《材料力学》课件 13能量方法

1、材 料 力 学Monday, August 15, 2022第十三章能 量 方 法1第十三章 能量方法本章内容:1 概述2 杆件变形能的计算3 变形能的普遍表达式 4 互等定理5卡氏定理6虚功原理7单位载荷法 莫尔积分8计算莫尔积分的图乘法213. 1 概述 能量原理与功和能有关的定理，统称为能量原理。运用能量原理求解问题的方法称为能量法。 功能原理外力的功等于变形能:13. 2 杆件变形能的计算1 轴向拉伸或压缩FlDl313. 2 杆件变形能的计算1 轴向拉伸或压缩 轴力 是x的函数时 应变能密度FlDl4 应变能密度2 纯剪切 应变能密度3 扭转53 扭转 扭矩T是x的函数时4 弯曲 纯

2、弯曲时转角64 弯曲 纯弯曲时转角纯弯曲时各截面的弯矩相等，m为常数。变形能7变形能 横力弯曲时对细长梁，剪力引起的变形能与弯矩引起的变形能相比很小，通常可忽略不计。横力弯曲时，弯矩是x的函数。85 用广义力和广义位移表示变形能可将统一写为9F-广义力（generalized force)包括力和力偶(include force and couple)-广义位移(generalized displacement)包括线位移和角位移(include normal displacement &angular displacement) BCF3BCF2AF110例1 试求图示悬臂梁的变形能，并利用

3、功能原理求自由端B的挠度.ABFlx解：由U=W 得11例2 试求图示四分之一圆曲杆的变形能，并利用功能原理求B截面的垂直位移. 已知EI 为常量.解：由 U=W 得ABFOR1213. 3 变形能的普遍表达式1 变形能的普遍表达式 比例加载比例系数 时广义力的大小为: 线弹性体 无刚体位移 广义力 P1 , , Pn 力作用点沿力的方向的广义位移 1 , , n 13 时广义力的大小为:当 有d 时, 位移的增量为:则功的增量为:力的总功为:14力的总功为:由功能原理，变形能为: 变形能的普遍表达式注意： i 是 P1 , P2 , , Pn 共同作用下的位移。取一微段为研究对象2 组合变形

4、时的变形能152 组合变形时的变形能取一微段为研究对象由变形能的普遍表达式，有：积分可得杆的总变形能16积分可得杆的总变形能注：1) 上式中忽略了剪切变形能；2) 若为非圆截面杆，则扭转变形能中的Ip 应改为It ；3) 不同内力分量引起的变形能可以叠加，同一内力分量的变形能不能叠加。17例 3 (书例13.1)已知: 圆截面半圆曲杆，P , R, EI, GIp 。求：A点的垂直位移。解：1 求内力 截面mn, 取左段TM2 变形能181 求内力 截面mn, 取左段2 变形能TM193 外力的功由U=W，得:20作业第4版13.1, 13.3(b),(c)21两力作用点沿力作用方向的位移分别

5、为F1 ， F21、设在线弹性结构上作用力1 ， 2一、功的互等定理（ Reciprocal work theorem ）13-4 互等定理（Reciprocal Theorems )12F1F222F1F212F1 和 F2 完成的功应为2、在结构上再作用有力F3 ，F4沿 F3和 F4方向的相应位移为3 , 4F334F4F3 和 F4 完成的功应为233、在 F3和 F4的作用下，F1 和 F2 的作用点又有位移F1 和 F2 在 1和 2上完成的功应为F1F212F334F4，因此，按先加 F1，F2 后F3，F4 的次序加力，结构的应变能为2d1d24F1F21234F4F3若按先加

