hKf教学课件微积分的发展

1、微积分的发展ArchimedesNewton和Leibniz（1900多年）海军航空工程学院应用数学研究所时宝第1页，共152页。微积分的发展微积分学是微分学和积分学的总称。客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。因此在数学中引入变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，可以说它是继Euclid几何后，全部数学中的最大的一个创造从微积分成为一门学科来说，是在17世纪，但是，微分和积分的思想在古代就已经产

2、生了海军航空工程学院应用数学研究所时宝第2页，共152页。微积分的发展BC3世纪，Archimedes在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理论来说，早在古代以有比较清楚的论述。比如庄周所著的庄子一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。三国时刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。到17世纪，有许多科学问题需要解决，这也就成了促使微积分产生的因素。大约有4种主要类型的问题：海军航空工程学院应用数学研究

3、所时宝第3页，共152页。微积分的发展1.研究运动时直接出现的，也就是求即时速度的问题； 2.求曲线的切线问题；3.求函数的最大值和最小值问题；4.求曲线长、曲线所围面积、曲面所围体积、物体重心、一个物体作用于另一物体上的引力。海军航空工程学院应用数学研究所时宝第4页，共152页。微积分的发展17世纪的许多数学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如Fermat（1601-1665，1629年解决极值问题、给出作切线的方法）、Descartes（1596-1650，1637年提出变量的概念和坐标系）、Barrow（1630-1677，Newton的老师，提出“微分三角形”的概念）、Robe

4、rval（1602-1675，用运动观点作切线）、Kepler（1571-1630，酒桶容积“量积术”）、Cavalieri（1598-1647，”不可分原理”）等人都提出许多很有建树的理论，为微积分的创立做出了贡献海军航空工程学院应用数学研究所时宝第5页，共152页。微积分的发展17世纪下半叶，在前人工作的基础上，Newton（1642-1727，三大数学家之一）和Leibniz（1646-1716）分别独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题（积分学的中心问题）Newt

5、on和Leibniz建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。Newton研究微积分着重于从运动学来考虑，Leibniz却是侧重于几何学来考虑海军航空工程学院应用数学研究所时宝第6页，共152页。微积分的发展微积分的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分的非凡威力应该指出，这是和历史上任何一项重大理论的完成都要经历一段时间一样，Newton和Leibniz的工作也都是很不完善的。他们在无穷和无穷小量这个问题上，其说不一，十分含糊。Newton的无穷小量，有时候是

6、零，有时候不是零而是有限的小量；Leibniz的也不能自圆其说。这些基础方面的缺陷，最终导致了第2次数学危机的产生。海军航空工程学院应用数学研究所时宝第7页，共152页。微积分的发展直到19世纪初，Cauchy为首，对微积分理论进行了认真研究，建立了极限理论，后来又经过Weierstrass进一步的严格化，使极限理论成为了微积分的坚定基础。才使微积分进一步的发展开来。海军航空工程学院应用数学研究所时宝第8页，共152页。Bonaventura Francesco Cavalieri海军航空工程学院应用数学研究所时宝第9页，共152页。Bonaventura Francesco Cavalier

7、i生: 1598年，意大利Milano卒: 1647年11月30日，意大利BolognaCavalieri是Achimedes之后在钻研几何学的深度和广度方面绝无仅有的人。Galileo几何图形是由无数多个维数较低的不可分量组成的Cavalieri海军航空工程学院应用数学研究所时宝第10页，共152页。Bonaventura Francesco CavalieriCavalieri在少年时到了Milano的修道院1616年，他到了Pisa修道院Euclid的工作和在Milano时经Borromeo大主教的引见与Galileo见了面使他对数学产生了兴趣，Borromeo大主教也看到了他的数学才能

8、在Pisa，跟Pisa大学的Castelli学习几何，经Castelli介绍认识了Galileo，并自称是Galileo的学生海军航空工程学院应用数学研究所时宝第11页，共152页。Bonaventura Francesco Cavalieri1629年，经Galileo的大力推荐，Cavalieri在Bologna大学得到数学职位，而此时，他已经发展在积分发展过程具有重要意义的不可分量的方法，并计算了xn从0到a的积分为an+1/(n + 1) 1635年，他出版的书Geometria indivisibilis continuorum nova是Archimedes的穷竭法和Kepler的

9、无穷小几何量理论的发展，使得Cavalieri简单快速地求得各种几何图形的面积和体积不可分量的方法的基础不是很坚实，经常受到攻击，Cavalieri进一步改进并出版Exercitationes geometricae sex，它成为17世纪的主要数学读物海军航空工程学院应用数学研究所时宝第12页，共152页。Bonaventura Francesco CavalieriCavalieri在Directorium Generale Uranometricum中引进对数，他给出的对数表已经包括了三角函数的对数Cavalieri与很多数学家通信，包括Galileo、 Mersenne、Torrice

