2020年高考热点利用导数解决函数与方程的根的问题

1、试卷第 页，总3页C1试卷第 页，总3页、单选题1.已知函数f x则实数的取值范围是（B.2.已知函数ln x值范围为（A. 0,eB.3.若函数f （x）A.0,24.A.导函数解决方程的根的问题（其中无理数2.718），关于x的方程f f2,C.D.有四个不等的实根, f x2ax0,2e.24axln xC. e,2x ,若方程D.aln x 一 （a为常数）存在两条均过原点的切线,1B,2,C. (,0)恰有三个不相等的实根，则 a的取若关于x的方程等 J e xx 1 ex :em 0有三个不等的实数解2.71828.L为自然对数的底数，则Xiex12m-x2mex2B. e2C.

2、m5.已知关于x的方程0,11a的取值范围是（-1,A.2 -,e 1eB.3,e 1C.6.已知函数f xx ln x(a 0),若不等式3A. ln 2,-ln 32B.3-ln3,4ln 22C.7.已知函数f xln x2ax 2 a xf x g Xo 在0,1上有实数根，则实数0,1 e则实数D.的取值范围是(0,1)X1,X2,X3，且 Xi 0 X2 X3,其中 m r,X3ex3若对任意的1一，e em的值为（）D.D.,该方程总存在唯一的实数解，则实数1,ex 2仅有两个整数解，则实数a的取值范围是（3ln 2,-ln 32a的取值范围为（D 3 ln 3,4ln22,对任

3、意的Xo0,2 ,关于x的方程（其中e 2.71828L为自然对数的底数）A.0,1 eB.D,”2e8.已知关于x的方程2x emF有3个不同的实数解，则 em的取值范围为（A.B.3,C.27427D.49.己知axIn xx In x的图象有三个不同的公共点,则实数a的取值范围是A.1 22,-rB.,1C.D.1,V210.已知函数fx e2 x1,x4x3,xkx与fx有三个公共点，则实数k的取值范围是（A,273 4,eB,273 4,00,eC. 2M 4,11,e 1D.2.3 4,00,11,e 111.已知函数fIn x2a.若不等式0的解集中整数的个数为3,则a的取值范围

4、A. 1 ln3,0B.1 ln3,2ln 2C. 1 ln3,1 ln2 D, 0,1 ln 212.已知 f(x)(axln x1)( x ln x1）与g（x） x2的图像至少有三个不同的公共点,则实数a的取值范围1 222, 22,12 , C t，1D. (1,扬13.已知定义在R上的函数2 时，f x若关于x的方程22有三个不相等的实数根，则实数 k的取值范围是A.1,0 U0,1B.1,01,C.e,0 U 0,eD.e,0U e,14.已知函数f(x)ln x与函数g(x) ex22x ax的图象上存在关于y轴对称的点，则实数 a的取值范围为（A. (, eB.(,11C- (

5、, 21D.(，- e15.若曲线Ci： y=ax2（x0）与曲线C2： y=ex存在公共点，则实数 a的取值范围为（2A2，)2 eB. (0,382 e D. (0,e-416.定义方程ff X的实数根Xo叫做函数f x的新驻点”，若函数 g x x, h x ln x 1 ,A.3x x 1的新驻点”分别为的大小关系为(17.已知函数f(x)B.C.D.e 1A.,e3B.18.已知函数数a的取值范围是(A.,e16B.19.已知函数的图像上，则1 3、A- (3,4)20.已知关于围是()ex,f(x 1),e 1,e27x xln x,x,0 x ln xC.2x, x 023x x

6、, x2k的取值范围是(1 3、B. (2,4)x 的方程f(x)2 kf (x)A. (, 2)U(2,)4B.-e若方程f (x)kx1有两个不同实根，则实数k的取值范围为(C.?11,eD.e 1e ,1 U 1,e 12令函数g x,0 U 196,eD.a,若函数g x有两个不同零点,0 U 196,e的图像上有且仅有四个不同的关于直线y 1对称的点在g(x)1C. (-,1)31(2,1)则实kx 10恰有四个不同的实数根，则当函数2 xf(x) xe时，实数k的取值范C.-82,2eD.2,42e本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考答案第 页，总22页本卷由系统自动

7、生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考答案第 页，总22页1. C【解析】【分析】利用导数研究f x的单调性和极值，由此画出f x的图像.令tJf x ,将方有四个不等的实根转化为t2 t 10，i，e,上各有一实根来求解,结合二次函数的根的分布列不等式,解不等式求得的取值范围.依题意可知函数xe ,、-2的定义域为x,00,.且 fxe x3x2.所以f x 在 ,0,2,上递增，在 0,2上递减，且f 22e ，-,由此回出4x的图像如下图所示.Jf x ,则t g x的单调性与f x相同，且关于x的方程二 有四个不等的实根，所以tf x即t2,|e，2,2上各有一实根.令h t tt 1,