6、 F3 ，F4 后加 F1 ， F2 的次序加力，又可求得结构的应变能为由于应变能只决定于力和位移的最终值，与加力的次序无关,故25 功的互等定理（ Reciprocal work theorem ）： 第一组力在第二组力引起的位移上所作的功， 等于第二组力在第一组力引起的位移上所作的功.262 位移互等定理当仅有两个力P1和P2作用时,P1P2记 P1作用时，在P2作用点产生的沿P2作用线方向的位移为d 21, 21272 位移互等定理当仅有两个力P1和P2作用时,P1P2记 P1作用时，在P2作用点产生的沿P2作用线方向的位移为d 21, 21 12而P2作用时，在P1作用点产生的沿P1作

7、用线方向的位移为d 12 , 则由功的互等定理，有:当P1 = P2 时，则有28P1P2 21 12则由功的互等定理，有:当P1 = P2 时，则有即: 当P1 = P2 时，P1作用点沿P1方向由于P2的作用而引起的位移，等于P2作用点沿P2方向由于P1的作用而引起的位移。 位移互等定理说明：1) 位移应理解为广义位移；2) 功的互等定理和位移互等定理只对线弹性材料和结构成立。29例 4 (书例13.4)已知: 静不定梁，P, a, l 。求：用功的互等定理求 B处反力。解： 取静定基 相当系统如图RB 取第一组力: P, RB 假想作用第二组力为: X=1。 设第一组力在 X作用点B引起

8、的位移为 B 。B30 取第一组力: P, RB 假想作用第二组力为: X=1。 设第一组力在 X作用点B引起的位移为 B 。RBB 由变形协调条件： 第二组力X在P, RB作用点引起的位移为1 , 2。由上册书p.224 表6.1中的2，可得:31RBB由上册书p.224 表6.1中的2，可得: 第一组力在第二组力引起的位移上的功为: 第二组力在第一组力引起的位移上的功为:32 第一组力在第二组力引起的位移上的功为: 第二组力在第一组力引起的位移上的功为: 由功的互等定理，二者应相等:3313. 5 卡氏定理(了解)1 卡氏第一定理设di有一增量Ddi ,其它各dj不变，则 Pi作的功为Pi

9、 Ddi ，其它各Pj不作功，则:两边取极限，得:注：卡氏第一定理适用于非线性材料及结构，是一个普遍定理，有较重要的理论价值。 卡氏第一定理342 卡氏第二定理两边取极限，得:注：卡氏第一定理适用于非线性材料及结构，是一个普遍定理，有较重要的理论价值。 卡氏第一定理设Pi有一增量DPi,其它各Pj不变，则Pi的增量DPi所作的功为DPi Ddi /2，其它各Pi所作的功为Pi Ddi 。但由于di 一般是未知的，使用不方便。35忽略高阶微量DPi Ddi /2，有:2 卡氏第二定理设Pi有一增量DPi,其它各Pj不变，则Pi的增量DPi所作的功为DPi Ddi /2，其它各Pi所作的功为Pi

10、Ddi 。 为应用功的互等定理，取两组力36忽略高阶微量DPi Ddi /2，有: 为应用功的互等定理，取两组力将P1, P2, , Pn看作第一组力, DPi 看作第二组力。第一组力在第二组由功的互等定理, 有力DPi 作用点引起的位移为di ，第二组力在第一组力作用点引起的位移为Dd1，Dd2 , , Ddn。37将P1, P2, , Pn看作第一组力, DPi 看作第二组力,第一组力在第二组由功的互等定理, 有力DPi 作用点引起的位移为di ，第二组力在第一组力作用点引起的位移为Dd1，Dd2 , , Ddn。38由功的互等定理, 有两边取极限，得:注：推导卡氏第二定理时，用了功的互等

11、定理，所以它只适用于线弹性材料及结构。 卡氏第二定理3 几种常见情况 横力弯曲393 几种常见情况 横力弯曲横力弯曲的变形能代入卡氏第二定理交换求导和积分的次序，有 桁架、拉、压杆设有n根杆，则变形能为:40代入卡氏第二定理 桁架、拉、压杆设有n根杆，则变形能为: 扭转代入卡氏第二定理扭转变形能为:41 组合变形代入卡氏第二定理扭转变形能为:若Pi力同时引起轴力、扭矩和弯矩，则42 用卡氏定理解题的一般步骤1) 求约束反力；2) 分段列出内力方程（轴力、扭矩、弯矩方程 ）；3) 对广义力求偏导数；4) 将内力方程和偏导数代入卡氏定理，积分。43例 1 (书例13.5)已知: EI, m, P,