10、lli和Viviani等，其中与Galileo通了112封信我国数学家祖暅早1000年就得到了下面的Cavalieri原理，应称为祖暅原理，据此， Cavalieri证明了圆锥体积为外接圆柱体积的1/3海军航空工程学院应用数学研究所时宝第13页，共152页。Bonaventura Francesco Cavalieri海军航空工程学院应用数学研究所时宝第14页，共152页。Evangelista Torricelli海军航空工程学院应用数学研究所时宝第15页，共152页。Evangelista Torricelli生: 1608年10月15日，Roma卒: 1647年10月25日，意大利Flo

11、renza几何学中的卓越人物、完成了这一领域中义勇军任务的开拓者和倡导者是Cavalieri和Torricelli，后来别人的进一步发展都得益于他们的工作Leibniz海军航空工程学院应用数学研究所时宝第16页，共152页。Evangelista Torricelli1624年，Torricelli进入Faenza的学院，然后进入Roma的Collegio Romano，在这里从师于Sapienza大学的Castelli，Sapienza是现在Roma大学的一个建筑1626-32年，Torricelli为Castelli的秘书，以后的9年里先后为很多教授的秘书1641-42年，Torricel

12、li为Galileo的秘书，并继任在Florenza的Grand Duke Ferdinando II of Tuscany的宫廷数学家直到去世海军航空工程学院应用数学研究所时宝第17页，共152页。Evangelista Torricelli研究了变速运动的速度问题，并得到速度是路程的导数（Barrow也得到这个结果，并且还看到微分与积分互为逆运算，可惜的是没有给出微积分学基本定理，但Newton是按照这个思路给出微积分学基本定理的）Torricelli最先发现气压计原理，他的同事Viviani也做了相同的实验Torricelli证明了液体通过一个孔的流量正比于液体的高度的平方根Torric

13、elli定理Torricelli发现了摆线的弧长使用无穷小方法决定了三角形内一点与三个顶点的距离之和的最小值（等角心）海军航空工程学院应用数学研究所时宝第18页，共152页。Ren Descartes海军航空工程学院应用数学研究所时宝第19页，共152页。Ren Descartes生: 1596年3月31日，法国Descartes 卒: 1650年2月11日，StockholmDescartes首先是一位杰出的近代哲学家。他是近代生物学的奠基人、第一流的物理学家，同时也是一位数学家。它的父亲是一位相当富有的律师，母亲在他1岁时就去世了数学的转折点是Descartes的变数，有了变数，运动进入了

14、数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了Engeles我思故我在Descartes海军航空工程学院应用数学研究所时宝第20页，共152页。Ren Descartes1604年，Descartes在Anjou的La Flche学院接受教育，一直到1612年，学习逻辑和经典的Aristotel的理论，也学习数学由于他的身体不好，学校特别准许他每天11点起床，这个习惯一直到老1616年，Descartes在Poitiers大学得到法律学位Descartes大学毕业后去Paris当律师，在那里他花了1年的时间，跟两位神甫一起研究数学。其后9年中，他曾在军队中服役，但他

15、一直研究数学。在荷兰Breda的招贴牌有一个挑战性的问题，被他解决了。这使他自信有数学才能，从而开始用心于数学海军航空工程学院应用数学研究所时宝第21页，共152页。Ren Descartes1618年，学习数学和力学，La Gomtrie是他的最重要的工作，回到Paris后，他为望远镜的威力所激动，又一心钻研光学仪器的理论和构造 Scott总结了四条重要性：不变量理论的第一步使代数进入几何成为可能代数进入几何不仅是几何是否可解，而且没有代数根本就不可能1628年他32岁时移居荷兰，得到较为安静自由的学术环境，在那里住了20年，写出了著名的作品海军航空工程学院应用数学研究所时宝第22页，共15

16、2页。Ren Descartes1637年（明崇祯10年），Descartes写了更好地指导推理和寻求科学真理的方法论（Discours de la mthode pour bien conduire sa raison, et chercher la vrit dans les sciences），这是一本文学和哲学的经典著作，包括3个著名的附录，其中包括La Gomtrie，La Gomtrie是他所写的唯一一本数学书，他关于坐标几何的思想，就包括在它的这本La Gomtrie中有种种原因，使坐标几何的思想用代数方程表示并研究曲线的思想，在当时没有很快地被数学家们热情地接受并利用海军航空工