8、h 0 10,e所以h -22 .所以实数 e的取值范围是故选:C本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查根据方程零点的个数求参数的取值 范围，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题B【解析】【分析】ln x 4axln x由题意可将方程转化为 U 2a 空x 2,令txx 0,1 U 1, ，进而x In xx将方程转化为 t x 2 t x 2a 0 ,即t x 2或t x 2a ,再利用t x的单调性与最值即可得到结论.【详解】由题意知方程f x g x在0,1 U 1, 上恰有三个不相等的实根，4ax2即 ln x 2ax 2x ,.ln x TO

9、C o 1-5 h z In x4ax因为x 0,式两边同除以x,得 2a 2.xln xIn x 八 4ax一所以万程2a2 0有三个不等的正实根. x ln x、一 ln x4a记t x ，x 0,1 U 1,则上述方程转化为t x 2a ；一 2 0.xt x即 t x 2 t x 2a 0,所以 t x一1 ln x因为t x2，当x 0,1 U 1,e时x调递增，且x 0时，t x .当 x e, 时，t x 0, t x 在 e,所以当x e时，t x取最大值1,当t x e所以t x2a恰有两个不相等的实根，所以故选：B.2 或 t x 2a.t x 0,所以t x在0,1 ,

10、1,e上单上单调递减，且x 时，t x 0.2 ,有一根.10 a 1.2e【点睛】 本题考查了函数与方程的关系，考查函数的单调性与最值，转化的数学思想，属于中档题A【解析】【分析】a 设切点坐标x0,ln x0 一，利用两点连线斜率公式和导数的几何意义表不出切线斜率,xox xln x存在两个不同的交点;从而可得2a xo Xoln Xo,将问题转化为y 2a与g x通过导数研究g x的图象，从而得到所求范围.【详解】1 a由题意得：f x定义域为0, ，且f x - -Or x x设切点坐标为：x0,ln x0 - , % 0 xo则过原点的切线斜率:ln x0 x01 a ,整理得：2a

11、 x0 x0 ln x0一 2x xQ存在两条过原点的切线2a x0 % ln x存在两个不同解设g x x xlnx,则问题等价于 y 2a与y g x存在两个不同的交点又 g x 1 ln x 1 ln x当x 0,1时，g x 0, g x单调递增；当x 1, 时，g x 0, g x单调递减 g x max g 11又当x 0时，g x 0；当x 时，g x若y 2a与y g x存在两个不同的交点，则 0 2a 1解得：a02本题正确选项：A【点睛】本题考查根据方程解的个数求解参数范围的问题,关键是能够将问题转化为平行于x轴的直线与曲线的交点个数问题，通过导数研究曲线的图象，通过数形结

12、合的方式来确定交点个数, 从而得到参数范围.Bxo根据所给的万程的特征，令 t进行换元，方程转化为t2 (m 1)t m e 0,画出函数 eg(x)x二的图象，利用函数的图象和所求的代数式特征，求出所求代数式的值.ext，所以由二 ex 1exx em 0可得 t2 (m 1)t me 0,x设 g(x) ,g (x)e1 x当ex，x 1时，g(x)0,所以函数x当x 1时，g (x) 0,所以函数g(x) =单调递增，而(0) e. xg(x) x单调递减， e-，/、 1 ，0,g(1) - ,显然当xe0时,0 x2X3,结合函数图象可知，只需关于t的方程t2 (m 1)tm e 0

13、有两个不相等的实数根t1,t2 ,且工 ex1*21, ex2X3x3et2，x2ex2t1m t2x37 me 3 TOC o 1-5 h z 22 HYPERLINK l bookmark32 o Current Document ti m 12 m 也 m 11t2m (e m) m(1 m) me,24 1 i 与 ie2.ex1ex2ex3故选：B【点睛】本题考查了函数与方程思想，考查了数形结合思想，属于中档题.B【解析】由 x2ex t a 0 成立，得 x2ex a t ,设 f xx2ex, x 1,1,贝u f x2xex x2ex ex(x2 2x)则x 1,0)时，f x

