工程力学 第十章

1、1、应力状态概念，应力张量 第10章 应力状态分析2、坐标变换，平面应力分析3、主应力计算、最大切应力4、广义虎克定律5、应变比能 工程中通常从受力构件中的某点处，围绕该点取出一个正六面体微元作为应力状态单元体。 应力状态的概念及其描述( Three-Dimensional State of Stresses )三向（空间）应力状态yxz 应力状态的分类 ( Plane State of Stresses )平面（二向）应力状态xy 应力状态的分类xy单向应力状态( One Dimensional State of Stresses ) 应力状态的分类单向应力状态应力矩阵xy纯剪应力状态( S

2、hearing State of Stresses ) 应力状态的分类纯剪应力状态应力矩阵 三向应力状态 平面应力状态 单向应力状态纯剪应力状态特例特例 应力状态的分类低碳钢?韧性材料拉伸时为什么会出现滑移线？铸 铁 为什么要研究应力状态?为什么脆性材料扭转时沿45螺旋面断开？低碳钢铸 铁 为什么要研究应力状态拉 中 有 切根据微元的局部平衡 为什么要研究应力状态切 中 有 拉根据微元的局部平衡 为什么要研究应力状态 重要结论 不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在应力；不仅要研究横截面上的应力，而且也要研究斜截面上的应力。 为什么要研究应力状态应力的三个重要概念 应力的点的概念; 应力的面的概

3、念; 应力状态的概念. 为什么要研究应力状态 横截面上正应力分析和切应力分析的结果表明：同一面上不同点的应力各不相同，此即应力的点的概念。FNxFQ 为什么要研究应力状态 微元平衡分析结果表明：即使同一点不同方向面上的应力也是各不相同的，此即应力的面的概念。 为什么要研究应力状态 过一点不同方向面上应力的集合，称之为这一点的 应力状态（State of the Stresses of a Given Point）。应 力1.哪一个面上？哪一点？2.哪一点？哪个方向面？指明 应力状态的定义示例一：FPl/2l/2S平面 应力状态的描述原始应力单元体 建立原始应力状态单元体的过程543215432

4、112S平面示例一梁正面视图 横截面视图3 应力状态的描述原始应力单元体示例二FPlaS 应力状态的描述原始应力单元体 建立原始应力状态单元体的过程 固定端截面有三个内力分量FQyMxMzxzy4321S平面示例二 应力状态的描述原始应力单元体 找出危险点截面上的最大应力点yxzMzFQyMx4321143示例二 应力状态的描述原始应力单元体 平面应力状态分析 任意斜截面上的应力 平衡对象微元局部的平衡方程 平衡方程tyx 参加平衡的量dAqxy用 斜截面截取的微 元局部应力乘以其作用的 面积 平面应力状态分析 平衡原理的应用qqs-cos)cos(dAx-sqqydA(sin)sintyxd

5、Aq dA x+tqqdA(cos)sinxy+tqqdA(sin)cosyxxdAq 平面应力状态分析 平衡原理的应用-txy dA+sqqxdA(cos)sin+tqqxydA(cos)cos-sqqydA(sin)cos-tqqyxdA(sin)sintyxdAqdAq 平面应力状态分析 平衡原理的应用 利用三角恒等式，可以得到斜截面上应力 sx 和 txy 的方程写成 平面应力状态分析或写成拉为正 压为负 正 负 号 规 则 平面应力状态分析 正负号规则正 应 力切 应 力 使微元或其局部顺时针方向转动为正；反之为负。正负号规则 平面应力状态分析 正负号规则q 角yxq正负号规则 平面

6、应力状态分析 正负号规则 由 轴正向反时针转到 轴正向者为正；反之为负。Problem 3The First Kind of Exercise:The Analysis of the Stress-StateProblem: The element is shown in the figure blow and AC is a free surface (no stress in it). Determine :x and xy. Problem 3The First Kind of Exercise:The Analysis of the Stress-StateSolution：Us th

7、e coordinate conversion equation:xyBecause the section AC is free surface, we have xy30Problem 3The First Kind of Exercise:The Analysis of the Stress-State2、坐标变换，平面应力分析2.1. 应力的符号规定 正应力规定：拉应力为正，压应力为负。 切应力规定：微元面上的切应力使微元体做顺时针向转动为正。反之为负。2.2. 数学准备单位矢量 n：矢量 a 在 n 方向上的投影与 n 垂直方向上的单位矢量 txnyxnynananaanyxnt2.