17、程学院应用数学研究所时宝第23页，共152页。Ren Descartes一个原因是因为Fermat的轨迹引论到1679年才出版，而Descartes的La Gomtrie中对几何作图题的强调，遮蔽了方程和曲线的主要思想坐标几何传播速度缓慢的另一个原因，是Descartes的La Gomtrie写得使人难懂，书中许多模糊不清之处，是他故意搞的影响坐标几何被迅速接收的原因，还有一个是许多数学家反对把代数和几何结合起来，认为数量运算和几何量的运算要加以区别，不能混淆。再一个原因是当时代数被认为是缺乏严密性的海军航空工程学院应用数学研究所时宝第24页，共152页。Ren Descartes1649年，

18、瑞典女王Christina劝说Descartes到了Stockholm，然而，女王每天早上5点要画切线，这样，Descartes打破了每天11点起床的习惯，几个月后，死于肺炎解析几何出现以前，代数已有了相当大的进展，因此解析几何不是一个巨大的成就，但在方法论上却是一个了不起的创建海军航空工程学院应用数学研究所时宝第25页，共152页。Ren Descartes1、Descartes希望通过解析几何引进一个新的方法，他的成就远远超过他的希望。在代数的帮助下，不但能迅速地证明关于曲线的某些事实，而且这个探索问题的方式，几乎成为自动的了。这套研究方法甚至是更为有利的。用字母表示正数、负数，甚至以后代

19、表复数时，就有了可能把综合几何中必须分别处理的情形，用代数统一处理了。例如，综合几何中证明三角形的高交于一点时，必须分别考虑交点在三角形内和三角形外，而解析几何证明时，则不须加区别海军航空工程学院应用数学研究所时宝第26页，共152页。Ren Descartes2、解析几何把代数和几何结合起来，把数学造成一个双面的工具。一方面，几何概念可以用代数表示，几何的目的通过代数来达到。另一方面，给代数概念以几何解释，可以直观地掌握这些概念的意义。又可以得到启发去提出新的结论（例如，Descartes就提出了用抛物线和圆的交点来求3次和4次方程的实根的著名方法），Lagrange曾把这些优点写进他的数学

20、概要中：“只要代数和几何分道扬镳，他们的进展就缓慢，他们的应用就狭窄。但当这两门科学结成伴侣时，他们就互相吸取新鲜的活力，就以快速走向完善。”海军航空工程学院应用数学研究所时宝第27页，共152页。Ren Descartes的确，17世纪以来数学的巨大发展，在很大程度上应归功于解析几何，可以说微分学和积分学如果没有解析几何的预先发展是难以想象的3、解析几何的显著优点在于它是数量工具，这是科学发展久已迫切需要的。17世纪一直公开要求着的，例如当Kepler发现行星沿椭圆轨道绕着太阳运动，Galileo发现抛出去的石子沿着抛物线的轨道飞出去时就必须计算这些椭圆和炮弹飞时所画的抛物线了。这些都需要提

21、供数量的工具，研究物理世界，似乎首先需求几何。物体基本上是几何的形象，运动物体的路线是曲线，研究它们都需要数量知识。而解析几何能使人把形象和路线表示为代数形式，从而导出数量知识 海军航空工程学院应用数学研究所时宝第28页，共152页。Johannes Kepler海军航空工程学院应用数学研究所时宝第29页，共152页。Johannes Kepler生: 1571年12月27日，德国Weil der Stadt卒: 1630年11月15日，德国RegensburgKepler在积分学方面初步的一些尝试，是作为测量酒桶容积的“量积术”，也就是对表面为曲面的物体体积的计算方法进行了系统的阐述von

22、Neumann海军航空工程学院应用数学研究所时宝第30页，共152页。Johannes Kepler1588年，Kepler进入Gttingen大学1591年，Kepler获硕士学位Kepler以他分别于1609（明万历37年）和1619年（明万历47年）发现并以他的名字命名的行星三大运动定律著称（椭圆轨道定律、相等面积定律、调和定律），其中尽管有两处错误却得到了椭圆扇形面积的正确值他分别于1604和1611年在光学领域做出了重要工作海军航空工程学院应用数学研究所时宝第31页，共152页。Johannes Kepler1615-16年，他得到求旋转体体积的方法，这是对微积分发展的重要贡献161

23、9年发现了两个正多面体海军航空工程学院应用数学研究所时宝第32页，共152页。Pierre de Fermat海军航空工程学院应用数学研究所时宝第33页，共152页。Pierre de Fermat生: 1601年8月17日，法国Beaumont-de-Lomagne卒: 1665年1月12日，法国CastresFermat出身于商人家庭，学法律并以律师为职业，数学只是他的业余爱好（被誉为“业余数学家之王”），虽然他只能利用闲暇时间研究数学，但他对数论和微积分做出了第一流的贡献，并同Pascal一同开创了概率论的研究工作，他和Descartes都是坐标几何的发明者 海军航空工程学院应用数学研究