14、 0,函数单调递减；x (0,1时，f x 0,函数单调递增； TOC o 1-5 h z 1 且 f 1-,f(0) 0, f(1) e,e使得对于任意x 1,1,对任意的t 1,3,方程x2ex t a 0存在唯一的解，11贝U f ( 1) a t f (1),即一a t e,即一t a e t ,ee1所以3 a e 1 ,所以实数a得取值范围是(3,e 1,故选B. ee点睛：本题主要考查了导数在函数中的综合应用问题，其中解得中涉及到利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的最值和函数与方程等知识点的综合应用，试题有一定的难度，属于难题，解答中把方程x2ex t a 0存在唯一的解

15、转化为函数的最值问题是解答的关键.C【解析】【分析】 TOC o 1-5 h z 11nx1根据题意求出f x ，令f x 0可得x -,讨论a的取值范围，求出函数的ae单调区间，由题意f x 2有两个整数解为1,2,由f 10,可得f 22且f 32,解不等式组即可. TOC o 1-5 h z x ln x11nx1已知f x ，则f x 0 ,即x -,aae当a 0时，x HYPERLINK l bookmark34 o Current Document c 1c.0, , f x 0, f x单调递减, e1x -, 时，f x 0, f x单调递增, e且f 10,则f x2有两个

16、整数解为1, 2,所以21n 2 a3 .一3. .2且一1n32,解得 a 1n 2,-ln 3 , a2故选：c.【点睛】本题考查了导数在研究函数单调性的应用，考查了分类讨论的思想，属于中档题D【解析】【分析】 判断g(x)的单调性，求出g(x0)的范围，求出f(x)的导数，根据方程有根列不等式组求出 a的范围.【详解】解：Q g (x)二x ,e当 x 1 时，g (x) 0,当 x 1 时，g (x) 0 ,g(x)在(0,1)上单调递增，在 1,2上单调递减， TOC o 1-5 h z 12又 g(0) 2, g 1- 2, g 2 2, %0,2 ,eec，、1 c2 g(x),

17、 - 2 .e2Q f x ln x ax 2 a x a 01f (x) 2ax 2 a(x 0), x，Q a 0, f (x) 0,故f(x)在0,1上单调递增，且当x 0时，f(x)要使关于x的方程f x g x0在0,1上有实数根,1f 1 ln1 a 2 a 2 2a 2 e m1解得a2e故选：D .【点睛】本题考查了函数单调性，极值计算，属于中档题.D【解析】【分析】设 ext,t0,十t3,变换得到一 t mliftt3-t ,求导得到函数单调性，画出 m函数f t设ext,t的图像,0,十1,设f根据图像得到e2x m0,手时,画出f t故选：D2 3m9m二得到e函数单调

18、递减；当一 3m3的图像，如图所示，根据图像知:1,计算得到答案.t2 m-3m32.3m92.3m9易知m 0一 3m3时，函数单调递增;27m 一4Jim3【点睛】本题考查了函数的零点问题，构造函数ft3左3上t t是解题的关键.m9. C依题意，方程In x 1,In x 111有三个不相等的实根，令 t(x)用导数研究函数t(x)的单调性及最值情况,再分类讨论得解解：方程f(x)g(x)即为 ax ln x 1ln x 1/In x 1则万程 a1-1有三个不相等的实根,人，、ln x 12令 t(x)得t (ax1)t a. . In x1 0，且 t(x),x.函数t(x)在(0,

19、1)上单增,在(1,)上单减,故 t(x)max t(1) 1,且 t时,t(x) 0, t0时，t(x)，方程的两个根t1, t2的情况是:(i)若t1,t2 (0,1),t1 t2,则f(x)与g(x)的图象有四个不同的公共点,不合题意;(ii)若 tl(0,1)且 t21或12 0,则f(x)与g(x)的图象有三个不同的公共点, TOC o 1-5 h z 13令t 1,则1 (a 1) a 1 0, a ,此时另一根为 (0,1),舍去; 22令t 0,则a 1 0, a =1,此时另一根为 2 (0,1),舍去；(iii)若t1 (0,1)且t2 0,则f (x)与g(x)的图象有三

20、个不同的公共点， HYPERLINK l bookmark40 o Current Document 2h(0) 01令 h(x) t2 (a 1)t a 1,则，解得a 1. HYPERLINK l bookmark42 o Current Document h(1) 02故选：c.【点睛】本题考查函数图像的交点与方程根的关系,考查分类讨论思想，旨在锻炼学生的推理论证能力，属于中档题10. C【解析】【分析】作出函数y f x的图象，可知函数yf x与y kx的图象均过原点，考查直线y kx与函数y f x的图象相切时以及直线 y kx过点1,e 1这些临界位置进行分析，利用数形结合思想可求

