信息技术2.0微能力：中学八年级数学下（勾股定理实际应用）逆定理-中小学作业设计大赛获奖优秀作品模板-《义务教育数学课程标准（2022年版）》

1、 中学八年级数学下（勾股定理实际应用）逆定理义务教育数学课程标准（2022年版）微能力2.0认证-中小学作业设计大赛目 录作业设计方案撰写：TFCF优秀获奖作品第 PAGE 10 页 共 15 页初中数学单元作业设计勾股定理一、单元信息基本信息学科年级学期教材版本单元名称数学八年级第二学期人教版勾股定理单 元组织方式自然单元 重组单元课时信息序号课时名称对应教材内容1勾股定理（1）第 17.1(P22-24）2勾股定理（2）第 17.1(P25-26）3勾股定理（3）第 17.1(P26-27）4勾股定理的逆定理（1）第 17.2(P31-32)5勾股定理的逆定理（2）第 17.2(P32-3

2、3)二、单元分析（一）课标要求1、经历勾股定理及其逆定理的探索过程，能用两个定理解决一些简单的实际问题;2、初步认识勾股定理及其逆定理的重要意义，会用这两个定理解决一些几何问题。课标在“知识技能”方面指出：体验探索勾股定理的多种证明过程，掌握勾股定理及其逆定理； 在“数学思考”方面指出：学生搜集并研究勾股定理的多种证明方法，体会数形结合思想，建立数学模型意识；体会通过推理探索数学结论，发展推理能力；能独立思考，体会数学的基本思想和思维方式。（二）教材分析1.知识网络内容分析勾股定理是义务教育数学课程标准（2011 年版）“图形与几何”的第十七章，直角三角形是特殊的三角形，它的三边之间有特殊的数

3、量关系，本章主要通过“赵爽弦图”开始对面积关系的探究，发现并证明勾股定理，进而学会用勾股定理解决与直角三角形有关的问题和其它许多数学问题，包括生活中的实际问题。它是在学生已经学习了“三角形”“全等三角形”“整式运算中 的公式”等内容之后安排的。知识结构上，遵循几何研究的一般路径（图形-性质-应用）；研究方法上，让学生经历“图形的认知、观察计算猜想研究图形性质并证明运用性质解决问题”等活动过程，渗透数 形结合的思想方法，发展数学直观，逻辑推理等能力。通过本单元的学习，学生能够建立起比较完善的知识结构，感受勾股定理是平面几何最重要的定理， 也是数学中最重要的定理之一。本单元学习重点是：勾股定理及其

4、逆定理的证明及应用。（三）学情分析从学生的认知规律看：在“三角形”一章，学生已经认识了三角形的边角概念、直角三角形 的概念、各角的关系；认识到直角三角形是一种极常见而又特殊的三角形。在“全等三角形”一 章，通过画图探究得到过直角三角形全等的一个方法：“斜边和一个直角边分别相等的两个直角 三角形全等;这些知识的学习让学生能够从直观把握直角三角形的一些特征，同时在几何知识的 学习中积累的方法也为勾股定理的学习打下了坚实的基础。从学生的学习习惯、思维规律看：八年级（下）学生已经具有一定的自主学习能力和独立思 考能力，积累了一定的数学学习活动经验，并在心灵深处渴望自己是一个发现者、研究者和探究 者，因

5、此对于用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题充满了强烈的好奇心与探究兴趣。本单元的学习难点是：灵活运用勾股定理解决实际问题三、单元学习与作业目标知道勾股定理及其逆定理的内容，通过作业练习，熟练掌握在直角三角形中已知两边求第三 边的方法；结合全等三角形、等腰三角形等应用勾股定理及逆定理，拓展学生数学思维，并结合整式运 算中的完全平方公式和平方差公式准确运算，培养学生思维的严谨性和良好的运算习惯，提升运算能 力和推理能力；领悟分类讨论、数形结合等数学思想。经历勾股定理及其逆定理的应用过程，加深对新知的理解，构建几何运算的大系统观，发展学 生的数学思维能力。 了解我国古代在数学发展中的卓越成就，增强