24、所时宝第34页，共152页。Pierre de FermatFermat的父亲是一个富有的皮革商和Beaumont-de-Lomagne的第二执政官17世纪20年代后一半时间到Bordeaux之前在Toulouse大学学习，后在Bordeaux开始数学研究，他完成了关于最大值、最小值和切线的工作，由于切线工作，Lagrange认为他是微积分的发明者1629年，他修复并重新写出来了Apollonius的Plane loci，他写了一本平面和立体的轨迹引论（1679年发表），书中说，他找到了一个研究有关曲线问题的普遍方法 他给出方程（用现在的写法就是）dx=by，并指出这代表一条直线。海军航空工程

25、学院应用数学研究所时宝第35页，共152页。Pierre de Fermat他又给出d(a-x)=by，并指出它也表示一条直线。方程p2-x2=y2代表一个圆。a2+x2=ky2和xy=a各代表一条双曲线，x2=ay代表一条抛物线，而且Fermat确实领悟到坐标轴可以平移和旋转。因为他给出一些较复杂的二次方程，并给出它们可以简化到的简单形式。他肯定地得到如下结论：一个方程，如果是1次的就代表直线，如果是2次的就代表圆锥曲线他推广了抛物线和双曲线的表达形式：抛物线：y/a = (x/b)2 to (y/a)n = (x/b)m 双曲线：y/a = b/x to (y/a)n = (b/x)m海军

26、航空工程学院应用数学研究所时宝第36页，共152页。Pierre de Fermat海军航空工程学院应用数学研究所时宝第37页，共152页。Pierre de Fermat从Bordeaux到Orlans大学学习并得到民法学学位从此以后，他一直在Toulouse或在家乡Beaumont-de-Lomagne及附近的Castres生活1631年5月14日，Fermat担任议会议员，1638年1月16日，又担任议会高级议员1637年的Methodus ad Disquirendam Maximam et Minimam中引进了y=xn和y=x-nFermat在Method for determin

27、ing Maxima and Minima and Tangents to Curved Lines中统一了求切线和求极值的方法，这对Newton和Leibniz创立统一的微分法有很大启发海军航空工程学院应用数学研究所时宝第38页，共152页。Pierre de Fermat1652年，担任法院高层职位1653年，因瘟疫误传Fermat已死Fermat从不喜欢发表自己的工作，在公开发表的刊物上找到他的工作是困难的他在通信中与Roberval和Pascal讨论积分法与Descartes进行激烈的学术争论由于Descartes的名气很大，使得Fermat从1643到1654年没有再和同行交流，但此

28、时的工作重点是数论Fermat最著名的工作是Fermat大定理：xn+yn=zn没有非零整数解（n2）海军航空工程学院应用数学研究所时宝第39页，共152页。Pierre de FermatFermat在Diophantus的Arithmetica书的边上写上了：我已发现一个非常好的证明，但这个地方写不下了，这是他的儿子Samuel在1670年再版Diophantus的书Arithmetica时才发现的我们有理由相信Fermat的证明是错的，虽然不能肯定1993年6月，英国数学家Wiles宣布证明了Fermat大定理，但年底又撤回了宣布，1994年11月，Wiles又给出了改正了的证明，为此，

29、Wiles获得1996年的Wolf奖和1998年的Fields奖人们在300多年中，虽未能证明Fermat大定理本身，但却发展了交换环理论等其他理论，Hilbert称它为“会下金鸡蛋的老母鸡”海军航空工程学院应用数学研究所时宝第40页，共152页。Gottfried Wilhelm von Leibniz海军航空工程学院应用数学研究所时宝第41页，共152页。Gottfried Wilhelm von Leibniz生: 1646年7月1日，德国Leipzig，书香门第卒: 1716年11月14日，德国HannoverLeibniz是17、18世纪之交德国最重要的数学家、物理学家和哲学家，一个

30、举世罕见的科学天才，和Newton同为微积分的创建人。他博览群书，涉猎百科，对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献海军航空工程学院应用数学研究所时宝第42页，共152页。Gottfried Wilhelm von Leibniz父亲：Friedrich Leibniz，Leipzig大学的道德哲学教授，在他年仅6岁时便去世了，给他留下了丰富的藏书 母亲：Catharina Schmuck，律师的女儿，Friedrich Leibniz的第三任妻子 海军航空工程学院应用数学研究所时宝第43页，共152页。Gottfried Wilhelm von Leibniz7岁时进入了Leipzig的

31、Nicolai学校12岁时有兴趣读他父亲的书，还学Aristotle的逻辑学1661年，Leibniz进入Leipzig大学学习哲学和数学1663年，获学士学位，论文是De Principio Individui 1663年暑假，Leibniz去了Jena大学，开始理解数学证明方法的重要性1663年10月，Leibniz返回Leipzig开始攻读法学博士，获得哲学硕士学位，几天后，他的母亲去世了海军航空工程学院应用数学研究所时宝第44页，共152页。Gottfried Wilhelm von Leibniz1666年发表了第一篇论文Dissertatio de arte combinatori