21、出实数 k的值.【详解】如下图所示： TOC o 1-5 h z 可知函数y f x与y kx的图象均过原点，则原点为两个函数图象的一个公共点当 x 1 时，f xex 1 ,则 f x ex.当直线y kx与函数y f x的图象相切于原点时，则 k f 01,当直线y kx与函数y f x x 1的图象相切时，22由 x2 4x 3 kx,即 x k 4 x 3 0, k 412 0,解得 k 4 23,且有f 1,则k 2.3 4. 2当k 1时，若直线y kx过点1,e 1时，则k e 1 ,若1 k e 1时，直线y kx与函数y f x的图象有三个交点；当0 k 1时，直线y kx与

22、函数y f x的图象有三个交点；当k 0时，若2旧 4 k 0时，直线y kx与函数y f x的图象有三个交点.综上所述，实数k的取值范围是 2而4,11,e 1 .故选：C.【点睛】本题考查利用直线与函数图象的交点个数求参数的取值范围，一般要结合图象找出一些临界位置进行分析，也可以利用参变量分离法，转化为参数直线与函数图象的交点个数来处理，考查数形结合思想的应用，属于难题.11. C【解析】变换得到不等式ax 2axlnx2fgx x In x2, h xax 2a，判断 g x的单调性和h x恒过点2,0 ,画出函数图像，解得答案0 得 ax 2aln x2, h xax 2a11 ，可知

23、gx在0,1上为减函数,1,上为增函数,h x恒过点2,0 .画出与h x函数图象，如图所示:不等式x 0的解集中含有三个整数，则2a1, ln3,2 2ln 2,解得1ln3 a 1 ln2.故选:本小题考查函数与导数等基本知识.考查化归与转化等数学思想以及推理论证、运算求解等12. Bf(x) (ax ln x 1)(x In x 1)与g(x) x2的图像至少有三个不同的公共点，转化为方ln x 1 ln x 1程f (x) g(x)至少有三个不同的解，转化为 (a )(1 ) 1 ,换元xx,、ln x 12,、In x 1t(x) ，得到t2 (a 1)t a 1 0,转化为研究t(

24、x) 的图像特征，以xx及一元二次方程根的分布，即可求出结论 【详解】ln x 1方程 f(x) g(x) (a 4)(1 x人，、ln x 1 ,口令 t(x)得(a t)(1 t) 1In x 1、 /)1至少有三个不等的实根x2t (a 1)t a 1 0 ln xIn x 1冈为t(x) 一，所以t(x)在(0,1)上单调递增,xx在(1)上单调递减且t(x)的最大值t(1) 1 , x轴是t(x)的渐近线.所以方程 的两个根t1, t2的情况是：(i )若t1,t2 (0,1)且t1 t2,则f(x)与g(x)的图像有四个不同的公共点0t1 t2 0则山 0a无解(t1 1) (t2

25、 1) 0(t1 1)(t2 1) 0(五)若(0,1)且 t2 1 或 t2 0,则f(x)与g(x)的图像有三个不同的公共点，则 a无解(iii)若t1 (0,1)且t20,则f(x)与g(x)的图像有三个不同的公共点令 h(t)t2(a 1)t a 1h(0)h(1)a 1 02a 1 0故选：B【点睛】本题考查函数零点的个数与方程解的个数的关系，利用换元，结合求导方法，转化为求一元二次方程的根的分布，属于较难题.13. A【解析】根据函数的单调性和对称性画出函数图像,2过定点 2,2 ,计算直线和曲线相切的情况计算斜率得到答案当x 2时，f*x xe f x函数在上单调递减，在1,2上

26、单调递增，且x 2对称，y k2过定点2,2如图所示,画出函数图像:xex相切时，设切点为%, V。则 x。1 ex。k xo2xeix。2x。根据对称性考虑x 2左边图像，根据图像验证知 x。是方程唯一解，此时故答案为 k? ( 1,0)U(0,1)故选：A【点睛】本题考查了零点问题，对称问题，函数的单调性，画出函数图像是解题的关键B通过两函数图象关于 y轴对称，可知f x gx在x 0,上有解；将问题转化为ln x r r ,相切时 xa的取值，通rx2由 g x e 2xax 得：gx 2e 2xax由题意可知 f x g0,上有解lnx即：x a 在x0,上有解ln xy x a与y

