高二数学上册重难点突破：专题01 通过空间向量解决立体几何中的角度问题（高考真题专练）（解析版）

1、 34/34专题01 通过空间向量解决立体几何中的角度问题（高考真题专练）题型一 直线与平面所成的角1（2020海南）如图，四棱锥的底面为正方形，底面设平面与平面的交线为（1）证明：平面；（2）已知，为上的点，求与平面所成角的正弦值【解答】（1）证明：过在平面内作直线，由，可得，即为平面和平面的交线，平面，平面，又，平面，平面；（2）解：如图，以为坐标原点，直线，所在的直线为，轴，建立空间直角坐标系，为上的点，则，0，0，1，0，1，作，则为平面与平面的交线为，因为，是等腰直角三角形，所以，0，则，0，1，1，设平面的法向量为，则，取，可得，0，与平面所成角的正弦值为2（2020山东）如图，四

2、棱锥的底面为正方形，底面设平面与平面的交线为（1）证明：平面；（2）已知，为上的点，求与平面所成角的正弦值的最大值【解答】解：（1）证明：过在平面内作直线，由，可得，即为平面和平面的交线，平面，平面，又，平面，平面；（2）如图，以为坐标原点，直线，所在的直线为，轴，建立空间直角坐标系，则，0，0，1，0，1，设，0，0，1，1，设平面的法向量为，则，取，可得，0，与平面所成角的正弦值为，当且仅当取等号，与平面所成角的正弦值的最大值为3（2020天津）如图，在三棱柱中，平面，点，分别在棱和棱上，且，为棱的中点（）求证：；（）求二面角的正弦值；（）求直线与平面所成角的正弦值【解答】解：以为原点，的

3、方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则，0，0，2，0，0，2，0，0，1，（）证明：依题意，1，；（）依题意，0，是平面的一个法向量，2，0，设，为平面的法向量，则，即，不妨设，则，二面角的正弦值；（）依题意，2，由（）知，为平面的一个法向量，直线与平面所成角的正弦值为4（2021浙江）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，分别为，的中点，（）证明：；（）求直线与平面所成角的正弦值【解答】（）证明：在平行四边形中，由已知可得，由余弦定理可得，则，即，又，平面，而平面，；（）解：由（）知，平面，又平面，平面平面，且平面平面，且平面，平面，连接，则，在中，可得，又，在中，求得，取

4、中点，连接，则，可得、两两互相垂直，以为坐标原点，分别以、为、轴建立空间直角坐标系，则，2，0，又为的中点，平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，则故直线与平面所成角的正弦值为5（2018浙江）如图，已知多面体，均垂直于平面，（）证明：平面；（）求直线与平面所成的角的正弦值【解答】证明：平面，平面，又，同理可得：，又，平面解：取中点，过作平面的垂线，交于，以为原点，以，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：则，0，0，0，设平面的法向量为，则，令可得，1，设直线与平面所成的角为，则直线与平面所成的角的正弦值为题型二 二面角的平面角及求法6（2021新高考）在四棱锥中，底面是正方形，若

5、，（）求证：平面平面；（）求二面角的平面角的余弦值【解答】（）证明：中，所以，所以；又，平面，平面，所以平面；又平面，所以平面平面（）解：取的中点，在平面内作，以为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则，0，1，0，因为平面，所以平面的一个法向量为，0，设平面的一个法向量为，由，2，得，即，令，得，所以，2，；所以，所以二面角的平面角的余弦值为7（2020新课标）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，是底面的内接正三角形，为上一点，（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值【解答】解：（1）不妨设圆的半径为1，在中，故，同理可得，又，故平面；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则

6、有，1，故，设平面的法向量为，则由，得，取，则，所以平面的法向量为，由（1）可知平面，不妨取平面的法向量为，故，即二面角的余弦值为8（2019新课标）如图，长方体的底面是正方形，点在棱上，（1）证明：平面；（2）若，求二面角的正弦值【解答】证明：（1）长方体中，平面，平面解：（2）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，平面，则，1，1，1，0，0，面，故取平面的法向量为，0，设平面的法向量，由，得，取，得，二面角的正弦值为9（2021天津）如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱，的中点（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求二面角的正弦值【解答】（1）证明：以点

7、为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，0，1，2，故，设平面的法向量为，则，即，令，则，故，又，2，2，所以，则，又平面，故平面；（2）解：由（1）可知，则，故直线与平面所成角的正弦值为；（3）解：由（1）可知，设平面的法向量为，则，即，令，则，故，所以，故二面角的正弦值为10（2021北京）已知正方体，点为中点，直线交平面于点（1）求证：点为中点；（2）若点为棱上一点，且二面角的余弦值为，求【解答】（1）证明：连结，在正方体中，平面，平面，则平面，因为平面平面，所以，则，故，又因为，所以四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，所以，而点为的中点，所以，故，则点为的中点；（2）解：以点为

