新苏教版九年级上册数学期末复习（全册知识点梳理及常考题型巩固练习）（基础版）（家教、补习）

1、精品文档 精心整理精品文档 精心整理苏教版九年级上册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习一元二次方程及其解法（一）直接开平方法知识讲解（基础） 【学习目标】1理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式；2掌握直接开平方法解方程，会应用此判定方法解决有关问题；3理解解法中的降次思想，直接开平方法中的分类讨论与换元思想.【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程要点诠释：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；

2、（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.2一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项要点诠释：(1)只有当时，方程才是一元二次方程；(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.4.一元二次方程根的重要结论（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根

3、x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0.（2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0.（3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0.要点二、一元二次方程的解法1直接开方法解一元二次方程：(1)直接开方法解一元二次方程： 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据： 平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类： 形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解. 若，则；表

4、示为，有两个不等实数根； 若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根； 若，则方程无实数根 形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是 .要点诠释：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.【典型例题】类型一、关于一元二次方程的判定1判定下列方程是不是一元二次方程:(1)； (2)【思路点拨】识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.【答案】（1）是；（2）不是.【解析】(1)整理原方程，得 ， 所以 其中，二次项的系数，

5、所以原方程是一元二次方程(2)整理原方程，得 ， 所以 其中，二次项的系数为，所以原方程不是一元二次方程【总结升华】不满足（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.的方程都不是一元二次方程，缺一不可.举一反三：【388447：一元二次方程的概念-例1】【变式】判断下列各式哪些是一元二次方程 ； ； ； ； ； 【答案】.【解析】不是方程； 不是整式方程； 含有2个未知数，不是一元方程； 化简后没有二次项，不是2次方程. 符合一元二次方程的定义类型二、一元二次方程的一般形式、各项系数的确定2.把下列方程中的各项系数化为整数，二次项系数化为正数，并求出各项的系数：(1)-3

6、x2-4x+2=0； (2)【答案与解析】(1)两边都乘-1，就得到方程 3x2+4x-2=0 各项的系数分别是： a=3，b=4，c=-2(2)两边同乘-12，得到整数系数方程 6x2-20 x+9=0各项的系数分别是：【总结升华】一般地，常根据等式的性质把二次项的系数是负数的一元二次方程调整为二次项系数是正数的一元二次方程；把分数系数的一元二次方程调整为整数系数的一元二次方程值得注意的是，确定各项的系数时，不应忘记系数的符号，如(1)题中c=-2不能写为c=2，(2)题中不能写为举一反三：【388447：一元二次方程的形式-例3】【变式】将下列方程化为一元二次方程一般形式，并指出二次项系数

7、、一次项系数和常数项： （1）； （2）【答案】（1），二次项系数是3、一次项系数是-5、常数项是2. （2）化为二次项系数是a、一次项系数是1、常数项是-a-2.类型三、一元二次方程的解（根）3. 如果关于x的一元二次方程x2+px+q0的两根分别为x12，x21，那么p，q的值分别是( ) A-3，2 B3，-2 C2，-3 D2，3【答案】A；【解析】 x2是方程x2+px+q0的根， 22+2p+q0，即2p+q-4 同理，12+p+q0，即p+q-1 联立，得 解之得：【总结升华】由方程根的定义得到关于系数的方程(组)，从而求出系数的方法称为待定系数法，是常用的数学解题方法即分别用2

8、，1代替方程中未知数x的值，得到两个关于p、q的方程，解方程组可求p、q的值类型四、用直接开平方法解一元二次方程4. （2016春仙游县月考）求下列x的值（1）x225=0（2）（x+5）2=16【思路点拨】（1）移项后利用直接开方法即可解决（2）利用直接开方法解决【答案与解析】 解：（1）x225=0，x2=25，x=5（2）（x+5）2=16，x+5=4，x=1或9【总结升华】应当注意，形如=k或（nx+m）2=k(k0)的方程是最简单的一元二次方程，“开平方”是解这种方程最直接的方法“开平方”也是解一般的一元二次方程的基本思路之一举一反三：【变式1】用直接开平方法求下列各方程的根： (1

