行列式展开定理和法则

1、关于行列式展开定理与法则第一张，PPT共三十二页，创作于2022年6月 一、余子式与代数余子式 定义1 在n阶行列式D=|aij|中去掉元素a i j 所在的第i行和第j列后,余下的n-1阶行列式，称为D中元素aij 的余子式，记作Mij.令Aij(1)ijMij，Aij称为元素aij的代数余子式.a11a21a31a41 a12a22a32a42 a13a23a33a43 a14a24a34a44 再如，求4阶行列式中a13的代数余子式a21a31a41 a22a32a42 a24a34a44 M13 A13(-1)1+3M13=M13下页第二张，PPT共三十二页，创作于2022年6月观察三

2、阶行列式下页第三张，PPT共三十二页，创作于2022年6月二、展开定理 定理3 n阶行列式D=|aij|，若其第i行(列)的元素除aij外都为0，则行列式等于aij与其对应的代数余子式的乘积.即Daij Aij第四张，PPT共三十二页，创作于2022年6月 定理3 n阶行列式D=|aij|，若其第i行(列)的元素除aij外都为0，则行列式等于aij与其对应的代数余子式的乘积.即DaijAij二、展开定理第五张，PPT共三十二页，创作于2022年6月 定理3 n阶行列式D=|aij|，若其第i行(列)的元素除aij外都为0，则行列式等于aij与其对应的代数余子式的乘积.即DaijAij二、展开定

3、理第六张，PPT共三十二页，创作于2022年6月 定理4 n阶行列式D=|aij|等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积的和.即Dai1Ai1ai2Ai2 ainAin (i=1, 2, , n)，Da1jA1ja2jA2j anj Anj (j=1, 2, , n).下页二、展开定理第七张，PPT共三十二页，创作于2022年6月 定理4 n阶行列式D=|aij|等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积的和.即Dai1Ai1ai2Ai2 ainAin (i=1, 2, , n)，Da1jA1ja2jA2j anj Anj (j=1, 2, , n).下页二、展开定

4、理第八张，PPT共三十二页，创作于2022年6月 定理5 n阶行列式D=|aij|的某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积的和等于零.即ai1Aj1 ai2Aj2 ainAjn 0 (i j)，a1iA1ja2iA2j ani Anj 0 (i j).下页二、展开定理？第九张，PPT共三十二页，创作于2022年6月 例1分别按第一行与第二列展开行列式11-2013-231D =解：按第一行展开13311-2311-213a11A11a12A12a13A13 D=1(-1)1+1+0(-1)1+2(-1)1+3+(-2)=1(-8)+0+(-2)5=-18.三、利用展开定理计

5、算行列式下页第十张，PPT共三十二页，创作于2022年6月按第二列展开1-2311-2-2111-23 =0+1(-3)+3(-1)5=-3-15=-18 . 例1分别按第一行与第二列展开行列式11-2013-231D =解：按第一行展开a11A11a12A12a1nA1n D=1(-8)+0+(-2)5=-18.(-1)3+2+3(-1)2+2+1(-1)1+2=0a12A12a22A22a32A32 D下页第十一张，PPT共三十二页，创作于2022年6月解： 将某行(列)化为一个非零元后展开例2计算行列式 1 2 3 4 1 2 0 -5 3 -1 -1 0 1 0 1 2D = -2 -

6、2 -2 0 -3 -9-7 -10 -12 1 1 1 0 -3 -9 -2 0 -3 -5=-24. 1 2 3 4 0 0 -3 -9 0 -7 -10 -12 0 -2 -2 -2 1 2 3 4 1 2 0 -5 3 -1 -1 0 1 0 1 2D =下页第十二张，PPT共三十二页，创作于2022年6月解： 将某行(列)化为一个非零元后展开例2计算行列式 1 2 3 4 1 2 0 -5 3 -1 -1 0 1 0 1 2D =(-1)(-1)3+2 7 1 4 7 -2 -5 1 1 2 6 0 2 9 0 -1 1 1 2=1(-1)2+2 692-1=-6-18=-24. 7

7、 0 1 4 7 0 -2 -5 3 -1 -1 0 1 0 1 2 1 2 3 4 1 2 0 -5 3 -1 -1 0 1 0 1 2D =下页第十三张，PPT共三十二页，创作于2022年6月例3. 计算行列式解：下页第十四张，PPT共三十二页，创作于2022年6月例4 计算行列式解：下页第十五张，PPT共三十二页，创作于2022年6月下页第十六张，PPT共三十二页，创作于2022年6月 ( D2=5 )解：例5. 计算行列式下页第十七张，PPT共三十二页，创作于2022年6月证明：从最后一行起每一行加上前一行的(-a1)倍，得例6. 证明范得蒙德（Vandermonde）行列式下页第十八

8、张，PPT共三十二页，创作于2022年6月下页第十九张，PPT共三十二页，创作于2022年6月下页第二十张，PPT共三十二页，创作于2022年6月由此推得 即 下页第二十一张，PPT共三十二页，创作于2022年6月例7下页解第二十二张，PPT共三十二页，创作于2022年6月例8 过平面上的n个互异点能否惟一确定一条n-1次曲线：解 假设曲线过平面上的n个点分别为：下页即得：过平面上的n个互异点惟一确定一条n-1次曲线。第二十三张，PPT共三十二页，创作于2022年6月 求解行列式的基本方法对角线法 仅对二、三阶行列式适合定义法 对一般行列式可利用定义进行求解，利用该方法对行列式进行计算通常会比

9、较麻烦公式法 对一些行列式可利用性质将其转化为上(下)三角形行列式、范德蒙德(Vandermonde)行列式等特殊行列式，利用公式进行计算降阶法 利用按行(列)展开定理，把高阶行列式转化为低阶行列式进行计算递推法 对规律性强且元素多的行列式，可用按行(列)展开公式建立递推关系式求解行列式的值下页第二十四张，PPT共三十二页，创作于2022年6月行列式阶数余子式消元法加法 乘法 加法 乘法和除法21 21 3 35 95 10423 4014 235119 20530 4410368799 6235300285 339公式法与降阶法计算效率的比较：下页第二十五张，PPT共三十二页，创作于2022

10、年6月j=1,2,n.有且仅有一个解第3节 克拉默法则定理1 含有n个未知量n个方程的线性方程组当其系数行列式时, 其中，Dj是把系数行列式D的第j列换为方程组的常数列b1,b2,bn所得到的n阶行列式（j=1,2,n）. 下页第二十六张，PPT共三十二页，创作于2022年6月例1. 解线性方程组 下页解: 方程组的系数行列式 因为D0, 故方程组有唯一解. . 第二十七张，PPT共三十二页，创作于2022年6月故方程组的解为 下页进一步计算(计算过程，略)，有 第二十八张，PPT共三十二页，创作于2022年6月推论 含有n个未知量n个方程的线性方程组 如果无解或非唯一解, 则系数行列式D=0. 例如 解线性方程组 下页显然，此方程组无解. 其系数行列式为第二十九张，PPT共三十二页，创作于2022年6月定理2 含有n个未知量n个方程的线性方程组,如果其常数项都为零，即形如当其系数行列式时, 方程组有且仅有零解, 而没有非零解. 下页的方程组称为