三角函数专知识点

1、三角函数专题一三角函数定义（一）一般定义在的终边上任取一点,它与原点的距离.过作轴的垂线,垂足为,则线段的长度为,线段的长度为.则； ； ；（二）单位圆定义a的终边P(x,y)Oxy利用单位圆定义任意角的三角函数，设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么: (1) 叫做的正弦,记做,即； （2）叫做的余弦,记做,即；（3）叫做的正切，记做，即=； 例已知的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点的值为（）ABCD二同角三角函数的基本关系 三诱导公式可用十个字概括为“奇变偶不变，符号看象限”。诱导公式一：， 其中（脱周，大角化小角）诱导公式二 ；;（化锐）诱导公式三：；（化锐）诱导公式

2、四： ； ；（去负）诱导公式五：；诱导公式六：；（化锐）（1）运算顺序：去负，脱周，化锐；（2）如何灵活运用六个诱导公式：形式为（为常整数）；函数名不变，符号看象限 形式为（为奇数）；函数名变，符号看象限当较难判断所在象限时，可脱周例.下列各选项中，与sin（-2011）最接近的数是（）A.B.C.D.三.三角恒等变换（一）两角和与差的三角函数公式sin()“正余，余正符号同”cos()“余余，正正符号异”tan() 其公式变形为：“较少出现” （二）二倍角公式sin2（同角正余弦积的两倍）“这三个公式各有用处，同 等重要” .其公式变形为：“降幂，扩角公式” “异名为负” ； “同名为正”

3、重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、次数，所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形常见的配角技巧：2eq f(,2)；()；()；eq f(1,2)()()；eq f(1,2)()()；eq f(,4)eq f(,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)例1(2012衡阳模拟)已知sin eq f(5,13)，eq blc(rc)(avs4alco1(f(

4、,2)，)，则tan 2的值 为_例2. (2012杭州质检)已知tan eq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)2，tan eq f(1,2).(1)求tan 2的值；(2)求eq f(sin2sin cos ,2sin sin cos)的值例3. (2012温州模拟)若eq f(sin cos ,sin cos )3，tan()2， 则tan(2)_.（三）同角三角函数的基本关系（1）（正余弦互化）（2）（切弦互化）四.解三角形内角和定理及变换有:. ; （角的变换） （一）正弦定理：1.定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即=2R（R为外接圆半径）； 可“知三

5、求一”。于是，正弦定理可解决两类有关解三角形的问题：已知两角与任一边，求其他元素已知两边与其中一边的对角，求其他元素（注意解得个数，常利用大边对大角进行取舍）2.变行形式(1)与 (边角统一化)（2）：b:c=sinA:sinB:sinC（二）余弦定理：1.定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 ; (注意结构特征)利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角（2）已知三边，求三个角；（3）已知两边与其中一边的对角，求其他元素（计算较正弦定理大）2.变形形式 （求角或判断三角形的形状）

6、.五.三角函数的.性质（结合函数图象研究函数的性质：定义域、值域、周期性、奇偶性对称性和单调性）函数 图像定义域RRx|xeq f(,2)k，kZ值域y|1y1y|1y1R单调性上递增，kZ上递减，kZ(2k1)，2k上递增，kZ2k，(2k1)上递减，kZ(eq f(,2)k，eq f(,2)k)上递增，kZ最值时；时；无最值奇偶性奇（图像关于原点对称）偶（图像关于轴对称）奇（图像关于原点对称）对称性对称中心（）对称中心（）对称中心对称轴（此时对应的为）对称轴（此时对应的为）周期22六.三角函数的.图像 1.用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图

7、时，要找五个关键点，如下表所示. 整体思想（如令x=0得等）函数yAsin(x)的图象在一个周期内的“五点”横向间距必相等，为eq f(T,4)，于是“五点”横坐标依次为x1eq f(,)，x2x1eq f(T,4)，x3x2eq f(T,4)这样可以快速地求出“五点”坐标xeq f(,)eq f(,)eq f(,2)eq f(,)eq f(3,2)eq f(,)eq f(2,)xeq f(,2)eq f(,2)eq f(3,2)2yAsin(x)0A0A0 2函数ysinx的图象变换得到yAsin(x)的图象的步骤yAsin(x)的图象变换最好是先平移再伸缩，每一次变换都是对自变量而言的，要

8、看自变量的变化，而不是看角的变化3.求yAsin(x)的解析式确定yAsin(x)b的解析式的步骤：(1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则Aeq f(Mm,2)，beq f(Mm,2).(2)求.确定函数的周期T，则eq f(2,T)，由图象可观察出T、eq f(T,2)、eq f(3,4)T、eq f(T,4)等(3)求.常用方法有：代入法：把图象上的一个已知点代入yAsin(x)b(此时，A，b已知)或代入图象与直线yb的交点求解此法适用于的范围已知的情况五点法：确定值时，往往以寻找“五点”中的第一零点(eq f(,)，0)作为突破口，具体如下：第一点即图象上升时与x轴的交点，为x0第二点即图象的“峰点”，为xeq f(,2)第三点即图象下降时与x轴的交点，为x第四点即图象的“谷点”，为xeq f(3,2)第五点为x2平移法：可将yAsin(x)b图象看成由yAsinxb向左或向右平移|eq f(,)|个单位4.研究yAsin(x)b的性质三