9、)x2=361； (2)2y2-72=0； (3)5a2-1=0；(4)-8m2+36=0【答案】(1) x2=361， x=19或x=-19(2)2y2-72=0， 2y2=72， y2=36， y=6或y=-6(3)5a2-1=0， 5a2=1， a2=， a=或a=-(4)-8m2+36=0， -8m2=-36， m2=， m=或m=-【变式2】解下列方程： (1) （2015 东西湖区校级模拟）(2x+3)2-25=0； (2)（2014秋滨州校级期末）（12x）2=x26x+9. 【答案】解：(1) (2x+3)2=25， 2x+3=5或2x+3=-5 x1=1，x2=-4(2) （

10、12x）2=x26x+9， （12x）2=（x3）2， 12x=（x3）， 12x=x3或12x=（x3）， x1=，x2=2苏教版九年级上册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习一元二次方程及其解法（一）直接开平方法巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1. 若是关于x的一元二次方程，则( ) Ap1 Bp0且p1 Cp0 Dp0且p12（2015江岸区校级模拟）如果x=3是一元二次方程ax2=c的一个根，那么该方程的另一个根是（） A3 B-3 C0 D13（2016重庆模拟）已知x=1是关于x的方程x2x+m=0的一个根，则m的值为（）A2 B1 C0 D24若，是方程的两根，则的值

11、是 ( )A8 B 4 C2 D05若为方程式的一根，为方程式的一根，且、都是正数，则之值为何?( )A5 B6 C D6已知方程有一个根是-a(a0)，则下列代数式的值恒为常数的是( ) Aab B Ca+b Da-b二、填空题7. 方程(2x+1)(x-3)x2+1化成一般形式为_ _ _，二次项系数是_ _，一次项系数是_，常数项是_8（1）关于x的方程是一元二次方程，则m ； （2）关于x的方程是一元一次方程，则m .9下列关于x的方程中是一元二次方程的是_ _(只填序号) (1)x2+10； (2)； (3)； (4)； (5) ； (6)(x-2)(x-3)5.10下列哪些数是方程

12、的根?答案： . 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，1011（2016泰州）方程2x4=0的解也是关于x的方程x2+mx+2=0的一个解，则m的值为12（2014秋营山县校级月考）若方程（x4）2=a有实数解，则a的取值范围是_ _三、解答题13（2014济宁）若一元二次方程ax2=b（ab0）的两个根分别是m+1与2m4，求的值14. 用直接开平方法解下列方程 (1)； (2)15教材或资料会出现这样的题目：把方程化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项 现把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答 (1)下列式子中，有哪几个是方程所化的一元二次方程的一般形式

13、?(答案只写序号)_ _ ； ； ； ； .(2)方程化为一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数，一次项系数，常数项之间具有什么关系?【答案与解析】一、选择题1【答案】C；【解析】方程是一元二次方程的条件是a0，b、c可以是任意实数 2.【答案】A；【解析】ax2=c， 即x2=， x=，x=3是一元二次方程ax2=c的一个根，该方程的另一个根是x=3，故选A 3.【答案】A.【解析】把x=1代入x2x+m=0得1+1+m=0，解得m=2故选A4【答案】D；【解析】直接开方可得， .5.【答案】B；【解析】由得， ，又是正数且是此方程的根， 同理， 6.【答案】D；【解析】将代入方程得 ，又

14、a0方程两边同除以a得a-b+10， a-b-1，即a-b的值恒为常数二、填空题7【答案】x2-5x-40，1，-5，-48【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为关于x的方程是一元二次方程，所以（2）因为关于x的方程是一元一次方程，所以.9【答案】(1)，(6).【解析】根据一元二次方程的定义，要判断一个方程是否是一元二次方程要看它是否符合定义的三个必备条件：只含一个未知数；未知数的最高次数是2；是整式方程当然对有些方程必须先整理后再看(1)是；(2)含有分式；(3)含有两个未知数；(4)未知数最高次数为3；(5)方程整理得-10 x-40，不是一元二次方程；(6)方程整理得x2-5x+1