32、a，这是一篇关于数理逻辑的文章，其基本思想是想把理论的真理性论证归结于一种计算的结果。这篇论文虽不够成熟，但却闪耀着创新的智慧和数学的才华，后来的一系列工作使他成为数理逻辑的鼻祖Leipzig大学拒绝向Leibniz授予法学博士学位，Hegel认为，这可能是由于Leibniz哲学见解太多，审查论文的教授们看到他大力研究哲学，心里很不乐意。他对此很气愤，于是毅然离开Leipzig而是去了Altdorf大学并于1667年2月得到法学博士学位，论文是De Casibus Perplexis（论身份）Leibniz获得博士学位后便投身外交界海军航空工程学院应用数学研究所时宝第45页，共152页。Got

33、tfried Wilhelm von Leibniz从1671年开始，他利用外交活动开拓了与外界的广泛联系，尤以通信作为他获取外界信息、与人进行思想交流的一种主要方式1672年，在出访Paris时，Leibniz受Pascal事迹的鼓舞，在Huygens的指导下钻研数学，并研究了Descartes、Fermat、Pascal等人的著作1673年4月19日，Leibniz被推荐为英国皇家学会会员，提交的论文是Essay dune nouvelle science des nombres，此时，他的兴趣已明显地朝向了数学，开始了对无穷小的研究，独立地创立了微积分的基本概念与算法，和Newton并蒂

34、双辉共同奠定了微积分学海军航空工程学院应用数学研究所时宝第46页，共152页。Gottfried Wilhelm von Leibniz1673年（清康熙12年）底到1674年初，Leibniz发明了积分的一般变换法，包括链式法则、换元积分法和分部积分法1675年11月21日，Leibniz给出导数的乘积法则1676年，他担任Hannover公爵Friedrich的法律顾问兼图书馆长，负责国际通信和充当技术顾问，Hannover成了他的永久居住地，秋，发现d(xn)=nxn-1dx1679年12月，Hannover公爵Friedrich突然去世，其弟August继任爵位，Leibniz仍保留原

35、职。新公爵夫人Sofia是他的哲学学说的崇拜者，“世界上没有两片完全相同的树叶”这一句名言，就出自他与Sofia的谈话海军航空工程学院应用数学研究所时宝第47页，共152页。Gottfried Wilhelm von Leibniz1700年被选为Paris科学院院士，促成建立了Berlin科学院并任首任院长（当时全世界的四大科学院：英国皇家学会、法国科学院、Roma科学与数学科学院、Berlin科学院都以Leibniz作为核心成员。）据传，他还曾经通过传教士，建议康熙皇帝在北京建立科学院海军航空工程学院应用数学研究所时宝第48页，共152页。Gottfried Wilhelm von Lei

36、bnizNewton通过Oldenburg给Leibniz写了一封信，花了较长时间才收到，信中列举了Newton的许多结果，但没有给出方法，Leibniz立即回了信，Newton没有认识到信件所花的时间，认为Leibniz有6个月的时间回信Leibniz认识到必须尽快发表他自己的全部方法他关于积分学的工作分别于1684年和1686年以“calculus summatorius”的题目发表的，1690年，Jacob Bernoulli建议用“integral calculus”的题目1676年10月24日，Newton写了第二封信，直到1677年6月，Leibniz才收到海军航空工程学院应用数学

37、研究所时宝第49页，共152页。Gottfried Wilhelm von Leibniz这封信虽然很客气，但清楚地表达了Leibniz剽窃了自己的方法，Leibniz回信给出了包括复合函数的微分法的原理Leibniz的另一个伟大的成就是二进制，1679年（清康熙18年）完成，但1701年才将文章Essay dune nouvelle science des nombres送到Paris科学院Leibniz的另一个工作是解线性方程组，对消元法从理论上进行了探讨，并首先引入了行列式的概念，提出行列式的某些理论，1684年1月22日写的文章用了非常令人满意的符号和结果海军航空工程学院应用数学研究所

38、时宝第50页，共152页。Gottfried Wilhelm von Leibniz1684年（清康熙23年），Leibniz在两年前在Leipzig创刊的Acta Eruditorum上发表了在数学史上第一篇公开发表的微积分学论文Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractas nec irrationales quantitates moratur, et singulare pro illi calculi genus 文章中已包含了熟悉的d符号，幂函数、乘积和商的导数的计算，然而没有给

