高三一轮数学（文）总复习-§2.32次函数与幂函数【系列三】

1、第二章 函数高考文数2.3二次函数与幂函数知识清单考点一二次函数1.图象及性质解析式f(x)=ax2+bx+c(a0)f(x)=ax2+bx+c(a0)在m,n上的最值问题:(1)hm,n时,ymin=f(h),ymax=maxf(m), f(n).(2)hm,n时,当hn时, f(x)在m,n上单调递减,ymin=f(n),ymax=f(m). a00=00(-,x1)(x2,+)R二次不等式ax2+bx+c0(x1,x2)4.三个“二次”的关系考点二幂函数1.幂函数的定义一般地,形如y=x的函数叫做幂函数,其中x是自变量,是常数.2.幂函数的图象如图(五种幂函数的图象):3.幂函数y=x,

2、y=x2,y=x3,y=,y=x-1的性质 y=xy=x2y=x3y=y=x-1定义域RRR0,+)(-,0)(0,+)值域R0,+)R0,+)(-,0)(0,+)奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(-,0)上递减,(0,+)上递增增增(-,0)上递减,(0,+)上递减定点(0,0),(1,1)(1,1)ax2+bx+c0,xR恒成立,需满足或a=0,b=0,c0.ax2+bx+c0)在xm,n上恒成立,需满足ax2+bx+c0(a0,xR恒成立,需满足或a=0,b=0,c0. 二次函数的区间最值问题的解法二次函数的区间最值问题一般有三种情况:(1)对称轴、区间都是给定的;(2)对称轴动,区间固定

3、;(3)对称轴定,区间变动.解决这类问题的思路是抓住“三点一轴”数形结合,三点是指区间的两个端点和中点,一轴是指对称轴,结合配方法,根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成.对于(2)、(3)两种情况,通常要分对称轴与x轴交点的横坐标在区间内与在区间外进行讨论.方法技巧方法1例1(2016皖北第一次联考,8)已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间0,1上的最大值为2,则a的值为(D)A.2B.-1或-3C.2或-3D.-1或2解题导引对函数图象的对称轴进行讨论确定函数在0,1上的单调性结合已知求a的值解析函数f(x)=-(x-a)2+a2-a+1图象的对称轴为x=a,且开口向下,分三种

4、情况讨论如下:当a0时,函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间0,1上是减函数,f(x)max=f(0)=1-a,由1-a=2,得a=-1.当0a1时,函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间0,a上是增函数,在(a,1上是减函数,f(x)max=f(a)=-a2+2a2+1-a=a2-a+1,由a2-a+1=2,解得a=或a=,01时,函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间0,1上是增函数,f(x)max=f(1)=-1+2a+1-a=2,a=2.综上可知,a=-1或a=2. 解决一元二次方程根的分布问题的方法对方程根的分布问题,一般结合二次函数的图象从四个方面分析:(1)开口方向

5、;(2)对称轴位置;(3)判别式;(4)端点函数值.例2设二次函数f(x)=x2+ax+a,方程f(x)-x=0的两根x1和x2满足0 x1x21.(1)求实数a的取值范围;(2)试比较f(0)f(1)-f(0)与的大小,并说明理由.方法2解析(1)令g(x)=f(x)-x=x2+(a-1)x+a,则由题意可得0a3-2.故所求实数a的取值范围是(0,3-2).(2)f(0)f(1)-f(0)=2a2,令h(a)=2a2.函数h(a)=2a2在(0,+)上单调递增,当0a3-2时,0h(a)h(3-2).又2(3-2)2=2(17-12)=,f(0)f(1)-f(0)0时,图象经过点(0,0)

6、和点(1,1),在第一象限的部分“上升”;1时,曲线下凹,01时,曲线上凸,0.30.2B.1.250.2D.1.70.30.93.1(2)(2016山东潍坊模拟,5)函数f(x)=-的零点个数为(B)A.0B.1C.2D.3解题导引(1)A、B项利用幂函数的单调性进行比较 C项化为同底比较 D项利用中间项进行比较 (2)作y=,y= 的图象 图象的交点个数即为函数f(x)的零点个数解析(1)A中,函数y=x0.2在(0,+)上为增函数,0.20.3,0.20.2;C中,0.8-1=1.25,y=1.25x在R上是增函数,0.10.2,1.250.11.250.2,即0.8-0.11,0.93.10.93.1.故选D.(2)令f(x)=0,得=,在同一平面直角坐标系中分别画出函数y=与y=的图象.如图所示.由图可知两函数图象有1个交点,故f(x)的零点只有一个,故选B.规律总结1.比较幂值大小的常见类型及解决方法(1)同底不同指,可以利用指数函数单调性进行比较.(2)同