15、0是一元二次方程，所以(1)、(6)是一元二次方程10【答案】2，4【解析】把0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10分别代入方程x2-6x+80，发现当x2和x4时，方程x2-6x+80左右两边相等，所以x2，x4是方程x2-6x+80的根 11.【答案】-3.【解析】2x4=0，解得：x=2，把x=2代入方程x2+mx+2=0得：4+2m+2=0，解得：m=312【答案】a0；【解析】方程（x4）2=a有实数解，x4=，a0；三、解答题13.【答案与解析】解：x2=（ab0），x=，方程的两个根互为相反数，m+1+2m4=0，解得m=1，一元二次方程ax2=b（ab0）的两个根分别是2

16、与2，4a=b=4故答案为：414.【答案与解析】 (1)移项，得，根据平方根的定义，得即，(2)根据平方根的定义，得，即，15.【答案与解析】(1)观察可知方程、的各项系数分别是原方程各项系数乘以1，-1，2，-2，得到的，其中、是一般形式，不是一般形式(2)二次项系数、一次项系数与常数项之比为，即，若设二次项系数为，则一次项系数为，常数项为苏教版九年级上册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习一元二次方程的解法（二）配方法知识讲解（基础） 【学习目标】1了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程；2掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；3通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体

17、会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力.【要点梳理】知识点一、一元二次方程的解法-配方法1配方法解一元二次方程：(1)配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：把原方程化为的形式；将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；方程两边同时加上一次项系数一半的平方；再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.要点诠释：

18、（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式知识点二、配方法的应用1用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值3用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值4用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次

19、函数中也有着广泛的应用要点诠释： “配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好 【典型例题】类型一、用配方法解一元二次方程1. （2016淄博）解方程：x2+4x1=0【思路点拨】首先进行移项，得到x2+4x=1，方程左右两边同时加上4，则方程左边就是完全平方式，右边是常数的形式，再利用直接开平方法即可求解【答案与解析】解：x2+4x1=0 x2+4x=1x2+4x+4=1+4（x+2）2=5x=2x1=2+，x2=2【总结升华】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2

20、）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数举一反三：【变式】用配方法解方程. (1)x2-4x-2=0； (2)x2+6x+8=0. 【答案】(1)方程变形为x2-4x=2 两边都加4，得x2-4x+4=2+4 利用完全平方公式，就得到形如(x+m)2=n的方程，即有(x-2)2=6 解这个方程，得x-2=或x-2=- 于是，原方程的根为x=2+或x=2- (2)将常数项移到方程右边x2+6x=-8 两边都加“一次项系数一半的平方”=32，得 x2+6x+32=-8+32， (x+3)2=

21、1 用直接开平方法，得x+3=1， x=-2或x=-4类型二、配方法在代数中的应用2若代数式，则的值（）一定是负数 一定是正数 一定不是负数一定不是正数【答案】B；【解析】（作差法）故选【总结升华】本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小.【388499：配方法与代数式的最值例4】3（2014甘肃模拟）用配方法证明：二次三项式8x2+12x5的值一定小于0【答案与解析】解：8x2+12x5=8（x2x）5=8x2x+（）25+8（）2=8（x）2，（x）20，8（x）20，8（x）20，即8x2+125的值一定小于0【总结升华】利用配方法将

22、代数式配成完全平方式后，再分析代数式值的符号. 注意在变形的过程中不要改变式子的值举一反三：【388499：配方法与代数式的最值例4变式1】【变式】求代数式 x2+8x+17的最小值【答案】x2+8x+17= x2+8x+42-42+17=（x+4）2+1 （x+4）20，当（x+4）2=0时，代数式 x2+8x+17的最小值是1.4已知，求的值【思路点拨】 解此题关键是把拆成 ，可配成两个完全平方式【答案与解析】将原式进行配方，得，即， 且， ， 【总结升华】本题可将原式用配方法转化成平方和等于0的形式，进而求出ab的值苏教版九年级上册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习一元二次方程的