8、3. 斜截面上的应力nxyxpyyxA考虑力平衡nxyxpyyxApypxxyxApxnxAnyAxyyApynxAnyA切向投影分量计算式nxyxpyayxA2.1. 应力的符号重新规定 在法线方向沿坐标轴正向的微元面上，与坐标正向相同的应力分量为正；反之为负。在法线方向沿坐标轴负向的微元面上，与坐标正向相反的应力分量为正。反之为负。xy拉应力为正，压应力为负。正应力分量由公式可得：nxyxpyayxA切应力分量xynxyxpyyxAnxyxpyyxaA切应力符号规定相反1. 正应力的极值2.4 主应力与主方向使法向应力取极值的角度应满足重要结论 主平面上切应力为零。2. 主平面上的切应力切

9、应力为零的截面就是主平面 ( principal plane )。主平面上的正应力称为主应力 ( principal stress )。重要结论 一定存在着相互正交的主方向。主平面的法线方向称为主方向 ( principal direction )。3. 主方向和主应力的计算方法1) 只求主应力时，可直接利用公式求出两个主方向 1 和 2 ；再将 1 和 2 分别代入即可求出相应的两个主应力。 2) 若主应力和主方向都需计算，则可先利用4. 主应力排序2 = 10 MPa3 = 01 = 15 MPa1 = 153 = 102 = 010151510例只有一个主应力不为零的应力状态称为单向应力

10、状态。有两个主应力不为零的应力状态称为双向应力状态。103 = 101 = 2 = 0求如图的纯剪状态的主应力和主方向。16451616计算举例：应力状态矩阵应力单位：MPa 还可根据静力平衡概念判断主方向与主应力的对应关系24.14.122.5112.5 2010求如图应力状态的主应力和主方向。计算举例：应力状态矩阵应力单位：MPa2.5 面内的最大切应力重要结论 具有最大切应力的微元面的法线方向与主方向相差 45。 使切向应力取极值的角度应满足xyxyxyxy2.5 面内的最大切应力主应力公式： 面内的切应力极值公式：面内的最大切应力公式：2.6 三向主应力状态下的最大切应力具有最大切应力

11、的表面上的正应力212113132323最大切应力：试求（1） 斜面上的应力； （2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。 （4）最大切应力。例题1：一点处的平面应力状态如图所示。 已知： 主应力、主方向、最大切应力 应力分析举例解：（1） 斜面上的应力 应力分析举例（使单元体逆时针转向）（2）主应力、主平面 应力分析举例主平面的方位：代入 表达式可知主应力 方向：主应力 方向： 应力分析举例（3）画出主应力单元体： 主应力、主方向、最大切应力 应力分析 举例（4）计算最大切应力： 主应力、主方向、最大切应力 应力分析 举例 应力圆的概念 应力圆方程 利用三角恒等式，可以将前面所得的关于

12、 sx 和 txy 的方程写成Rc 应 力 圆 应力圆方程 应 力 圆 几种对应关系二倍角对应 半径转过的角度是方向面法线旋转角度的两倍。转向对应 半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；点面对应 应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一方向面上的正应力和切应力；点 面 对 应caA 应 力 圆 几种对应关系C转向对应、二倍角对应yxq2qaAA a 应 力 圆 几种对应关系 在tx -sx坐标系中，标定与微元垂直的A、D面上 应力对应的点a和d 连 ad 交 sx 轴于c点，c即为圆心，cd或ca 为应力圆半径a(sx ,txy)d(sy ,tyx)cR 应力圆画法ADa(sx ,txy)d(sy

13、 ,tyx)c 应 力 圆 应力圆的画法ADttotxysxa (0,t )d(0,-t )ADbec245245sytsxtBE 应 力 圆 应力圆的应用sxtsytBEttBE 应 力 圆 应力圆的应用2.6 三向应力状态下的最大切应力 应力圆分析zpypxpIIIIIIs1s2s3sxtxttttmax=s1s2s3s2s1s2s3s1s3s2s1s2s3s1s3s1s3s2s3s2s13.1. 横向变形与泊松比-泊松比yx 各向同性材料的 广义胡克定律 3. 广义胡克定律3.2. 三向应力状态的广义胡克定律叠加法 各向同性材料的 广义胡克定律 广义胡克定律3.3.三个弹性常数之间的关系

14、 各向同性材料的 广义胡克定律 广义胡克定律 线弹性本构方程 Hookes law 根据单向拉压应力状态的应力张量，对各向同性材料可写出本构方程为：推广到考虑温度的本构方程 线弹性本构方程 Hookes law 将单向应力状态的结论推广到三向空间应力状态可得到广义胡克定律： 广义胡克定律各向同性材料的广义胡克定律 应用举例 广义胡克定律各向同性材料的广义胡克定律 应用举例3.4.直角应变花求主应力的公式：若 ，x轴方向与最大主应力方向的夹角 的计算公式如下：若4.1. 微元应变能(Strain Energy)dydxdz 应变比能 4. 应变比能dW= 应变比能 应变比能4.2. 应变比能(Strain-Energy Density) 应变比能 应变比能4.3. 体积改变比能与形状改变比能+令 应变比能 应变比能: Strain-Energy Density Corresponding to th