专题37 X型相似问题(原卷版)

1、专题37（双）X型相似问题【规律总结】已知：ZABD=ZACD结论：相似三角形：相似三角形：【典例分析】例1. （2020-渠县第二中学九年级期末）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点。，E是BC的中点，DE交AC于点F，若DE 12，则DF等于（）A. 3B. 4C. 6D. 8【答案】D【分析】因为四边形ABCD是正方形，E是BC中点，所以CE= 1 AD,由相似三角形的判定定理得出CEF00ADF，再根据相似三角形的对应边成比例可得出.【详解】 解：四边形ABCD是正方形，E是BC中点，1CE= AD，2AD0BC，ADF=0DEC，0AFD=0EFC，CEF00ADF，EFD

2、F12 - DFDF解得DF=8, 故选：D.【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质及正方形的性质，先根据题意判断出SCEFADF，再 根据相似三角形的对应边成比例进行解答是解答此题的关键.例2. （2020山东九年级二模）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点M，N分别是边BC，CD上的动点（不与点B，C，D重合），AM，AN分别交BD于E，F两点，且0MAN=45，AF J2 -则下列结论：MN=BM+DN；0AEF幽BEM；而=项；I3FMC是等腰三角形.其中正确的是.（填写正确序号）AD【答案】【分析】将ABM绕点A逆时针旋转90至ADM，根据正方形的性质和且MAN=45可证明

3、MN=BM+DN；根据BD是正方形ABCD的对角线，推出EBMWMAN=45，于是得IAEFBEM；根据相似三角形的判定定理得到AEBFEM，根据相似三角形的性质得到EMFWABE=45。，推出AFM是等腰直角三角形，于是得到4 空；根据全等三角形的性质得到AF=CF，AM 2等量代换得到FMC是等腰三角形.【详解】将ABM绕点A逆时针旋转90至ADM，MAD=MAB， AM=AM， BM=DM，MAN=45，DAN+MAB=45，MAN=DAN+MAD=DAN+MAB=45，在0AMN 和AMN 中，AM = AM AM AN = /MAN = 45。， AN = ANAMNAMN (SAS

4、),MN=NM，MN=MD+DN=BM+DN，MN=BM+DN ；故正确；BD是正方形ABCD的对角线，EBM=45，MAN=45，EBM=0MAN=45，AEF =0BEM，AEF00BEM，故正确；AE EFAE BE=，即=BE EMEF EMAEBWMEF，AEBFEM，EMFWABE=45，MAN=45，AFM是等腰直角三角形，AFaM故正确;在0ADF 与0CDF 中， ZADF = ZCDF = 45 , DF = DFADF00CDF (SAS),AF=CF,AF=MF,FM=FC,FMC是等腰三角形，故正确；故答案为：.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判

5、定和性质，正方形的性质，旋转的性 质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键.例3. （2021上海青浦区九年级一模）如图，在平行四边形ABCD中，BC = 8，点E、F 是对角线BD上的两点，且BE = EF = FD, AE的延长线交BC于点G , GF的延长线 交AD于点H .B QC求HD的长； （2）设ABGE的面积为a，求四边形AEFH的面积.（用含a的代数式表示）7 a【答案】HD = 2 ；（2）S四边形心广项 【分析】 （1）由0ADE00GBE，可求出BG的长，再由0HDF00GBF，即可求出HD的长;1(2)由0ADE00GBE，可求出 S0ADE=4S0

6、BGE=4a，再由0HDF00GBF，即可求出 S0DHF= 4 S0BGF，由1三角形的面积公式可求出S0DHF= - S0BGF，进而可求四边形AEFH的面积.【详解】 解：（1） 四边形ABCD是平行四边形， AD/BC, AD=BC=8,ADE00GBE，ADBGDEBE BE = EF = FD1BG= AD=4.2AD/BC，HDFGBF，HD DF= 一BG BF BE = EF = FDHD= - BG=2；2(2) ADEGBE， BE = EF = FDADE=4SBGE=4a.HDFGBF，S = - S .DHF 4 Q0BGR. BE EFS0BGF-2S0BGE，

7、S0DHF= 2 S0BGE= 2 3, S四边形AEFH【点睛】 本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性 质是解答本题的关键.【好题演练】一、单选题1. （2018-河南九年级其他模拟）如图，AB是半圆O的直径，半径OC0AB于点O,点D是BC的中点，连接CD、OD.下列四个结论：AC/ OD；CE=OE；MDEEEADO；0ADC5BOD.其中正确结论的序号是（）A.B.C.D.2. （2020-河北九年级一模）如图，在四边形ABCD中，AB0AD, ADI3BC,且AB=BC=4, AD=2,点E是边BC上的一个动点，EF0BC交AD于点F,将四

8、边形ABCD沿EF所在直线折叠，若两边重叠部分的面积为3,则BE的长为（）4，一D.-或4+寸33A. 4或4-.3 B. 4-、：3二、填空题3. （2020-上海浦东新区九年级三模）如图，在矩形ABCD中，AB=3, BC=4,将矩形ABCD 绕点C旋转，点A、B、D的对应点分别为Af、B、D，当Af落在边CD的延长线上时， 边Af D与边AD的延长线交于点F，联结CF，那么线段CF的长度为.AL)4. （2020江苏扬州市九年级一模）如图，把一个等腰直角三角形放在平面直角坐标系中，k0ACB=90，点C （-1，0），点B在反比例函数J = 一的图像上，且y轴平分0BAC，则k的值三、解答题5. (2021-全国九年级)已知如图，这正方形ABCD中，AB=4, M是边AD的中线，E是边 AB上的一个动点，GM0EM交边DC于点P，交边BC的延长线于点G,延长EM交边CD的 延长线与F,联结FG求证：0AME国CPG；设A，E两点的距离为x，0CFG的面积为y，求x，y之间的函数关系式及定义域；当0PFG时等腰三角形时，求A