23、解法（二）配方法巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1. （2016贵州）用配方法解一元二次方程x2+4x3=0时，原方程可变形为（）A（x+2）2=1 B（x+2）2=7 C（x+2）2=13 D（x+2）2=192下列各式是完全平方式的是（ ）A B C D3若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值是（ ） A3 B-3 C D以上都不对4用配方法将二次三项式a2-4a+5变形，结果是（ ） A（a-2）2+1 B（a+2）2-1 C（a+2）2+1 D（a-2）2-15把方程x2+3=4x配方，得（ ） A（x-2）2=7 B（x+2）2=21 C（x-2）2=1 D（x+2）2=

24、26用配方法解方程x2+4x=10的根为（ ） A2 B-2 C-2+ D2-二、填空题7（1）x2+4x+ =（x+ ）2；（2）x2-6x+ =（x- ）2；（3）x2+8x+ =（x+ ）2.8（2016春长兴县月考）用配方法将方程x2-6x+7=0化为（x+m）2=n的形式为 9若是一个完全平方式，则m的值是_10求代数式2x2-7x+2的最小值为 . 11（2014资阳二模）当x= 时，代数式x22x有最大值，其最大值为 12已知a2+b2-10a-6b+34=0，则的值为 三、解答题13. 用配方法解方程 （1） （2）14. （2014秋西城区校级期中）已知a2+b24a+6b+

25、13=0，求a+b的值15已知a，b，c是ABC的三边，且(1)求a，b，c的值；(2)判断三角形的形状【答案与解析】一、选择题1.【答案】B【解析】x2+4x=3，x2+4x+4=7，（x+2）2=72【答案】C；【解析】3.【答案】C；【解析】 若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m2=9,解得m=；4.【答案】A； 【解析】a2-4a+5= a2-4a+22-22+5=（a-2）2+1 ；5.【答案】C；【解析】方程x2+3=4x化为x2-4x=-3，x2-4x+22=-3+22，（x-2）2=1.6.【答案】B；【解析】方程x2+4x=10两边都加上22得x2+4x+22=10+22

26、，x=-2.二、填空题7【答案】（1）4；2； （2）9；3； （3）16；4.【解析】配方:加上一次项系数一半的平方.8.【答案】（x3）2=2【解析】移项，得x26x=7，在方程两边加上一次项系数一半的平方得，x26x+9=7+9，（x3）2=2 9【答案】3；【解析】 .10【答案】-； 【解析】2x2-7x+2=2（x2-x）+2=2（x-）2-，最小值为-，11【答案】-1,1【解析】x22x=（x2+2x）=（x2+2x+11）=（x+1）2+1，x=1时，代数式x22x有最大值，其最大值为1；故答案为：1，1 【解析】 -3x2+5x+1=-3（x-）2+，最大值为12【答案】4

27、. 【解析】a2+b2-10a-6b+34=0a2-10a+25+b2-6b+9=0（a-5）2+（b-3）2=0，解得a=5，b=3，=4三、解答题13.【答案与解析】 （1） x2-4x-1=0 x2-4x+22=1+22 (x-2)2=5 x-2= x1=x2=(2) 14.【答案与解析】解：a2+b24a+6b+13=0，a24a+4+b2+6b+9=0，（a2）2+（b+3）2=0，a2=0，b+3=0，a=2，b=3，a+b=23=115.【答案与解析】（1）由，得 又， ， ，（2） 即， ABC是以c为斜边的直角三角形 苏教版九年级上册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习

28、一元二次方程的解法（三）-公式法，因式分解法知识讲解（基础）【学习目标】1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；2. 正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；3. 通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想【要点梳理】要点一、公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式： 当时，原方程有两个不等的实数根； 当时，原方程有两个相等的实数根； 当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤用公式法解关于x的一元二次方程

29、的步骤： 把一元二次方程化为一般形式； 确定a、b、c的值（要注意符号）； 求出的值； 若，则利用公式求出原方程的解； 若，则原方程无实根.要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择.（2）一元二次方程，用配方法将其变形为：. 当时，右端是正数因此，方程有两个不相等的实根：. 当时，右端是零因此，方程有两个相等的实根：. 当时，右端是负数因此，方程没有实根.要点二、因式分解法解一元二次方程1.用因式分解法解一元二次方程的步骤（1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程