6、民族自豪感。四、单元作业设计思路分层设计作业。每课时均设计“基础性作业”（面向全体，体现课标，题量3-4 大题，要求学生必做）和“发展性作业”（体现个性化，探究性、实践性，题量 3 大题，要求学生有选择的完成）。具体设计体系如下：五、课时作业第一课时(勾股定理)作业 1（基础性作业）在 RtABC 中，BC=a，AC=b，AB=c若C=90，a=7，b=24 则 c= 若C=90，a=3，c=7 则 b= 如图，分别以 RtABC 的三边为直径作半圆，若两直角边分别是 6,8 则阴影部分面积是 在ABC 中A=120，AB=3,AC=5,求 BC 的长2、时间要求（10 分钟）3、评价设计作业

7、评价表评价指标等级备注ABC答题的准确性A 等，答案正确、过程正确。B 等，答案正确、过程有问题。C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程错误、或无过程。答题的规范性A 等，过程规范，答案正确。B 等，过程不够规范、完整，答案正确。C 等，过程不规范或无过程，答案错误。解法的创新性A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。综合评价等级AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。4、作业分析与实际意图作业第（1）小题考察学生直接用勾股

8、定理，已知三角形任意两边来求第三边；第（2）小题考察学生的观察能力，观察是由哪些图形拼接而成，由图形的面积等于各部分的面积和、差列出等式， 再化简等式解决问题；第（3）题考察学生已知三边求三角形的面积，添加辅助线，设未知数，用方程思想，代数方法解几何题作业 2（发展性作业） 1、作业内容在平面真角坐标系中，已知点 P 的坐标是（m，4），O 是坐标原点，连接 OP，若 OP 的长为 5， 则点 P 的坐标为 若实数 m，n 满足 3 + 4 = 0，且 m，n 恰好是直角三角形的两边长，求该直角三角形斜边上的高。将一个长、宽分别为 8 和 4 的长方形纸片 ABCD 沿 EF 折叠，点 C 和

9、点 A 重合，求 EF 与 AF 的比值2、时间要求（10 分钟）3、评价设计作业评价表评价指标等级备注ABC答题的准确性等，答案正确、过程正确。等，答案正确、过程有问题。等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程错误、或无过程。答题的规范性等，过程规范，答案正确。等，过程不够规范、完整，答案正确。C 等， 过程不规范或无过程，答案错误。解法的创新性等，解法有新意和独到之处，答案正确。等，解法思路有创新，答案不完整或错误。 C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。综合评价等级AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等

10、。4、作业分析与实际意图第（1）小题考察数形结合的思想，由点的横纵坐标表示线段长度要注意绝对值的使用；第（2） 小题考察代数中非负数的性质，考察分类讨论的思想；第（3）题考察学生应用勾股定理解决几何 折叠问题，学以致用，考察学生的综合应用能力。第二课时（勾股定理）作业 1（基础性作业）DB作业内容如图所示，在 RtABC 中，ACB=90，AC=3，BC=4，CD 垂直于 AB， 垂足为点 D。求 CD 的长。CAA如图所示，在ABC 中，AB=10，BC=21，AC=17.求ABC 的面积。BC公元 12 世纪，印度数学家什迦逻（1141 年-1225 年）在他的名著中曾提出过“荷花问题”：

11、“平平湖水清可鉴，面上一尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，渔人观看忙向前，花离原位二尺远； 能算诸君请解题，湖水如何知深浅？” 请用学过的数学知识回答这个问题.时间要求（10 分钟）评价设计作业评价表评价指标等级备注ABC答题的准确性等，答案正确、过程正确。等，答案正确、过程有问题。等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程错误、或无过程。答题的规范性A 等，过程规范，答案正确。B 等，过程不够规范、完整，答案正确。C 等，过程不规范或无过程，答案错误。解法的创新性A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。C 等，常规解法，思路不清楚，过程复

12、杂或无过程。综合评价等级AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。作业分析与设计意图：作业（1）直接利用勾股定理求线段的长；作业（2）在非直角三角形中求线段的长度时，可构造直角三角形，运用勾股定理求解；作业（3）是运用勾股定理求解实际问题。作业 2（发展性作业） 1.作业内容如图，已知某学校 A 与直线公路 BD 相距 3000 米，且与该公路上一个车站 D 相距 5000 米。现在要在公路边建一个超市 C，使之与学校 A 和车站 D 的距离相等。那么该超市与车站 D 的距离是多少米？CDBA如图所示，一个牧童在小河正南方 4

