(微积分)第七章课后习题全解

1、P179 1、在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪一个卦限。在第一卦；在第四卦； 在第六卦； 在第七卦；在第五卦；2、确定 关于坐标原点，x轴，y轴，z轴以及三个坐标平面对称点的坐标。关于原点对称的点为关于x轴对称的点为关于y轴对称的点为关于z轴对称的点为3、求点 到坐标原点以及各坐标轴的关于 面对称的点为关于 面对称的点为关于 面对称的点为距离。4、试证以为顶点的三角形是等腰直角三角形。证明：且故是等腰直角三角形。5、求通过z轴和点 的平面方程。解：设所求平面的方程为：由于过原点，所以D0在所求平面上，由于过 轴，则所求的平面方程为：球面方程。由于球心为则且过6、建立以点 球心，且通过坐标原

2、点的解：且过坐标原点则球面方程为：7、 平面上的一条抛物线绕z轴在空间转动一周形成什么样的曲面？试写出其方程。解：是旋转抛物面其方程为：P187 1、求下列函数的定义域，并画出定义域的图形。解：2、由已知条件确定令则令3、求下列极限：4、证明下列极限不存在：因为K取不同的值，所得到的极限值是不同的所以此极限不存在所以 不存在。P192 1、求下列函数的偏导数：解：解：2、求下列函数在指定点的偏导数：求求求3、设证明：证明：所以原等式成立4、设 为连续函数，试求解：5、设求解：而6、设求解：7、验证满足证明：同理则所以原等式成立P195 1、求下列函数的全微分：2、设求解：3、求函数 在时的全增

3、量和全微分。解：4、求函数 在时的全微分。解：5、求函数在 处当 的全微分。解：6、计算下列各式的近似值：解：P201 1、求下列函数的全导数：而而而而而2、求下列函数的偏导数：而而而而3、求下列函数的一阶偏导数：2）令4、求下列函数的（其中具有二阶连续偏导数。解：其中其中5、设而为可导函数，证明：证明：则原等式成立。6、设证明：证明：为可导函数，其中7、设其中 具有二阶连续导数，求解：P203 1、设求 解：设2、设求 解：设3、设求 解：设和4、设解：设求 和5、设解：设求 和则6、求由方程所确定的隐函数 的全微分。解：设则7、设求解：设则8、设可微，求解：设P209 1、求函数 的极值。

4、解：令而当 时，不是极值点。当 时，是极小值点，且为极小值。2、求函数的极值。解：令而当 时，且是极大值点，为极大值。3、求函数的极值。解：令而当 时，且是极小值点，为极小值。4、求函数 在适合附加条件 下的极大值。解：设令所以 是函数的极值点，是函数的极大值。5、某厂家生产两种产品A、B，A种产品的单位成本为3万元，B种产品的单位成本为2万元，D1、D2分别为产品A、B的需求量，而它们的需求函数总成本函数为为其中 分别为产品A、B的价格。问价格 取何值时可使利润最大？解：而令由实际意义知：是使得利润最大的点。6、求椭圆 内接矩形的最大面积。解：设 为内接矩形在椭圆上的第一象限点则椭圆上的内接

5、矩形的面积为设令由实际意义知：是使得面积最大的点。最大面积为：7、要做一容积为V的无盖长方体铁皮容器，问如何设计最省材料？解：设长方体的长、宽、高分别为则长方体的体积为：表面积为：设令由实际意义知：是使得材料最省的点。即：当长、宽都为，高为 所用的材料最省。8、某公司通过电台及报纸做某产品的销售广告，据统计销售收入R(万元)与电台广告费x1(万元)及报纸广告费x2(万元)的函数关系为求：1)在不限广告费时的最优广告策略；2)在仅用1.5万做广告费时的最优广告策略。解：1）由实际意义知，在(0.75,1.25)时取得最大值。2）作函数由实际意义知，将1.5万元全部用做广告费。P209 1、填空题

6、：1）设可微，则2）设则3）设其中 均可微，则4）设函数 由方程令确定设则5、设值为：则 在点 处的则2、选择题：1）设则 （ ）A、B、C、D、B设则即而2、二元函数的极小值点是（ ）A、C、B、D、令A当 时，当 时，当 时，当 时，3）函数 在点 处两个偏导数存在是 在该点连续的（ ）DA、充分而非必要条件B、必要而非充分条件C、充分必要条件D、非充分也非必要条件由于多元函数可微一定可偏导，一定连续；可偏导不一定可微，不一定连续；连续不一定可偏导，不一定可微；4）二元函数在 处有（ ）A、连续，偏导数存在B、连续，偏导数不存在C、不连续，偏导数存在D、不连续，偏导数不存在C在 点的偏导数存在。所以函数在 点不连续。5）设A、a B、b C、-1 D、1则 （ ）设 令D则2、解答题：1）设求解：2）设方程确定隐函数求解：设3）设求解：4）设 具有二阶连续导数，求解：则5）