三维晶格 a. 简立方晶格示意图 b. 体心立方晶格 示意图体心立方晶格的倒易晶格是面心立方，其晶胞常数为 。c. 面心立方晶格 示意图面心立方晶格的倒易晶格是体心立方，其晶胞常数为 。3. 总结布里渊区是由倒格矢中垂面围成的封闭区，其形状与晶体结构有关；每个布里渊区的体积都等于倒易原胞的体积，其中包含N个k点，可容纳2N个电子；简约布里渊区是未被分割的整块，它即是倒易点阵的维格纳赛茨原胞；布里渊区边界上

10、的k点对应的电子能量是不连续的，其能隙为2|Vn|。布里渊区示意图1返回离原点最近的倒格点有6个：b1，b2，bb1-b1b2b2bb布里渊区示意图2-1体心立方的倒易点阵是面心立方倒易离原点最近的有个倒格点 第一布里渊区原点和12个近邻格点连线的垂直平分面围成的正十二面体体心立方的倒格子是面心立方，离原点最近的有十二个倒格点，在直角坐标系中它们的坐标为：相应的倒格矢长度这十二个倒格矢的中垂面围成菱形十二面体：其体积正好等于倒格子原胞的体积大小布里渊区示意图2-2返回布里渊区示意图3-1体心立方的倒易点阵是面心立方倒易离原点最近的有个倒格点个次邻格点 第一布里渊区 八个面是正六边形 六个面是正

11、四边形布里渊区示意图3-2返回 第一布里渊区为十四面体 布里渊区中某些对称点和若干对称轴上的点能量较为容易计算，这些点的标记符号布里渊区原点六方面的中心四方面的中心 计为 轴 方向计为 轴 方向 将零级近似下的波矢k移入简约布里渊区，能量变化的图像，图中定性画出了沿轴的结果图5 闪锌矿结构的本征GaN材料的能带结构图，导带最小和价带最大。作 业1 总结七大晶系的对称特征及坐标轴的性质。2 试证简单立方晶格的倒易点阵仍为简单立方晶格。3 试证明体心立方和面心立方互为倒易点阵。5 分别计算体心立方和面心立方第一布里渊区的体积（假设其晶胞晶格常数为a）。1.10 晶体结构的实验测定与衍射X射线衍射劳

12、厄提出晶体作为X光衍射光栅衍射理论:当辐射波长与晶格中原子间距相比数量级相等或更小时，可发生显著衍射。晶体中原子数量级为10-10m，辐射波长应小于10-10m。X射线：由高压电加速后的电子高速撞击金属靶材后产生X射线。铝、镁、钨、钼 1885年伦琴发现了穿透性很强的射线称射线劳 厄 斑 点铅板单晶片 照像底片 单晶片的衍射1912年劳厄实验X 射线冷却水 X射线的衍射K劳厄斑点晶体可看作三维立体光栅掌握晶体点阵结构根据劳厄斑点的分布可算出晶面间距 晶体底片铅屏X 射线管劳厄斑德国物理学家劳厄M.von.Laue (1879-1960)布 拉 格 反 射入射波散射波 1913年英国布喇格父子提

13、出了一种解释射线衍射的方法，给出了定量结果，并于1915年荣获物理学诺贝尔奖掠射角晶格常数 相邻两个晶面反射的两X射线干涉加强的条件 布喇格公式布喇格父子(W.H.Bragg, W.L.Bragg) 用途 测量射线的波长研究X射线谱，进而研究原子结构；研究晶体的结构，进一步研究材料性能.例如对大分子 DNA 晶体的成千张的X射线衍射照片的分析，显示出DNA分子的双螺旋结构.DNA 晶体的X衍射照片DNA 分子的双螺旋结构 布拉格公式1.10.1 X射线衍射的基本原理晶体对辐射的散射可看作是一系列晶面对辐射的散射。单色辐射源，且和观测点距晶体的距离都大于晶体的线度，入射光和散射光都看作是平行光。散射前后波长不变。散射辐射间相互加强的条件为： n=1,2,3.称为衍射级数 布拉格定律S0ABOPS点P： Rl=l1a1+l2a2+l3a3，Rl是布喇菲点阵中由原胞基矢a1，a2，a3构成的矢量，S0和S是入射线和衍射线的单位矢量，经过O点和P点衍射后光程差为：布拉格定律虽然简单,但物理模型太简单。在实际情况下，衍射条件不仅和面间距有关，还和晶面上原子的分布及种类有关。需要考虑更复杂的情况，如下图：原子可向空间任何方向散射X光线，只有一些固定方向可形成衍射。劳厄方程 衍射加强的条件为：Rl(S-S0)=u 劳厄方程N=1，入射波矢为k0的情况1.10.2 厄瓦尔反