13、KM 的 A 处牧马，而他正位于他小屋 B 的西 8KM 北 7KM 处。他想把他的马牵到小河边去饮水再回家。请问他要完成这件事情所走的最短路程是多少。A牧童 B小屋如图,长方体的高为 3cm,底面是边长为 2cm 的正方形.现有一小虫从顶点 A 出发,沿长方体侧面到达顶点 C,小虫走的路程最短为多少厘米？时间要求（10 分钟）评价设计作业评价表评价指标等级备注ABC答题的准确性等，答案正确、过程正确。等，答案正确、过程有问题。等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程错误、或无过程。答题的规范性A 等，过程规范，答案正确。B 等，过程不够规范、完整，答案正确。C 等，过程不规范或无过程，

14、答案错误。解法的创新性A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。综合评价等级AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。作业分析与设计意图：作业（1）题目中虽有直角三角形，但已知线段的长并不完全是直角三角形的边，所求边长不能直接利用勾股定理求解，需要设出未知数，通过建立方程解决此类问题；作业（2）与作业（3）都是利用勾股定理求解最短距离。其中作业（2）是求平面上两点间的最短距离，类同将军饮马类型； 作业（3）是求几何体表面的最短距离，要将几何

15、图形展开成平面图形，利用“两点之间，线段最短”性质来求解。第三课时(17.1 勾股定理)作业 1（基础性作业） 1.作业内容如图，数轴上点 A所表示的实数是 .517在图中画出长度为和的线段如图，以 A为圆心，AB为半径画弧，交网格线于点 D，已知 AB=3,求 DE 的长。时间要求（10 分钟）评价设计作业评价表评价指标等级备注ABC答题的准确性等，答案正确、过程正确。等，答案正确、过程有问题。等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程错误、或无过程。答题的规范性等，过程规范，答案正确。等，过程不够规范、完整，答案正确。C 等， 过程不规范或无过程，答案错误。解法的创新性等，解法有新意和

16、独到之处，答案正确。等，解法思路有创新，答案不完整或错误。 C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。综合评价等级AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。作业分析与设计意图作业第（1）题要求学生运用勾股定理在数轴上表示无理数；作业第（2）题要求学生运用勾股定 理在网格中表示无理数；作业第（3）题是在前两题的基础上解决网格中的实际问题。作业 2（发展性作业）作业内容如图，数轴上的点 A表示的数是 2，过点 A作 AB OA ，使 AB=4，以 O为圆心，OB长为半径作弧，交数轴于点 P，求点 P所表示的数10在图中画出三

17、条长分别为 1，的线段，比较大小：1 10( 填“”“”55或“=” ) ；并说明理由.如图，小方格都是边长为 1 的正方形，求ABC 中 BC边上的高时间要求（10 分钟）评价设计作业评价表评价指标等级备注ABC答题的准确性等，答案正确、过程正确。等，答案正确、过程有问题。等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程错误、或无过程。答题的规范性等，过程规范，答案正确。等，过程不够规范、完整，答案正确。C 等， 过程不规范或无过程，答案错误。解法的创新性等，解法有新意和独到之处，答案正确。等，解法思路有创新，答案不完整或错误。 C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。综合评价等级AA

18、A、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。第 PAGE 18 页 共 15 页作业分析与设计意图作业第（1）题要求学生运用勾股定理在数轴上表示无理数，注意有两种情形；作业第（2）题是运用勾股定理和三角形的三边关系在网格中比较无理数的大小；作业第（3）题是运用勾股定理计 算 BC 边的长，通过网格求出ABC 的面积，来求出高的实际问题。第四课时(17.2 勾股定理的逆定理)作业 1（基础性作业） 1.作业内容判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆命题的真假。 如果 a b ，那么 a 2 b 2 如果 a b ，那么 a 3 b3

19、 如果 ab 0 ，那么a 0, b 0 全等三角形的面积相等 4 的倍数都是偶数 如果三角形的三边长满足 a 2 b 2 c 2 ，那么这个三角形是直角三角形下列各组线段能组成直角三角形的有哪些？5 5,5,6 9,40,41 1，346，155下列各组数是勾股数的有哪些？5 9,40,41 1，346，155时间要求（10 分钟）评价设计作业评价表评价指标等级备注ABC答题的准确性等，答案正确、过程正确。等，答案正确、过程有问题。等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程错误、或无过程。答题的规范性A 等，过程规范，答案正确。B 等，过程不够规范、完整，答案正确。C 等，过程不规范或无