30、；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释： （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次 因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：必须将方程的右边化为0；方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【典型例题】类型一、公式法解一元二次方程1.用公式法解下列方程(1) x2+3x+1=0； (2)； (3) 2x2+3x-1=0【答案与解析】 (

31、1) a=1，b=3，c=1x=x1=，x2=(2)原方程化为一般形式，得，即， (3) a=2，b=3，c=1b24ac=170 x=x1=，x2=【总结升华】用公式法解一元二次方程的关键是对a、b、c的确定用这种方法解一元二次方程的步骤是：(1)把方程化为一元二次方程的一般形式；(2)确定a，b，c的值并计算的值；(3)若是非负数，用公式法求解举一反三：【变式】用公式法解方程：（2014武汉模拟）x23x2=0【答案】解：a=1，b=3，c=2；b24ac=（3）241（2）=9+8=17；x=，x1=，x2=2用公式法解下列方程：(1) （2014武汉模拟）2x2+x=2； (2) （2

32、014秋开县期末）3x26x2=0 ； （3）（2015黄陂区校级模拟）x23x7=0【思路点拨】针对具体的试题具体分析，不是一般式的先化成一般式，再写出a,b,c的值，代入求值即可.【答案与解析】 解：(1)2x2+x2=0，a=2，b=1，c=2，x=，x1=，x2=(2) a=3，b=6，c=2，b24ac=36+24=600，x=，x1=，x2= （3）a=1，b=3，b=7b24ac=9+28=37.x= = ，解得 x1=，x2=【总结升华】首先把每个方程化成一般形式，确定出a、b、c的值，在的前提下，代入求根公式可求出方程的根举一反三：【变式】用公式法解下列方程： ；【答案】解：

33、移项，得 ， ， ，类型二、因式分解法解一元二次方程3（2016沈阳）一元二次方程x24x=12的根是（）Ax1=2，x2=6Bx1=2，x2=6Cx1=2，x2=6Dx1=2，x2=6【思路点拨】方程整理后，利用因式分解法求出解即可【答案】B【解析】 解：方程整理得：x24x12=0，分解因式得：（x+2）（x6）=0，解得：x1=2，x2=6，故选B【总结升华】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键4解下列一元二次方程： (1)(2x+1)2+4(2x+1)+40； (2)【答案与解析】(1)(2x+1)2+4(2x+1)+40，(2x+1+2)20 即，

34、 (2) 移项，得(3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)0，即(x-1)(x+2)0，所以，【总结升华】解一元二次方程时，一定要先从整体上分析，选择适当的解法如 (1)可以用完全平方公式用含未知数的整式去除方程两边时，很可能导致方程丢根，（2）容易丢掉x1这个根举一反三：【变式】（1）（x+8）2-5(x+8)+6=0 （2）【答案】（1）（x+8-2）(x+8-3)=0 (x+6)(x+5)=0 X1=-6,x2=-5. (2)3x(2x+1)-2(2x+1)=0 (2x+1)(3x-2)=0 .5探究下表中的奥秘，并完成填空： 一元二次方程 两个根二次三项式因式分解 x22x+1=

35、0 x1=1，x2=1 x22x+1=（x1）（x1） x23x+2=0 x1=1，x2=2 x23x+2=（x1）（x2） 3x2+x2=0 x1=，x2=13x2+x2=3（x）（x+1） 2x2+5x+2=0 x1=，x2=2 2x2+5x+2=2（x+）（x+2） 4x2+13x+3=0 x1=，x2= 4x2+13x+3=4（x+）（x+）将你发现的结论一般化，并写出来【思路点拨】利用因式分解法，分别求出表中方程的解，总结规律，得出结论【答案与解析】填空：，3；4x2+13x+3=4（x+）（x+3）发现的一般结论为：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1、x2，则ax2+