39、出证明，Jacob Bernoulli称它是不可思议的海军航空工程学院应用数学研究所时宝第51页，共152页。Gottfried Wilhelm von Leibniz1686年（清康熙25年） ，Leibniz在Acta Eruditorum上发表了处理积分的文章De geometria recondita et analysi indivisibilium atque infinitorum，文章第一次出现积分符号Newton的Philosophiae naturalis principia mathematica于第2年发表，他的De Methodis Serierum et Fluxi

40、onum是1671年完成的，但迟迟没有发表，所以才有了Newton-Leibniz论战海军航空工程学院应用数学研究所时宝第52页，共152页。Gottfried Wilhelm von Leibniz1691年（清康熙30年），Leibniz求解了分离变量方程和齐次方程，1694年，Johann Bernoulli在Acta Eruditorum上对求解了分离变量方程和齐次方程做了更加完整的说明1713年（清康熙52年） ，Leibniz在给Johann Bernoulli的信中给出了交错级数的判别法，即Leibniz判别法海军航空工程学院应用数学研究所时宝第53页，共152页。Gottfri

41、ed Wilhelm von LeibnizLeibniz一生未婚，未当教授，平时从不进教堂，因此他有一个绰号Lovenix，即什么也不信的人。他去世时教士以此为借口，不予理睬，曾雇用过他的宫廷也不过问，无人前来吊唁。1793年，Hannover人为他建立了纪念碑；1883年，在Leipzig的一座教堂附近竖起了他的一座立式雕像；1983年，Hannover市政府照原样重修了被毁于二战中的“Leibniz故居”，供人们瞻仰。海军航空工程学院应用数学研究所时宝第54页，共152页。Newton-Leibniz论战微积分思想，最早可以追溯到Archimedes等人提出的计算面积和体积的方法。166

42、5年，Newton创始了微积分，Leibniz在1673-1676年间也发表了微积分思想的论著。以前，微分和积分作为两种数学运算、两类数学问题，是分别的加以研究的。Cavalieri、Barrow、Wallis等人得到了一系列求面积（积分）、求切线斜率（导数）的重要结果，但这些结果都是孤立的，不连贯的。只有Leibniz和Newton将积分和微分真正沟通起来，明确地找到了两者内在的直接联系：微分和积分是互逆的两种运算。而这是微积分建立的关键所在。海军航空工程学院应用数学研究所时宝第55页，共152页。Newton-Leibniz论战只有确立了这一基本关系，才能在此基础上构建系统的微积分学。并从

43、对各种函数的微分和求积公式中，总结出共同的算法程序，使微积分方法普遍化，发展成用符号表示的微积分运算法则然而关于微积分创立的优先权，数学上曾掀起了一场激烈的争论，由于民族偏见，关于发明优先权的争论竟从1699年始延续了100多年实际上，Newton在微积分方面的研究虽早于Leibniz，但Leibniz成果的发表则早于Newton海军航空工程学院应用数学研究所时宝第56页，共152页。Newton-Leibniz论战Leibniz在1684年10月发表在Acta Eruditorum上的文章Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangen

44、tibus, quae nec fractas nec irrationales quantitates moratur, et singulare pro illi calculi genus ，最早发表的微积分文献海军航空工程学院应用数学研究所时宝第57页，共152页。Newton-Leibniz论战Newton在1687年出版的Philosophiae naturalis principia mathematica的第一版和第二版也写道：“10年前在我和最杰出的几何学家Leibniz的通信中，我表明我已经知道确定极大值和极小值的方法、作切线的方法以及类似的方法，但我在交换的信件中隐瞒了这

45、方法，这位最卓越的科学家在回信中写道，他也发现了一种同样的方法。他诉述了他的方法，它与我的方法几乎没有什么不同，除了他的措词和符号而外。”（但在第三版及以后再版时，这段话被删掉了。）因此，后来人们公认Newton和Leibniz是各自独立地创建微积分的。海军航空工程学院应用数学研究所时宝第58页，共152页。Newton-Leibniz论战Newton从物理学出发，运用集合方法研究微积分，其应用上更多地结合了运动学，造诣高于Leibniz。Leibniz则从几何问题出发，运用分析学方法引进微积分概念、得出运算法则，其数学的严密性与系统性是Newton所不及的。Leibniz认识到好的数学符号能

46、节省思维劳动，运用符号的技巧是数学成功的关键之一。因此，他发明了一套适用的符号系统，如，引入dx表示x的微分，表示积分，dnx表示n阶微分等等。这些符号进一步促进了微积分学的发展。海军航空工程学院应用数学研究所时宝第59页，共152页。Newton-Leibniz论战1713年，Leibniz发表了History and origin of differential calculus一文，总结了自己创立微积分学的思路，说明了自己成就的独立性。海军航空工程学院应用数学研究所时宝第60页，共152页。Gottfried Wilhelm von Leibniz在Leibniz从事学术研究的生涯中，他