20、过程，答案错误。解法的创新性A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。综合评价等级AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。作业分析与设计意图作业第（1）题考察学生能否写出一个命题的逆命题，并能判断真假；作业第（2）题是基本的勾股定理的逆定理的运用，要求学生会运用勾股定理的逆定理；作业第（3）题是 考察学生是否会根据勾股数的定义判断勾股数。作业 2（发展性作业） 1.作业内容BCDAE已知a 3 ab 2 ac 2 a 2 b b3 bc

21、2 0 ，其中 a, b, c 为三角形的三边长，判断该三角形的形状在 44 的网格中，ABC DAE= 在四边形 ABCD 中，AB=AD=4，A=60，BC= 4 5 ，CD=8，求该四边形 ABCD 的面积。BA D时间要求（10 分钟）C评价设计作业评价表评价指标等级备注ABC答题的准确性A 等，答案正确、过程正确。B 等，答案正确、过程有问题。C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程错误、或无过程。答题的规范性A 等，过程规范，答案正确。B 等，过程不够规范、完整，答案正确。C 等，过程不规范或无过程，答案错误。解法的创新性A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。B 等，解

22、法思路有创新，答案不完整或错误。C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。综合评价等级AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。作业分析与设计意图作业第（1）题考察了因式分解和勾股定理的逆定理，培养学生的综合应用能力；作业 第（2）题是要会将一个角转化为另一个和它相等的角，渗透了“转化”的思想，最后应用 勾股定理的逆定理求出答案；作业第（3）题是运用了等边三角形的判定和勾股定理的逆定 理，并且需要计算等边三角形和直角三角形的面积，提升知识的综合应用能力。第五课时（17.2 勾股定理逆定理）作业 1（基础性作业）、判断下列

23、几组数是不是勾股数5，12,131 ，1 ，17,24,250.6,0.8,1345正方形 ABCD 中，E 是 BC 中点，F 为 AB 上一点且 BF=1AB.求DEF 的度数4、(原创)工厂生产一种零件，他的截面图四边形 ABCD 如图所示，零件要求ABC 为 60。且BCD 为 150,工人手上只有一把尺子经测量 AB=BC=AC=5cm，CD=4cmAD6.4cm判断零件是否合格？细心的同学发现如此测量 AD 的值是一个无理数不是很方便，你有没有更好的方法来测量使得结果更为精确呢？请你说说自己的方法。（提示：想一想能不能在 AC 上取一点使得 CE 和 DE 的长均为整数呢？）2、时

24、间要求（10 分钟）3、评价设计作业评价表评价指标等级备注ABC答题的准确性等，答案正确、过程正确。等，答案正确、过程有问题。等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程错误、或无过程。答题的规范性A 等，过程规范，答案正确。B 等，过程不够规范、完整，答案正确。C 等，过程不规范或无过程，答案错误。解法的创新性A 等，解法有新意和独到之处，答案正确。B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。综合评价等级AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。4、作业分析与实际意图作业（1）

25、旨在帮学生回顾勾股数的概念和如何判断一个三角形是直角三角形；作业（2）在（1） 的基础上要能够发现三边的关系，并要求能用勾股定理计算相关边；作业（3）是以生活应用的场 景让学生感受勾股定理逆定理的作用，从而让学生对逆定理有更深的认识，也能更好的认识勾股定理和其逆定理之间差别作业 2（发展性作业） 1、作业内容（1）已知ABC 三边为 a，b，c 且满足2 + 2 + 2 + 50 = 6 + 8 + 10，试判断ABC 的形状.（2）（原创）工人师傅想在一堵墙上安装一个直角支架，AB 为水平的地面,CD 为墙。工人师傅在简单的测量后得到 AD=1，BD=4，CD=2就断定ACB 为直角，他的判