36、bx+c=a（xx1）（xx2）【总结升华】考查学生综合分析能力，要根据求解的过程，得出一般的结论，解一元二次方程因式分解法苏教版九年级上册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习一元二次方程的解法（三）-公式法，因式分解法巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1（2016厦门）方程x22x=0的根是（）Ax1=x2=0 Bx1=x2=2 Cx1=0，x2=2 Dx1=0，x2=22方程的解是( ) A B C， D，3一元二次方程的解是( ) A； B； C； D；4.方程x2-5x-60的两根为( ) A6和1 B6和-1 C2和3 D-2和35方程(x-5)(x-6)x-5的解是 (

37、) Ax5 Bx5或x6 Cx7 Dx5或x76已知，则的值为 ( ) A 2011 B2012 C 2013 D2014二、填空题7（2015厦门）方程x2+x0的解是_ _；8方程(x-1)(x+2)(x-3)0的根是_ _9请写一个两根分别是1和2的一元二次方程_ _10若方程x2-m0的根为整数，则m的值可以是_ _(只填符合条件的一个即可)11已知实数x、y满足，则_12（2016随州）已知等腰三角形的一边长为9，另一边长为方程x28x+15=0的根，则该等腰三角形的周长为 三、解答题13（2014秋宝坻区校级期末）解方程（1）2（x3）2=8（直接开平方法） （2）4x26x3=0

38、（运用公式法）（3）（2x3）2=5（2x3）（运用分解因式法） （4）（x+8）（x+1）=12（运用适当的方法）14. 用因式分解法解方程 （1）x2-6x-160 （2） (2x+1)2+3(2x+1)+2015(1)利用求根公式完成下表：方程的值的符号（填0，=0，0），的关系（填“相等”“不等”或“不存在”） (2)请观察上表，结合的符号，归纳出一元二次方程的根的情况 (3)利用上面的结论解答下题 当m取什么值时，关于x的一元二次方程(m-2)x2+(2m+1)x+m-20， 有两个不相等的实数根； 有两个相等的实数根； 没有实数根【答案与解析】一、选择题1.【答案】C【解析】解：x

39、22x=0，x（x2）=0，解得：x1=0，x2=2故选：C2.【答案】C；【解析】整理得x2-x-20， (x-2)(x+1)0.3.【答案】A ； 【解析】可分解为(x-1)(x+4)04.【答案】B；【解析】要设法找到两个数a，b，使它们的和a+b-5，积ab-6， (x+1)(x-6)0， x+10或x-60 x1-1，x265.【答案】D；【解析】此方程左右两边含有相同的因式(x-5)，应移项后用因式分解法求解即(x-5)(x-6)-(x-5)0 (x-5)(x-6-1)0， ，6.【答案】C；【解析】由已知得x2-x1， 二、填空题7【答案】x10，x2-1【解析】可提公因式x，得

40、x(x+1)0 x0或x+10， x10，x2-18【答案】x11，x2-2，x33.【解析】由x-10或x+20或x-30求解9【答案】； 【解析】逆用因式分解解方程的方法，两根为1、2的方程就是(x-1)(x-2)0，然后整理可得答案10【答案】4； 【解析】 m应是一个整数的平方，此题可填的数字很多11【答案】2； 【解析】由(x2+y2)2-(x2+y2)-20得(x2+y2+1)(x2+y2-2)0又由x，y为实数， x2+y20， x2+y2212.【答案】19或21或23【解析】由方程x28x+15=0得：（x3）（x5）=0，x3=0或x5=0，解得：x=3或x=5，当等腰三角

41、形的三边长为9、9、3时，其周长为21；当等腰三角形的三边长为9、9、5时，其周长为23；当等腰三角形的三边长为9、3、3时，3+39，不符合三角形三边关系定理，舍去；当等腰三角形的三边长为9、5、5时，其周长为19；综上，该等腰三角形的周长为19或21或23. 三、解答题13. 【解析】解：（1）（x3）2=4x3=2或x3=2，解得，x1=1或x2=5；（2）a=4，b=6，c=3，b24ac=（6）244（3）=84，x=，；（3）移项得，（2x3）25（2x3）=0，因式分解得，（2x3）（2x35）=0，x2=4；（4）化简得，x2+9x+20=0，（x+4）（x+5）=0，解得，x

