新高考高考数学一轮复习巩固练习5.3第44练《平面向量的数量积》（解析版）

1、第44练平面向量的数量积考点一平面向量数量积的基本运算1已知向量a，b满足|a|1，|b|2eq r(3)，a与b的夹角的余弦值为sin eq f(17,3)，则b(2ab)等于()A2 B1 C6 D18答案D解析由题意知cosa，bsin eq f(17,3)sineq blc(rc)(avs4alco1(6f(,3)sin eq f(,3)eq f(r(3),2)，所以ab|a|b|cosa，b12eq r(3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)3，b(2ab)2abb218.2已知|b|3，a在b上的投影向量为eq f(1,2)b，则ab的值为()A3 B.e

2、q f(9,2) C2 D.eq f(1,2)答案B解析设a与b的夹角为，|a|cos eq f(b,|b|)eq f(1,2)b，|a|cos eq f(1,blc|rc|(avs4alco1(b)eq f(1,2)，|a|cos eq f(3,2)，ab|a|b|cos 3eq f(3,2)eq f(9,2).3(2022德州模拟)在平行四边形ABCD中，已知eq o(DE,sup6()eq f(1,2)eq o(EC,sup6()，eq o(BF,sup6()eq f(1,2)eq o(FC,sup6()，|eq o(AE,sup6()|eq r(2)，|eq o(AF,sup6()|e

3、q r(6)，则eq o(AC,sup6()eq o(BD,sup6()_.答案eq f(9,2)解析eq o(DE,sup6()eq f(1,2)eq o(EC,sup6()，eq o(BF,sup6()eq f(1,2)eq o(FC,sup6()，eq o(AE,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(DE,sup6()eq o(AD,sup6()eq f(1,3)eq o(AB,sup6()，eq o(AF,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BF,sup6()eq f(1,3)eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()，而|eq o(AE,sup

4、6()|eq r(2)，|eq o(AF,sup6()|eq r(6)，eq blc|rc|(avs4alco1(o(AD,sup6()f(1,3)o(AB,sup6()eq r(2)，eq blc|rc|(avs4alco1(f(1,3)o(AD,sup6()o(AB,sup6()eq r(6)，eq o(AD,sup6()2eq f(2,3)eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(1,9)eq o(AB,sup6()22，eq f(1,9)eq o(AD,sup6()2eq f(2,3)eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AB,sup

5、6()26，两式相减得eq f(8,9)eq o(AD,sup6()2eq f(8,9)eq o(AB,sup6()24，eq o(AD,sup6()2eq o(AB,sup6()2eq f(9,2).eq o(AC,sup6()eq o(BD,sup6()(eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()(eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()2eq o(AB,sup6()2eq f(9,2).考点二平面向量数量积的应用4已知非零向量a，b的夹角为60，且|b|1，|2ab|1，则|a|等于()A.eq f(1,2) B1 C.eq r(

6、2) D2答案A解析由题意得ab|a|1eq f(1,2)eq f(|a|,2)，又|2ab|1，|2ab|24a24abb24|a|22|a|11，即4|a|22|a|0，又|a|0，解得|a|eq f(1,2).5已知|a|eq r(2)，|b|4，当b(4ab)时，向量a与b的夹角为()A.eq f(,6) B.eq f(,4) C.eq f(2,3) D.eq f(3,4)答案B解析根据题意，设向量a与b的夹角为，若b(4ab)，则b(4ab)4abb216eq r(2)cos 160，变形可得cos eq f(r(2),2)，又0，则eq f(,4).6(2022厦门模拟)向量a(1

7、,2)，b(x,1)若(ab)(ab)，则x等于()A2 Beq r(2) C2 D2答案C解析方法一ab(1x,3)，ab(1x,1)，因为(ab)(ab)，所以(ab)(ab)0，即(1x)(1x)30，解得x2.方法二因为(ab)(ab)，所以(ab)(ab)0，所以a2b20，所以|a|b|，所以x2.7若向量a，b的夹角是eq f(2,3)，a是单位向量，|b|2，c2ab，则向量c与b的夹角为_答案eq f(,3)解析因为向量a，b的夹角是eq f(2,3)，a是单位向量，|b|2，所以ab|a|b|cos eq f(2,3)12cos eq f(2,3)1.因为c2ab，所以|c

8、|eq r(2ab2)eq r(4a24abb2)eq r(444)2，cb(2ab)b2abb2242.设向量c与b的夹角为，其中0，则cos eq f(cb,|c|b|)eq f(2,22)eq f(1,2)，得eq f(,3).8已知eq o(OA,sup6()，eq o(OB,sup6()，eq o(OC,sup6()均为单位向量，且满足eq o(OA,sup6()2eq o(OB,sup6()2eq o(OC,sup6()0，则eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()的值为_答案eq f(5,8)解析eq o(OA,sup6()，eq o(OB,sup6()，eq o

9、(OC,sup6()均为单位向量，且满足eq o(OA,sup6()2eq o(OB,sup6()2eq o(OC,sup6()0故A，B，C三点围成ABC.设BC的中点为D，连接OA、OB、OC、OD.eq o(OA,sup6()2eq o(OB,sup6()2eq o(OC,sup6()0，eq o(OA,sup6()4eq o(OD,sup6()0故A、O、D三点共线，且AO4OD.OAOBOC1，故BOC为等腰三角形故有ODBC，即ADBC，且ODeq f(1,4)，AD1eq f(1,4)eq f(5,4)，BDeq r(OB2OD2)eq r(12blc(rc)(avs4alco1