8、原点，建立空间直角坐标系，如图所示，设正方体边长为2，设点，0，且，则，2，1，1，故，设平面的法向量为，则，即，所以，故，设平面的法向量为，则，即，所以，故，因为二面角的余弦值为，则，解得，又，所以，故11（2021乙卷）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为中点，且（1）求；（2）求二面角的正弦值【解答】解：（1）连结，因为底面，且平面，则，又，平面，所以平面，又平面，则，所以，又，则有，所以，则，所以，解得；（2）因为，两两垂直，故以点位坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，则，0，所以，设平面的法向量为，则有，即，令，则，故，设平面的法向量为，则有，即，令，则，故，所以，设二面角的平面角为，

9、则，所以二面角的正弦值为12（2021甲卷）已知直三棱柱中，侧面为正方形，分别为和的中点，为棱上的点，（1）证明：；（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小？【解答】（1）证明：连接，分别为直三棱柱的棱和的中点，且，即，故以为原点，所在直线分别为，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，0，2，1，2，设，则，0，2，1，即（2）解：平面，平面的一个法向量为，0，由（1）知，1，1，设平面的法向量为，则，即，令，则，当时，面与面所成的二面角的余弦值最大，此时正弦值最小，故当时，面与面所成的二面角的正弦值最小13（2019新课标）如图，直四棱柱的底面是菱形，分别是，的中点（1）证明：平面

10、；（2）求二面角的正弦值【解答】（1）证明：如图，过作，则，且，又，四边形为平行四边形，则，由，为中点，得为中点，而为中点，则四边形为平行四边形，则，平面，平面，平面；（2）解：以为坐标原点，以垂直于的直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，1，设平面的一个法向量为，由，取，得，又平面的一个法向量为，二面角的正弦值为14（2021新高考）如图，在三棱锥中，平面平面，为的中点（1）证明：；（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，且二面角的大小为，求三棱锥的体积【解答】解：（1）证明：因为，为的中点，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以；（2）方法一：

11、取的中点，因为为正三角形，所以，过作与交于点，则，所以，两两垂直，以点为坐标原点，分别以，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，则，1，设，0，则，因为平面，故平面的一个法向量为，设平面的法向量为，又，所以由，得，令，则，故，因为二面角的大小为，所以，解得，所以，又，所以，故方法二：过作，交于点，过作于点，连结，由题意可知，又平面所以平面，又平面，所以，又，所以平面，又平面，所以，则为二面角的平面角，即，又，所以，则，故，所以，因为，则，所以，则，所以，则，所以15（2020江苏）在三棱锥中，已知，为的中点，平面，为中点（1）求直线与所成角的余弦值；（2）若点在上，满足，设二面角的大小为，求

12、的值【解答】解：（1）如图，连接，为的中点，以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴建立空间直角坐标系，则，0，0，2，0，是的中点，1，设直线与所成角为，则，即直线与所成角的余弦值为；（2），设，则，设平面的一个法向量为，由，取，得；设平面的一个法向量为，由，取，得16（2020新课标）如图，在长方体中，点，分别在棱，上，且，（1）证明：点在平面内；（2）若，求二面角的正弦值【解答】（1）证明：在上取点，使得，连接，在长方体中，有，且又，四边形和四边形都是平行四边形，且，且又在长方体中，有，且，且，则四边形为平行四边形，且，又，且，且，则四边形为平行四边形，点在平面内；（2）解：在长方体中，以为

13、坐标原点，分别以，所在直线为，轴建立空间直角坐标系，1，0，1，1，则，设平面的一个法向量为则，取，得；设平面的一个法向量为则，取，得设二面角为，则二面角的正弦值为17（2019天津）如图，平面，（）求证：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值；（）若二面角的余弦值为，求线段的长【解答】（）证明：以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴建立空间直角坐标系，可得，0，0，2，1，0，设，则，2，则是平面的法向量，又，可得又直线平面，平面；（）解：依题意，设为平面的法向量，则，令，得直线与平面所成角的正弦值为；（）解：设为平面的法向量，则，取，可得，由题意，解得经检验，符合题意线段的长为18（2019新

14、课标）图1是由矩形、和菱形组成的一个平面图形，其中，将其沿，折起使得与重合，连结，如图2（1）证明：图2中的，四点共面，且平面平面；（2）求图2中的二面角的大小【解答】证明：（1）由已知得，确定一个平面，四点共面，由已知得，面，平面，平面平面解：（2）作，垂足为，平面，平面平面，平面，由已知，菱形的边长为2，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所求的空间直角坐标系，则，1，0，0， ，0，设平面的法向量，则，取，得，6，又平面的法向量为，1，二面角的大小为19（2018新课标）如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点（1）证明：平面平面；（2）当三棱锥体积最大时

15、，求面与面所成二面角的正弦值【解答】解：（1）证明：在半圆中，正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，平面，则，平面，平面，平面平面（2）的面积为定值，要使三棱锥体积最大，则三棱锥的高最大，此时为圆弧的中点，建立以为坐标原点，如图所示的空间直角坐标系如图正方形的边长为2，1，0，则平面的法向量，0，设平面的法向量为，则，2，1，由，令，则，即，0，则，则面与面所成二面角的正弦值20（2018新课标）如图，在三棱锥中，为的中点（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值【解答】（1）证明：连接，是的中点，且，又，则，则，平面；（2）建立以坐标原点，分别为，轴的空间直角坐标系如图：，0，2，0，2，设，则，则平面的法向量为，0，设平面的法向量为，则，则，令，则，即，二面角为，即，解得