26、断正确吗？请说明理由。若 CDAB 且 AD BD = CD2，能不能说明ACB 是直角呢？（3）已知,如图在 RtABC 中，A=90，D 为 BC 的中点，E、F 分别是 AB 和 AC 上的点且满足EDF=90求证：DE+DFEF求证：2 + 2 = 22、时间要求（10 分钟）3、评价设计作业评价表评价指标等级备注ABC答题的准确性等，答案正确、过程正确。等，答案正确、过程有问题。等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程错误、或无过程。答题的规范性A 等，过程规范，答案正确。B 等，过程不够规范、完整，答案正确。C 等，过程不规范或无过程，答案错误。解法的创新性A 等，解法有新意

27、和独到之处，答案正确。B 等，解法思路有创新，答案不完整或错误。C 等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。综合评价等级AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评价为 B 等；其余情况综合评价为 C 等。4、作业分析与实际意图作业（1）考察了学生逆定理的知识的同时，回顾了完全平方式，并要求学生对式子特征要有一定的观察力；作业（2）中第一问2、2、2均可以求出，直接可以判断，第二问 AC 和 BC 的长度不定，可以将未知量设出仍可以将2、2、2表示出来，锻炼了由特殊到一般的能力，也 锻炼了公式计算和变形，同时复习了新知。作业（3）第一问是基础训练之前的一个小题，帮大

28、家回顾了倍长中线同时是对第二问的一个提示，同时回顾了勾股定理，为后面的复习小结作好铺垫。六、单元质量检测作业内容（一）单元质量检测作业内容一、选择题（单项选择）353已知直角三角形两边的长为 1 和 2，则此三角形的第三边长为（）5B.C.或D.2下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是 （） A6，8，11B.7，24，25C.1.5,2,2.5D.12,16.20在ABC 中， AB 15, AC 13 ，BC 边上的高 AD 12 ，则ABC 的周长为() A. 32B. 42C. 52D.32 或 42如图，在 RtABC 中， AB AC ，D、E是斜边 BC上两点，且DAE=45

29、，将 ADC 绕点 A 顺时针旋转 90 后，得到 AFB ，连接 EF ，下列结论： AED AEF ABE ACD ； BE DC DE ； BE 2 DC 2 DE 2 其中正确的是（）AAB. C. D. F二、填空题若一个三角形的边长分别是BEDC262、和2，则这个三角形最长边上的高长是 如图，ABC 中，有一点 P 在 AC 上移动若 AB=AC=5，BC=6，则 AP+BP+CP 的最小值为 等腰三角形的底边长为 4，底边上的中线长为 8，它的腰长为 .腰长为 17，高为 8 的的等腰三角形的底边长为 9.将一根 24cm 的吸管，置于底面半径为 7.5cm，高 8cm 的圆柱

30、形水杯中，则吸管露在杯子外面的长度的最小值为 三、解答题春天的周末是个放风筝的好时节，某同学在放风筝的时候想到测量一下风筝飞的实际高度，他 先让甲同学跑到风筝的正下方，再让丙同学测量两人距离为 35 步，再将风筝放下让丙同学测得放掉线长为 91 步，你能计算出风筝的大约的高度吗（1 步=0.6 米，假设线是绷直的）物理上光的反射定律告诉我们，法线是经过入射点垂直于镜面的直线，入射光线和反射光线与法线的夹角相等，即入射角等于反射角。如图在 A 点有一点光源，在 C 点放一个平面镜，我们要转动平面镜的的位置使得反射光线能够到达 B 点请在图中作出平面镜过 C 点法线 在图（1）条件下，若法线与 A

31、B 交于 D 点，其中AC=6，AB=10，且满足ACB=90，求 D 到BC 的距离和 AD 的长如图边长为 4 的正方形 ABCD 中，E 是 CD 边的中点，将BCE 沿直线 BC 平移得到BCE， 在平移过程中 + 的最小值是（二）单元质量检测作业属性表序号类型对应单元作业目标对应学习水平难度来源完成时间了解理解应用1选择题1易改编30 分钟2选择题1中原创3选择题1、2中改编4选择题1、2、3较难改编5填空题1、2易原创6填空题1中改编7填空题1、2易改编8填空题1、2易原创9填空题1、2、3中改编10解答题1、2易原创11解答题1、2、3较难原创12解答题1、2、3较难原创知识备份

