数学竞赛中代数式最值问题的解题策略

1、.：.；数学竞赛中代数式最值问题的解题战略：422200 湖南隆回一中 邹启文: Zouqiwen126 数学竞赛中最值问题，有一定难度，但只需我们去仔细的分析，仔细地思索，不论问题再难，其实万变不离其宗，总离不开所学过的知识点和根本方法。如不等式法包含非负数性质0，0， 0，一元二次方程判别式0，整体大于部分等等，公式法包括二次函数顶点坐标公式、三角函数公式、完全平方公式等等，区间取值法包括一次函数线段端点取值与曲线在某区间内的最值求取等等，在求解方法上也有其规律性，如夹逼法、递推法、枚举法、放缩法、排序法，还有转化为几何图形法等等。近两年来的各级各类初中数学竞赛中

2、的最值问题，在题型上已呈现出一个崭新的情势，其变化之多、涉及面之广、方式之灵敏可谓到达了空前的程度，同时最值的求法也有了较大的拓展，突破了原有的思想定势，但依然是有章可循的。例1：知设、均为延续正整数，且，+， +=2005，那么的最大值是最小值2005年自编题分析：这是一道须利用不等式求解的试题，由于有+=2005，所以该当想到这些数的平均数必与中位数接近，于是可由此确定的数值或范围。然后再求的最大与最小数值。解：由题意可设+=1+2+3+=2005，由高斯求和公式可得，解得，但当时当时，195320052021，且是整数，62或63，我们又察看到平均值，且5和401都是质数，显然不能够是4

3、01，只能够是5，故有+=2005又平均数+=401，且、均为延续正整数和，即当，时，恰有，于是的最大值是403，最小值399。【注】：由于此题中关键的是平均数与中位数关系的合理运用，、是按从小到大的顺序陈列的，在否认了、是从1起的整数后，我们也可察看到+=2005的平均数与中位数相等，所以也可以用枚举法确定=403与=399的大小，例2、假设、是实数，满足+=，那么的最大值是2004年全国希望杯初中数学约请赛试题分析：这是一道知条件中含有二次项的求其中某未知量最大值的典型题，由于此题知、是实数，那么由实数的意义可联想到、是可开方的，因此应该想到、在某一未知数为主元的一元二次方程的判别式0，于

4、是应想方法将两个等式转化为一元二次方程。解：+=， 那么=-， ，即又、是实数，=0， 即得-1， 于是的最大值为【注】：此题中虽然只需求同窗们求的最大值，但实践上还存在最小值，同时其它未知量也可用同样的方法求出它们的最值。例3、假设，那么的最小值是，最大值是2004年全国希望杯初中数学约请赛试题分析：此题是含有绝对值符号的最值题，要求的最大值，普通来说应有、的其它条件存在，但题中并没有反映出来，所以我们必需用函数的有关知识在这个等式中寻觅、的条件。解：，同理有，同样有，又的积为36=应取，相应的取值范围是，其最小值为=-6其最大值为=【注】：此题实践上是根据一次函数的取值范围求代数式最值的，

5、标题把它们的取值范围隐藏在等式的绝对值中，如，因此拓展了求最值的思想。例4、知0，0，0，且，求的最小值。2004年“TRULY信利杯全国初中数学竞赛试题分析：此题是一道利用完全平方的性质求解的典例，虽然根据平方根的意义只需0，但有了等式右边就不一定是以0为最小值了，所以必需将转换为完全平方的方式。解：，两边同时平方得展开得，化简后从而有又=，由于0，当取最大值0时，值最小，且最小值是=，于是的最小值为4【注】：此题很容易被二次根式中必有0所迷惑，以为0中0就是它的最小值，其实不然。例5、假设为正实数，且，那么的最小值是首届创新杯全国数学约请赛第二试试题分析：从代数式的方式可知，求它们的和实践

6、上是求两个Rt的斜边的和，所以可转化为几何图形进展分析，是转化为几何图形求解。FE解：设AB=4，AP=，PB=，AE=1，BD=2CPBACE=，CD=D=PE+PDCE+CD=DE=5故的最小值是5【注】：有时还可将在直线同旁的点经过反射变换，将点描在直线的两旁求和的大小。综上所述，虽然竞赛题在题型上呈现出了一个崭新的景象，涉及面广、方式灵敏、且变化莫测，使人感到难以捉磨。即使标题中的最值求法实现了极大的拓展，我们也不能感到畏惧，只需我们在平常养成全面且严密的逻辑思想习惯，解题时持谨慎的态度，那么问题就会在他的努力下胜利地获得处理。有兴趣吗？试试看，请作下例各题。1、设、均为正整数，且，+

7、， +=220，当+的值最大时，求-的最小值。2004年全国初中数学联赛试题2、假设x、y、z为实数，且x2xyy2=z，x3y3=z2，求z能够取的最大值。希望杯全国数学约请赛试题 3、设x为实数，求的最小值选编4、知，求的最大值与最小值。选编5、假设、为正实数，且，那么的最小值是选编答案与提示：1、由于+=220，所以其平均数为+=220，即。又因有存在，即、是按从小到大的顺序陈列的，故其中位数为该当满足2425且是整数，所以=24或25，当=24时，由于，所以有最大值为20，有最小值为29，恰有20+21+22+23+24+25+29=220，于是-的最小值为-=9。显然=25是不合题意的，于是只能等于24。2、想方法消去X或Y变为以Y或X为主元的一元二次方程，再用判别式0求之，答案为4。3、当，的最小值为4，当-4-2，的最小值为2，当=-3时的最小值为0。故当=-3时，原式的最小值为=4+2+0=64、，即，当时，有最大值当时，有最