47、发表了大量的学术论文，还有不少文稿生前未发表。在数学方面，格哈特编辑的7卷本数学全书是Leibniz数学研究较完整的代表性著作。格哈特还编辑过7卷本的哲学全书。已出版的各种各样的选集、著作集、书信集多达几十种，从中可以看到Leibniz的主要学术成就。今天，还有专门的Leibniz研究学术刊物Leibniz，可见其在科学史、文化史上的重要地位高等数学上的众多成就Leibniz在数学方面的成就是巨大的，他的研究及成果渗透到高等数学的许多领域。他的一系列重要数学理论的提出，为后来的数学理论奠定了基础。海军航空工程学院应用数学研究所时宝第61页，共152页。Gottfried Wilhelm von

48、 LeibnizLeibniz曾讨论过负数和复数的性质，得出复数的对数并不存在，共扼复数的和是实数的结论。在后来的研究中，Leibniz证明了自己结论是正确的。他还对线性方程组进行研究，对消元法从理论上进行了探讨，并首先引入了行列式的概念，提出行列式的某些理论，此外，1666年，Leibniz发表的De Arte Combinatoria创立了符号逻辑学的基本概念1673年Leibniz特地到Paris去制造了一个能进行加、减、乘、除及开方运算的计算机。这是继Pascal加法机后，计算工具的又一进步。他还系统地阐述了二进制计数法，并把它和中国的八卦联系起来，为计算机的现代发展奠定了坚实的基础。

49、海军航空工程学院应用数学研究所时宝第62页，共152页。Gottfried Wilhelm von LeibnizLeibniz的物理学成就也是非凡的，他发表了Hypothesis Physica Nova，提出了具体运动原理和抽象运动原理，认为运动着的物体，不论多么渺小，他将带着处于完全静止状态的物体的部分一起运动他还对Descartes提出的动量守恒原理进行了认真的探讨，提出了能量守恒原理的雏型，并在Acta Eruditorum上发表了“关于Descartes和其他人在自然定律方面的显著错误的简短证明”，提出了运动的量的问题，证明了动量不能作为运动的度量单位，并引入动能概念，第一次认为动

50、能守恒是一个普通的物理原理他又充分地证明了“永动机是不可能”的观点海军航空工程学院应用数学研究所时宝第63页，共152页。Gottfried Wilhelm von Leibniz他也反对Newton的绝对时空观，认为“没有物质也就没有空间，空间本身不是绝对的实在性”，“空间和物质的区别就象时间和运动的区别一样，可是这些东西虽有区别，却是不可分离的”在光学方面，Leibniz也有所建树，他利用微积分中的求极值方法，推导出了折射定律，并尝试用求极值的方法解释光学基本定律可以说Leibniz的物理学研究一直是朝着为物理学建立一个类似Euclid几何的公理系统的目标前进的。 海军航空工程学院应用数学

51、研究所时宝第64页，共152页。Gottfried Wilhelm von Leibniz中西文化交流之倡导者Leibniz对中国的科学、文化和哲学思想十分关注，他是最早研究中国文化和中国哲学的德国人。他向耶酥会来华传教士格里马尔迪了解到了许多有关中国的情况，包括养蚕纺织、造纸印染、冶金矿产、天文地理、数学文字等等，并将这些资料编辑成册出版。他认为中西相互之间应建立一种交流认识的新型关系。在中国近况一书的绪论中，Leibniz写道：“全人类最伟大的文化和最发达的文明仿佛今天汇集在我们大陆的两端，即汇集在欧洲和位于地球另一端的东方的欧洲中国。”“中国这一文明古国与欧洲相比，面积相当，但人口数量则

52、已超过”。海军航空工程学院应用数学研究所时宝第65页，共152页。Gottfried Wilhelm von Leibniz“在日常生活以及经验地应付自然的技能方面，我们是不分伯仲的。我们双方各自都具备通过相互交流使对方受益的技能。在思考的缜密和理性的思辩方面，显然我们要略胜一筹”，但“在时间哲学，即在生活与人类实际方面的伦理以及治国学说方面，我们实在是相形见拙了”。在这里，Leibniz不仅显示出了不带“欧洲中心论”色彩的虚心好学精神，而且为中西文化双向交流描绘了宏伟的蓝图，极力推动这种交流向纵深发展，是东西方人民相互学习，取长补短，共同繁荣进步。海军航空工程学院应用数学研究所时宝第66页，