10、(f(1,4)2)eq f(r(15),4)DC，eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()(eq o(AD,sup6()eq o(DB,sup6()(eq o(AD,sup6()eq o(DC,sup6()eq o(AD,sup6()2(eq o(DB,sup6()eq o(DC,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(DB,sup6()eq o(DC,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,4)20eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(15),4)2eq f(5,8).考点三平面向量的实际应用9.体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的

11、组成部分某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60，每只胳膊的拉力大小均为400 N，则该学生的体重约为(参考数据：重力加速度g10 m/s2，eq r(3)1.732)()A63 kg B69 kgC75 kg D81 kg答案B解析由题意知，G(F1F2)，所以G2(F1F2)240022400400cos 60400234002，即G400eq r(3) N，所以该学生的体重约为40eq r(3)401.73269(kg)10.“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，比毕达哥拉斯发现勾股定理早了

12、500多年如图，在矩形ABCD中，ABC满足“勾3股4弦5”，且AB3，BC4，E为AD上一点，BEAC，若eq o(BE,sup6()eq o(BA,sup6()eq o(BC,sup6()，则的值为()A.eq f(10,7) B.eq f(9,8)C.eq f(25,16) D.eq f(29,18)答案C解析以B为原点，以BC，BA所在直线分别为x轴，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，因为AB3，BC4，所以A(0,3)，B(0，0)，C(4,0)，则eq o(AC,sup6()(4，3)，设E(a,3)，则eq o(BE,sup6()(a,3)因为BEAC，所以eq o(AC,su

13、p6()eq o(BE,sup6()4a90，解得aeq f(9,4).由eq o(BE,sup6()eq o(BA,sup6()eq o(BC,sup6()，得eq blc(rc)(avs4alco1(f(9,4)，3)(0,3)(4,0)，所以eq blcrc (avs4alco1(4f(9,4)，,33，)解得eq blcrc (avs4alco1(1，,f(9,16)，)所以eq f(25,16).11(多选)(2022湖南三校联考)已知a，b是单位向量，且ab(1，1)，则()A|ab|2Ba与b垂直Ca与ab的夹角为eq f(,4)D|ab|1答案BC解析|ab|eq r(1212

14、)eq r(2)，故A错误；因为a，b是单位向量，所以|a|2|b|22ab112ab2，得ab0，a与b垂直，故B正确；|ab|2a2b22ab2，|ab|eq r(2)，故D错误；cosa，abeq f(aab,|a|ab|)eq f(a2ab,1r(2)eq f(r(2),2)，所以a与ab的夹角为eq f(,4)，故C正确12(多选)(2022福建三明一中模拟)八卦是中国文化的基本哲学概念，如图是后天八卦模型图，其平面图形记为图中的正八边形ABCDEFGH，其中OA1，则以下结论正确的是()A.eq o(HD,sup6()eq o(BF,sup6()0B.eq o(OA,sup6()e

15、q o(OD,sup6()eq f(r(2),2)C.eq o(OB,sup6()eq o(OH,sup6()eq r(2)eq o(OE,sup6()D|eq o(AH,sup6()eq o(FH,sup6()|eq r(2r(2)答案ABC解析正八边形ABCDEFGH被分成8个全等的等腰三角形，不妨取AOB，则AOBeq f(360,8)45，BOD2AOB90，即HDBF，eq o(HD,sup6()eq o(BF,sup6()0，即选项A正确；AOD3AOB135，eq o(OA,sup6()eq o(OD,sup6()11cos 135eq f(r(2),2)，即选项B正确；易知eq

16、 o(OB,sup6()eq o(OH,sup6()eq r(2)eq o(OA,sup6()eq r(2)eq o(OE,sup6()，即选项C正确；连接AF(图略)，|eq o(AH,sup6()eq o(FH,sup6()|eq o(FA,sup6()|，在等腰三角形AOF中，OAOF1，AOF135，由余弦定理知，FA2OA2OF22OAOFcosAOF11211eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)2eq r(2)，|eq o(AH,sup6()eq o(FH,sup6()|eq o(FA,sup6()|eq r(2r(2)，即选项D错误13(2022马鞍山模拟

17、)已知菱形ABCD的边长为2，BAD120，点E，F分别在边BC，DC上，eq o(BE,sup6()eq o(BC,sup6()，eq o(CF,sup6()eq o(CD,sup6()，01.若eq o(AE,sup6()eq o(BF,sup6()1，则实数_.答案eq f(r(2),2)解析由题意得，eq o(AE,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BE,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()，eq o(BF,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(CF,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(CD,sup6()，因为eq o(AE,sup6()eq o(BF,sup6()1，所以(eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()(eq o(BC,sup6()eq o(CD,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(CD,sup6()eq o(BC,sup6()22eq o(BC,sup6()eq o(CD,sup6()22cos 12044222cos 601，解得eq f(r(2),2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)舍去).14(2022嘉兴模