32、（根据实际情况删减）概念被认为是儿童智力的基本组成部分，对基本概念的获得与儿童整体智力发展密切相关（Bruce, Bracken,1998），在数学领域亦是如此，儿童对数学概念的理解是进行数学问题解决和交流的前提和基础，例如，儿童理解定量的相关概念，如“多”、“少”、“很多”、“较少”可以让而儿童掌握量的比较并进行描述(Barner, Chow & Yang, 2009)；掌握空间概念能够让儿童对数轴上的数字关系以及空间物理对象之间的关系进行感知并交流和讨论(Ramani, Zippert, Schweitzer, etal.,2014)，同时，早期儿童的数学学习是操作性的，但是这种操作是建立

33、在对基本数学概念理解基础之上的，当儿童不能准确理解数学概念时，也无法掌握更进一步的数学内容(Barner, Chow & Yang, 2009)，因此，数学概念的理解是儿童进行数学交流的前提和保障。一、3-6 岁儿童数学概念理解能力的现状水平（一）3-6 岁儿童数学概念理解能力的整体 表现为了解 3-6 岁儿童在基本概念理解上的整体表现，对 433 名儿童在各个题项上的答题正确率进行统计，结果如表 5-2-1 所示：表 表 5-2-1 3-6 岁儿童在基本概念理解上的表现测试项目 分量表题项总数 平均答对题数 1 项目通过率 2颜色 11 10 90.9%数字/计数 19 16 84.2%量/

34、大小 13 10 76.9%比较 10 7 70%形状 20 15 75%基本概念理解 73 60 82.2%由表 5-2-1 可知，3-6 岁儿童在基本概念上理解上的整体表现较好，整体通过率为 82.2%。在各分量表上而言，儿童在颜色理解上的表现最优，通过率为90.9%，其次为数字和量通过率为 84.2%，76.9%，儿童在形状和比较上的表现稍微较弱，通过率仅为 75%和 70%。具体来说，儿童在颜色这一概念上的理解能力非常好，其中对黑色、白色、绿色、蓝色、黄色、粉色 6 中颜色的识别率最高，其正确率在 95%以上，其次为红色、紫色和橙色，正确率在 90%左右，再次为灰色，正确率为 82.4

35、%，儿童在褐色理解的表现上不佳，正确率进位 79.7%。儿童在数字/计数上理解总正确率 84.2%，其中对 “数字 1,2,3,4”的理解识别理解率最高，正确率均在 95%左右；其次对 5-9 数字的理解正确率要高于数字10 以上的，但是“数字 9”和“数字 6”的正确率稍微偏低，在 85%左右；儿童对两位数的理解正确率要低于“个位数”，并且数字的增大，儿童的正确率降低，“数字 95”、“数字 41”、“数字 27”的理解正确率会显著低于其他数字，在70%左右。在图形计数方面，随着量的增多，儿童的正确率下降，儿童对“一头熊”、“三朵花”的正确率要高于“六只鸭子”和“九只蜜蜂”，其中“九只蜜蜂”

36、的正确率最低，为 75.1%。儿童在量/大小上的理解情况略低于数字/计数上的表现，总正确率为 76.9%，说明儿童已经能够掌握量、大小等概念。具体来说，儿童对最大、最小、最细、最长概念的理解情况要优于对最深、最浅、最密的理解。儿童在比较概念上的理解程度较差，在此项目上的通过率为 70%，具体来看，儿童对“配成一对”、“完全匹配”、“某物体最像”、“读的不是书”等概念的理解还存在一定的困难，尚不能从否定方面或者事物特征的某一方面做出选择和分辨差异。儿童对形状理解的正确率为 75%，略优于对比较的理解。具体来说，除了对“菱形”、“斜线”、“曲线”、“角”这四个概念的图形辨认率比较低之外，儿童对二维

37、图形的理解辨认能力要优于三维图形，其中二维图形中，“圆形”、“正方形”、“五角星”、“心形”、“三角形”、“长方形”的正确率最高，其次为“排成一队”、“排成一行”、“对号”、“椭圆形”。在三维图形中，儿童对“柱子”、“三棱锥”、“圆柱体”的理解水平要高于“立方体”、“圆锥体”。总体来说，Breaken 基本概念难度的设计是由易至难、循序渐进的，儿童回答正确题目的越少，所获得概念的难度就越低。因此，从上述结果表明，3-6 岁小班儿童在比较上的整体理解能力偏差，正确通过率仅为 50%，具体来说，儿童在“不一样”、“不同”、“不一样多”几个概念的理解能力略高，正确率在 60%以上，其次是“相似”、“