53、共152页。Gottfried Wilhelm von LeibnizLeibniz为促进中西文化交流做出了毕生的努力，产生了广泛而深远的影响。他的虚心好学、对中国文化平等相待，不含“欧洲中心论”偏见的精神尤为难能可贵，值得后世永远敬仰、效仿海军航空工程学院应用数学研究所时宝第67页，共152页。Augustin Louis Cauchy海军航空工程学院应用数学研究所时宝第68页，共152页。Augustin Louis Cauchy生: 1789年8月21日，Paris卒: 1857年5月23日，法国SceauxCauchy时期正是清乾隆后期、嘉庆、道光和咸丰时期海军航空工程学院应用数学研究

54、所时宝第69页，共152页。Augustin Louis CauchyCauchy小的时候，由于法国大革命，生活很艰难，在他4岁时，他的父亲（律师，曾任法国参议院秘书长）带着全家离开Paris，去了Arcueil，不久，全家又返回Paris，父亲很注意Cauchy 的教育，Laplace和Lagrange是家里的常客，Lagrange还特别对Cauchy进行数学教育，告诉他的父亲，在学习数学之前，要注意打好语言基础1802年，Cauchy进入Ecole Centrale du Panthon学习了两年语言1805年，Cauchy经过Biot教授的严格考试并以第二名的成绩进入Ecole Poly

55、technique学习，在这里，他的数学分析老师是Ampre海军航空工程学院应用数学研究所时宝第70页，共152页。Augustin Louis Cauchy1807年，毕业后进入Ecole des Ponts et Chausses1810年，Cauchy在Cherbourg码头找到一份工作，为Napoleon进攻英国的舰队服务，得到Laplace的Mchanique Cleste和Lagrange的Thorie des Fonctions，这段时间是他非常忙的时期在繁忙的工作之余，Cauchy做着数学研究，1811年，他证明了凸多面体的角由它的面来决定，在Legendre的鼓励下，投出了第

56、一篇论文海军航空工程学院应用数学研究所时宝第71页，共152页。Augustin Louis Cauchy1812年（清嘉庆17年），他又投出了关于多边形和多面体的论文，给出了行列式的第一个系统的、几乎是近代的处理，并首先使用行列式一词，他系统地研究了行列式理论，用置换概念重新定义行列式Cauchy发现为了更好地从事数学研究，应该回到Paris，1812年9月，他回到了Paris回到Paris后，Cauchy研究了对称函数，并于1812年11月提交了论文，1815年发表在Journal of the Ecole Polytechnique上1814年（清嘉庆19年） ，他发表memoir on

57、 definite integrals，这成为复变函数论的基础海军航空工程学院应用数学研究所时宝第72页，共152页。Augustin Louis Cauchy1816年，由于在“波”方面的工作获法国科学院的大奖1817年，由于Biot离开Paris到Scotland的Shetland岛考察，Cauchy得到了在Collge de France的职位，在这里，他教他发现的、但未发表的积分法Cauchy是第一个严格研究无穷级数收敛的条件的，也是第一个严格研究积分定义的他在1821年（清道光元年）的著作Cours danalyse是Ecole Polytechnique的学生的必修课程，这本书尽可

58、能地给出了微积分学的基本定理1823年（清道光3年） ，Cauchy在“无穷小计算教程”中论述了反常积分海军航空工程学院应用数学研究所时宝第73页，共152页。Augustin Louis Cauchy1825年（清道光5年） ，他开始了对微分方程解的存在唯一性、解的延拓等问题进行研究1826年，他在论文Sur un nouveau genre de calcul analogue au calcul infintesimal中开始研究留数1829年，在Leons sur le Calcul Diffrential中第一次定义了复变函数的概念，并给出了Cauchy中值定理Cauchy的坚定的天

59、主教观点使得他与其他的科学家的关系不是很好，使得他与Acadmie des Sciences作对他将宗教观点带入了科学工作，例如，1824年在讲光的理论时攻击Newton不相信人有灵魂海军航空工程学院应用数学研究所时宝第74页，共152页。Augustin Louis Cauchy1830年9月，由于政治原因，在7月革命后，Cauchy决定离开Paris，在瑞士待了一段时间由于政治原因，需要向新政权宣誓，使得Cauchy失去了所有的职位1831年，到Turino，并于1832起得到了理论物理职位1833年，Cauchy从Turino到Prague追随 Charles X并做其孙子的家庭教师，然

60、而教这位王子并不成功在Prague期间的1834年（清道光14年） ，在Bolzano的要求下，Cauchy与他见了面，讨论了Cauchy定义的连续性是否应属于Bolzano，事实上，Cauchy比Bolzano要早海军航空工程学院应用数学研究所时宝第75页，共152页。Augustin Louis Cauchy1838年，Cauchy回到Paris，继续在科学院工作，但没有教学职位，因拒绝向新政权宣誓1839年，Cauchy得到Bureau des Longitudes的职位，但Poisson强烈反对，更由于拒绝宣誓，还是拿不到薪水，这期间，他在微分方程和数学物理应用方面做了很好的工作184