第09微分方程初值问题数值解法方法

1、插 值 法主讲教师：刘春凤微分方程组迭代解法第 九 章 常微分方程解法回顾 (1)变量可分离的方程 (2)一阶线性微分方程(贝努力方程) (3)可降阶的一类高阶方程 (4)二阶常系数齐次微分方程 (5)二阶常系数非齐次微分方程 (6)全微分方程 龙格库塔方法改进的欧拉法欧拉法线性多步法 微分方程组数值解法13425第九章 微分方程组迭代解法一、 欧拉(Euler)方法问题引出与问题引出欧拉方法几何意义 许多实际问题的数学模型是微分方程或微分方程的定解问题,如物体运动,电路震荡,化学反映及生物群体的变化等. 能用解析方法求出精确解的微分方程为数不多,而且有的方程即使有解析解,也可能由于解的表达式

2、非常复杂而不易计算,因此有必要研究微分方程的数值解法 一、引 言引 言本章重点 研究一阶常微分方程的初值问题的数值解本章假定研究重点初值问题数值解的提法初值问题数值解的提出建立微分方程数值解法,首先要将微分方程离散化.一般采用以下几种方法:(1) 用差商近似导数 二、建立数值解法的常用方法数值解法的建立方法(2) 用数值积分近似积分实际上是矩形法宽高常用方法数值解法的建立方法(3) 用Taylor多项式近似并可估计误差数值解法的建立方法用差商近似导数问题转化为Euler方法的迭代公式 三、Euler方法欧拉方法例1解初值问题的迭代公式为:典型例题用求根公式求解初值问题Clearx,y,hh=0

3、.1;xn_:=n*h;DSolveyx=yx-2x/yx,y0=1,yx,xTable%/.x-xn,n,1,6;MatrixForm%y0 - 1y0.1 - 1.09545y0.2 - 1.18322y0.3 - 1.26491y0.4 - 1.34164y0.5 - 1.41421y0.6 - 1.48324求微分方程的解Mathematica程序精确解利用数学实验求解Cleara,b,x,yx0=0;y0=1;h=0.1;xn_:=n*h;fu_,v_:=v-2u/vK1n_:=fxn-1,yn-1yn_:=yn-1+h*K1n;Tablexn,yn,n,0,8/N;MatrixFo

4、rm%0 1.0.1 1.10.2 1.191820.3 1.277440.4 1.358210.5 1.435130.6 1.508970.7 1.580340.8 1.64978运行结果Mathematica程序利用数学实验完善用欧拉公式求解初值问题近似解精确解0 1.0.1 1.10.2 1.191820.3 1.277440.4 1.358210.5 1.435130.6 1.50897y0 - 1y0.1 - 1.09545y0.2 - 1.18322y0.3 - 1.26491y0.4 - 1.34164y0.5 - 1.41421y0.6 - 1.48324结果比较利用数学实验完

5、善例2解初值问题的迭代公式为:典型例题用求根公式求解初值问题Clearx,y,hh=0.1;xn_:=n*h;DSolveyx=(2/3)*x/(yx)2,y0=1,yx,xTable%/.x-xn,n,0,10;MatrixForm%y0 - 1y0.1 - 1.00332y0.2 - 1.01316y0.3 - 1.02914y0.4 - 1.05072y0.5 - 1.07722y0.6 - 1.10793Mathematica程序利用数学实验完善Cleara,b,x,yx0=0;y0=1;h=0.1;xn_:=n*h;fu_,v_:=(2/3)u/v2;K1n_:=fxn-1,yn-1yn_:=yn-1+h*K1n;Tablexn,yn,n,0,6/N;MatrixForm%0 1.0.1 1.0.2 1.006670.3 1.019820.4 1.039050.5 1.063750.6 1.09321Mathemati