38、一样大”、“一样”、“一对”，正确率均在50%左右，儿童在“完全匹配”、“读的不是书”、“两条船最像”等几个概念的理解上存在较大的困难，其正确率仅为 30%左右。小班儿童对形状理解的正确率为 65%，具体来说，小班儿童能够理解绝大多数的二维平面图形，例如在 “圆形、正方形、三角形、长方形、五角星、心形”上的正确率为 90%左右，但对“椭圆形”“菱形”的识别率不高。同时，在二维图形中，儿童对“斜线”、“曲线”、“角”等几个概念的理解还存在很大的困难，特别是“曲线”和“斜线”，儿童的正确率仅为 20%左右。相对于平面图形来说，儿童对三维立体图形的理解能力稍微偏弱，但 50%上的儿童能够识别并正确识

39、别“三棱锥”、“圆柱体”、“柱子”、“立方体”等几何形体，而对于“圆锥体”的理解存在困难。最后，小班儿童能够对一些形状用语做出理解和判断，例如对“排成一队”、“排成一行”、“对号”等正确率也较高。在颜色中，除了“褐色”和“灰色”的正确率在 80%以上，其余颜色正确率均在 90%以上，95%左右，因此，中班儿童已经能够数量理解并辨识各种颜色。在计数上，除了在“数字 95”的正确率为 69.3%之外，其他数字的识别以及对图片数字的计数的正确率都在 80%以上。在量的理解上，中班儿童已经能够正确理解大小、粗细等概念，但在“水最浅”、“船最宽”、“网最密”上的正确率较低。在比较概念上，中班儿童理解能力

40、稍微较弱，总正确率为 60%，具体来看，中班儿童能够基本理解“不一样、不同、不一样多”等三个比较概念，其正确率在 80%左右，但对于“相似、一样大”稍微较弱，通过的正确率在 70%左右，而在“一样、读的不是书、配成一对、两条船最像”不佳，其正确率在 60%左右。对于“完全匹配”这一概念的理解和掌握则存在困难，其正确率不足 50%。在形状上，除了“菱形”的正确率为 51.2%之外，中班儿童已经能够完全理解和掌握各种平面几何图形的名称和概念，其项目通过的正确率均为 90%以上，但在二维空间概念上，对“斜线”、“曲线”、“角”这三个二维概念的理解和掌握上存在很大的困难，尤其“曲线”的正确率仅为 20

41、%，“斜线”与“角”的正确率也不足 50%。在三维立体图形的概念中，儿童准确的理解“柱子”、“三棱锥”，其正确率为 80%以上，对“立方体”、“圆柱体”的理解偏差一点，在 60%左右，还不能较好的理解“圆锥体”的概念，其正确率不足 50%。数学概念是人脑对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一种反映形式，即一种数学的思维形式。3-6 岁的学前儿童，通过日常生活经验，他们对数字、模式、形状、数量、大小等逐渐形成了一套相对复杂的数学概念，而这些数学概念正是日后正式数学学习的基础。因此，对数学概念的理解与掌握则成为数学学习的首要任务，也是进行数学交流的前提和保障。儿童在不同概念维度上的表现并不一

42、致，首先，从儿童整体概念的理解水平上看，颜色的理解能力显著高于其他概念，这是由于颜色概念是人类发展较早的概念之一，已有研究表明，4 个 月 的 婴 儿 已 经 能 够 分 辨 红 黄 蓝 绿 四 种 颜 色 (Bornstein, Kessen &Weiskopf,1976)，因此在颜色概念的理解和表达上会显著高于其他内容；其次是数字/计数概念，赵振国（2008）通过对 3-6 岁儿童数感能力发展研究得出，在数感的六个组成部分中，数符号的辨认和比较是表现最优的(赵振国,2008)，这与本研究的结果相一致；再次是量和形状概念，早期儿童的数学内容是与关于数、量、形分不开的，而量与形的相关概念也是最