12、 a, l 。求：fC , A。解： 求反力AB段 分段列弯矩方程RBRABC段44AB段 分段列弯矩方程BC段RBRA 求偏导数45 求偏导数 由卡氏定理RBRA 将弯矩方程和偏导数代入卡氏定理46 由卡氏定理 将弯矩方程和偏导数代入卡氏定理47 将弯矩方程和偏导数代入卡氏定理 求 C48 求 CRBRA49 问题RBRA本例中求 fC , A。 题中正好C点作用有P，A点作用有m。若没有P力作用或没有力偶m作用，则怎样求出 fC 或A ？50aa2aABCDm例 2 (书例13.6)已知: EI为常数, m 。求： C 及D点的水平位移x，轴力及剪力不计。解：1 为求 C ，加 m2 分段

13、列弯矩方程并求对m2的偏导数m2 求反力RAyRD 将弯矩方程和偏导数代入卡氏定理积分求出51 将弯矩方程和偏导数代入卡氏定理积分求出实际上并无m2 ，所以令m2 =0，得：通常在积分前即令m2 =0，可使积分简单。aa2aABCDmm2RAyRD52aa2aABCDmPaRAx2 为求 x ，加 PaRAyRD 分段列弯矩方程并求对Pa的偏导数 求反力 在弯矩方程和偏导数中，令 Pa = 0积分求出 将弯矩方程和偏导数代入卡氏定理5313. 6 虚功原理微小位移力在虚位移上所作的功。分为: 弹性体的虚位移：满足约束条件和连续条件的微小位移。 小变形2 虚功1 虚位移外力的虚功;内力的虚功 虚

14、变形能3 虚功原理外力的虚功等于内力的虚功。即:543 虚功原理外力的虚功等于内力的虚功。即:4 外力虚功表达式 广义力 P1 , , Pn; q(x) 力作用点沿力的 外力的虚功方向的广义虚位移55 外力的虚功5 内力虚功表达式 取微段考虑 内力在刚体虚位移上的虚功为零 内力在虚变形上作虚功 不同内力的虚功可以叠加微段上内力的虚功为56 不同内力的虚功可以叠加积分可得物体上内力的总虚功为微段上内力的虚功为(忽略高阶微量后)57积分可得物体上内力的总虚功为6 虚功方程将外力的虚功和内力的虚功代入虚功原理，得: 虚功原理可用于线弹性材料，也可用于非线性弹性材料。58例 (书例13.9)已知: P

15、, 1号杆长 l , ,三杆材料均为相同的线弹性材料，截面积相同，E，A已知。求：三杆的内力。解：设平衡时，A点的真实位移为v。 各杆的伸长 由胡克定律n59 由胡克定律n v 设A点有一虚位移 外力虚功 内力虚功因为杆中轴力为常量60n 内力虚功因为杆中轴力为常量 v而61 代入虚功方程 代入轴力表达式6213. 7 单位载荷法 莫尔积分为求出结构上某一点沿某方向的位移 ，1 单位载荷法取结构在外载荷作用下产生加一单位载荷。由虚位移原理的真实位移作为虚位移，63取结构在外载荷作用下产生的真实位移作为虚位移， 由虚位移原理为单位载荷引起的内力;其中，为外载荷引起的真实位移. 几种简化形式 以弯