27、一在0,上有交点，找到过图象可得到a的取值范围.lnx上有交点在0,xln xy 一1 ln xyx0,e 时,ln x单调递增;xx e,函数e时，取极大值为:, In xx a与y 的图象如下图所示:切点为1,0 ,则a 0 1ln x若y x a与y 在0, 上有交点，只需a 1 x即：a ,1本题正确选项：B【点睛】本题考查利用导数解决方程根存在的问题，关键是能够利用对称性将问题转化为直线与曲线有交点的问题，再利用相切确定临界值，从而求得取值范围 C【解析】【详解】 详解：,g(x) =1, h (x) = 1 , (f)(x) =3x2,根据题意，函数yax2 ( a 0)与函数y

28、ex在(0, + )上有公共点，由ax2ex得:时，f x 0,函数f xx e 一f x-2在区间（2,x有最小值f 22 x _ xx e 2xe4x0得：x 2,当 0 x 2xe-2在区间(0,2)上是减函数，当x 2时，f x 0,函数 xx 一-一 一e .，一 、.)上是增函数，所以当 x 2时，函数f x -2在(0, + )上x22-,所以a ，即a的取值范围是44,故选C.本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查函数方程的转化思想的运用，属于中x档题；由题意可得，ax2 ex有解，运用参数分离，再令 f x 号，求出导数，求得单 x调区间、极值和最值，即可得到所求范

29、围.16. A【解析】分析：分别对 g (x), h (x), ()(x)求导，令 g (x) =g (x), h (x) =h (x), ()(x) =(j)(x),则它们的根分别为 % 3, 丫，即”=1 ln ( 3+1 = ,1=3/，然后分别讨论 ,1 +丫的取值范围即可.1+x由题意得：a =1 ln (3+1 =,干一1=31 +. In ( 3+J =-, 1 +. ( 3+1 B+=e,当 3 、时，3 +121- 3+15/e2, 3矛盾， - 1 v 3 1;叶1=372,且丫 =0寸等式不成立，3*0?1,丫 1 .y a 3-故选A.点睛：函数、导数、不等式密不可分，

30、此题就是一个典型的代表，其中对对数方程和三次方程根的范围的讨论是一个难点.两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.17. D【解析】【分析】先将方程f(x) kx 1有两个不同实根化为函数f(x)与函数y kx 1有两个不同的交点，根据函数解析式，作出其图像，结合图形求对应直线的斜率，进而可求出结果【详解】方程f(x) kx 1有两个不同实根可化为函数f(x)与函数y kx 1有两个不同的交点，当x 1时，f(x) f(x 1),周期性变化;函数y kx 1的图象恒过点 0,1 ；作函数

31、f (x)与函数ykx 1的图象如下,则 C(0,1), B(2,e),A(1,e);故 kAce 1, kBcex在点C处的切线的斜率ke0 1因此,结合图象可得，实数 k的取值范围为e 1,1 U 1,e 1 ;2故选:本题主要考查由方程根的个数求参数,利用数形结合的方法， 熟记导数的几何意义等即可求解，属于常考题型.18. C构造新函数F x2xx ln x, x 03八x, x 02,问题转化为y F x与y a有两个交点，作出F x,利用数学结合思想,即可求得结果【详解】2x x ln x, x 03,f x -x 2 32 x -x, x 02当x 0时，函数F x2 ln x 1

32、1 ln x ,由F x由F xF x的图象如图:要使F x a （a为常数）有两个不相等的实根，0得 1 In x 0得 In x 1,得 0 x e,0 得 1 Inx 0 得 Inx 1 ,得 x e ,当x值趋向于正无穷大时，y值也趋向于负无穷大，即当x e时，函数F x取得极大值，极大值为F e 2e elne 2e e e,2 TOC o 1-5 h z 2 339当 x 0时，F x x -x x -,2416一 一一一9.是二次函数，在轴处取得最大值,作出函数169 则a 。或一 a e ,即右函数g x有两个不同零点,16实数a的取值范围是，0 U2，e .16故选C.【点睛

33、】本题考查函数的零点，构造新函数，转化为两个函数的交点，考查数行结合思想，作出函数图像是解题的关键，属于较难题.D【解析】 【分析】根据对称关系可将问题转化为f x与y kx 1有且仅有四个不同的交点；利用导数研究f x的单调性从而得到 f x的图象；由直线y kx 1恒过定点A 0, 1，通过数形结合的方式可确定kkAC，kAB ；利用过某一点曲线切线斜率的求解方法可求得kAC和kAB,进而得到结果.【详解】g x kx 1关于直线y1对称的直线方程为：y kx 1原题等价于f x与y kx 1有且仅有四个不同的交点由y kx 1可知，直线恒过点 A 0, 1当 x 0时，f x ln x 12 1nxif x在0,e上单调递减；在 e, 上单调递增由此可得f x图象如下图所示：