43、早起源于日常生活(黄瑾,2016)，因此，儿童也较为能够掌握相应的概念。在五种基本概念中，儿童对比较的理解能力相对较弱，一方面是因为，比较的概念是与量的相对性联系在一起的，而量的相对性对学前儿童来说是较为抽象的概念(黄瑾,2016)，所以儿童还不能准确的判断和了解，另一方面，比较概念的传递性，是通过较为抽象的专业词汇实现的，例如“哪两块拼图是完全匹配的、哪两只鞋子能够配成一对、哪两只动物是相似的”，而儿童的词汇水平也是影响理解的重要因素之一(闫梦格,李虹,李宜逊等,2020)，因此，虽然有相应的图片帮助儿童去呈现相应的概念，但是由于对专业性词汇的理解不够，也就表现出在比较概念上的相对较弱。总之

44、，3-6 岁儿童在不同概念体系之间的理解能力并不均衡，在颜色概念理解上的表现最优，其次为数字/计数、量/大小、形状，比较概念的理解水平最低。形状中仅能理解二维平面图形，例如“圆形、三角形、正方形”等，对三维立体图形的理解中存在较大困难；在比较中，仅能理解“不一样、不同”等单维层次概念的比较，对数学化、逻辑化程度较高的概念，如“完全匹配、读的不是书”还不能理解。中班儿童在数字/计数上的表现较小班儿童有了显著提升，例如，在数字概念上，除了较大数字理解的正确率较低之外（例如“95”、“53”、“41”），已经能够完全理解数字和符号；但是在比较和量/大小概念上的表现依然不佳。而到了大班，对数量概念的理

45、解正确率为 100%，其他各维度的概念的理解正确率也都在 90%左右。从儿童在概念具体内容上的整体表现，以及不同年龄班在各个具体概念内容上的表现来看，概念的“数学专业化”、“概念的逻辑化”程度是影响儿童概念理解的主要因素，例如，数学专业化的表现为数量上的增加“数字95,47”，概念逻辑性表现为“哪两个盒子是不一样的？”等，这一结果也从数学概念的角度解释了，专业的数学词汇、数学概念成为儿童数学学习的困难和挑战的原因之一（Azlina, Siti & Roziati.,2004）。除了“概念的抽象程度”影响之外，概念的表现形式与儿童对概念的熟悉程度，也是影响儿童理解能力的重要因素之一，例如，在数量

46、概念上，无论哪个年龄班，儿童对“一头熊、三朵花”的理解正确率高达 95%以上，但即使到了大班，也有儿童在“六只鸭子、九只蜜蜂”的点数上面出现错误，这一结果也说明了物品的数量与排列方式也是儿童数字概念的影响因素之一(郭龙丹,黄瑾,2016)。此外，儿童对概念的熟悉程度也是影响其理解正确率的主要原因，例如，在量的概念理解上，无论是哪个年龄段儿童都能够准确理解 “最大、最小、最长、最短、最宽、最细”等几个概念，但是对“深浅、疏密”理解正确率较低，这可能是由于儿童的具体形象性的思维方式有关，一方面，儿童大小、长短、宽细是儿童能够直觉感知到的物体属性(黄瑾,2016)，而深浅相对于具体的物品来说，更具抽

47、象性，因此儿童对其的理解能力就相对较弱；另一方面，儿童早期数学认知的学习经验最早是来源于日常生活的(周欣,赵振国,陈淑华,2009)，儿童对物品的熟悉程度也是儿童概念理解的重要因素之一，而深浅、疏密并不是熟悉物品的主要属性，因此对其概念的理解能力也偏弱。关于不同年龄班儿童在概念理解上的整体表现的结果显示，小班儿童对基本概念的理解情况偏低，整体通过率未达 70%，其中在比较概念的通过率仅为 50%；到了中班，儿童对基本概念的理解能力显著提升，整体通过率达到了80%，这种提升尤其体现在数字/计数方面和形状方面，除了对比较概念理解能力相对较低之外，其他概念的正确率均在 70%上；到了大班，儿童的整体通过率高达 93.1%，说明大班儿童已经能够完全理解各个维度上的基本概念。从整个学前阶段数学概念发展水平来看，小班儿童整体略低，中班儿童有了显著提升，到了大班已经能够完全掌握五个维度上的基本概念，各个年龄段儿童的发展水平呈现显著梯度提升，方差分析的也结果显示，不同年龄班儿童在各个概念理解上均存在显著差异，且年龄对各个维度上效应值均为 0.4 左右（影响程度为中等），这一结果一方面说明，概念的理解显著受到儿童身心成熟水平的影响，整个学前阶段儿童的概念发展是由低