16、曲为主的杆 拉压杆 轴力为常量时64 几种简化形式 以弯曲为主的杆 拉压杆 轴力为常量时 n根杆(桁架) 扭转 注：1) 单位载荷法可用于非线性弹性材料;65 扭转 注：1) 单位载荷法可用于非线性弹性材料;2) 若求出的为正，则表示与单位力的方向相同。3) 单位力和位移均为广义的。2 莫尔积分对于线弹性材料，单位载荷法中的位移为662 莫尔积分对于线弹性材料，单位载荷法中的位移为则:67则:这些公式统称为莫尔定理，积分称为莫尔积分。68这些公式统称为莫尔定理，积分称为莫尔积分。或:式中：加一杠的内力是单位力引起的内力；未加杠的内力是原外力引起的内力。显然，莫尔积分仅适用于线弹性结构。69 求

17、相对位移加一对方向相反的单位力。70例 3 (书例13.11)已知: P, l , , 截面积A,求：B点垂直位移。解：单位载荷法可求解材料非线性问题。 对杆系 求杆的伸长应力应变关系为其中，C为常数，s, e 皆取绝对值 。N1N2 取B点，受力如图71 对杆系 求杆的伸长N1N2 由平衡方程 应力 取B点，受力如图(压力)(压应力)72 应力 应变 杆的伸长73 杆的伸长 单位载荷引起的轴力1 取B点，受力如图 由平衡方程74例 4 (书例13.12)已知: P, l , a , E, I1, I2, 不计轴力和剪力的影响。求：A点垂直位移 y及B截面的转角 B 。解：1 实际载荷的弯矩

18、AB段在A点加 y方向单位力laCEI2BAEI1x1x2P BC段2 求 y CBAx1x21751 实际载荷的弯矩 AB段在A点加 y方向单位力 BC段2 求 y CBAx1x21 单位载荷的弯矩AB段BC段 代入莫尔积分公式76 代入莫尔积分公式 AB段 BC段77在B点加单位力偶矩2 求 B CBAx1x21 单位载荷的弯矩AB段BC段 代入莫尔积分公式78 代入莫尔积分公式 AB段 BC段CBAx1x21 这里的负号表示转向为顺时针的79例 5 (书例13.13)已知: 平面桁架如图，P, a , 各杆EA相等。求：AC两点间的相对位移 AC 。解：1 实际载荷的轴力 用节点法可求出

19、各杆的轴力。在A、C两点沿AC方向加一对方向相反的单位力。2 加单位力 PAFDCBE154326798aaa80在A、C两点沿AC方向加一对方向相反的单位力。2 加单位力1AFDCBE154326798aaa1 用节点法可求出在这一对单位力作用下，各杆的轴力。3 代入莫尔积分公式81例 6 (书例13.14)已知: 活塞环如图，P, R , EI。求：切口处的张开量。解： 对曲杆，可近似用对直杆的公式。 只考虑弯矩的影响1 实际载荷的弯矩由于对称性，只需列出半圆部分的弯矩。 处截面:PPAB821 实际载荷的弯矩由于对称性，只需列出半圆部分的弯矩。 处截面:在A、B两点沿AB方向加一对方向相

20、反的单位力。2 加单位力 PPABAB11 单位载荷的弯矩 处截面:831 实际载荷的弯矩PPAB 单位载荷的弯矩3 代入莫尔积分公式2 加单位力 8413. 8 计算莫尔积分的图乘法杆件为等截面直杆。 图乘法的条件莫尔积分对等截面直杆，EI, GIp 或 EA 为常量。所以需要计算积分成为 用图乘法计算莫尔积分85所以需要计算积分 用图乘法计算莫尔积分 通常是x的线性函数 设直线与x轴的夹角为则有：上述积分可表示为：M(x)弯矩图的面积对y轴的静矩。86M(x)弯矩图的面积对y轴的静矩。记M(x)弯矩图的面积为。根据静矩的计算公式，有:87式中，为图中与图的形心位置C所对应处的纵坐标。 莫尔积分的图乘公式为88 莫尔积分的图乘公式为 此式对轴力和扭矩也适用即：莫尔积分的计算，可用载荷的弯矩图的面积与该图形形心位置所对应之处的单位载荷(直线)的弯矩图的幅度之积代替。 几种常用图形的面积和形心位置89 几种常用图形的面积和形心位置(书p.57)