42、1=4，x2=514. 【解析】 （1）(x-8)(x+2)0， x-80或x+20， ， （2）设y2x+1，则原方程化为y2+3y+20， (y+1)(y+2)0， y+10或y+20， y-1或y-2当时，；当时， 原方程的解为，15.【解析】 (1) 方程的值的符号（填0，=0，0），的关系（填“相等”“不等”或“不存在”）160不等0=0相等-80不存在(2)当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根(3)，当原方程有两个不相等的实数根时，即且m2；当原方程有两个相等的实数根时，b2 -4ac=20m-15=0，即；当原方程没有实数根时， ，即

43、苏教版九年级上册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习一元二次方程根的判别式及根与系数的关系知识讲解（基础） 【学习目标】1. 会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，由方程根的情况能确定方程中待定系数的取值范围；2. 掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用.【要点梳理】知识点一、一元二次方程根的判别式1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即（1）当0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当=0时，一元二次方程有2个

44、相等的实数根；（3）当23 B312 C213 D3213如图，AC是O的直径，弦ABCD，若BAC=32，则AOD等于( )A64B48C32D764如图，弦AB，CD相交于E点，若BAC=27，BEC=64，则AOD等于( )A37B74C54D64 （第3题图） （第4题图） （第5题图）5如图，四边形ABCD内接于O，若BOD=138，则它的一个外角DCE等于( )A69B42C48D386（2015酒泉）ABC为O的内接三角形，若AOC=160，则ABC的度数是（）A80B160C100D80或100二、填空题7.在同圆或等圆中，两个圆心角及它们所对的两条弧、两条弦中如果有一组量相等

45、，那么_ _8.（2015镇江一模）在圆内接四边形ABCD中，A，B，C的度数之比为3：5：6，则D= .9如图，AB是O的直径，弦CDAB于H，BDOC，则B的度数是 . ODABC（第10题图）10如图，ABC内接于O，ABBC，BAC30，AD为O的直径，AD2 eq r(3) ，则BD . 11如图，已知O的直径MN10，正方形ABCD四个顶点分别在半径OM、OP和O上，且POM45，则AB . （第11题图） （第12题图）12如图，已知A、B、C、D、E均在O上，且AC为直径，则A+B+C=_度 三、解答题13. 如图所示，AB，AC是O的弦，ADBC于D，交O于F，AE为O的直径

46、，试问两弦BE与CF的大小有何关系，说明理由14（2015嵊州市一模）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且ODBC，OD与AC交于点E（1）若D=70，求CAD的度数；（2）若AC=8，DE=2，求AB的长15如图，O中，直径AB=15cm，有一条长为9cm的动弦CD在上滑动(点C与A，点D与B不重合)，CFCD交AB于F，DECD交AB于E(1)求证：AE=BF；(2)在动弦CD滑动的过程中，四边形CDEF的面积是否为定值?若是定值，请给出证明并求这个定值；若不是，请说明理由 【答案与解析】一、选择题1.【答案】C；【解析】因为A=50，ABC=60，BD是O的直径，所以D=

47、A=50，DBC=40， ABD=60-40=20，ACD=ABD=20，AED=ACD+D=20+50=70， AEB=180-70=110.2.【答案】D； 【解析】圆内角大于圆周角大于圆外角.3.【答案】A； 【解析】弦ABCD，BAC=32，C=A=32，AOD=2C=64. 4.【答案】B；【解析】 ACD=64-27=37，AOD=2ACD=74. 5.【答案】A；【解析】 BAD=BOD=69，由圆内接四边形的外角等于它的内对角得DCE=BAD=69. 6.【答案】D；【解析】如图，AOC=160，ABC=AOC=160=80，ABC+ABC=180，ABC=180ABC=180

48、80=100ABC的度数是：80或100故选D二、填空题7【答案】它们所对应的其余各组量也分别相等；8【答案】80；【解析】设每一份是x则A=3x，B=5x，C=6x根据圆内接四边形的对角互补，得A+C=180，B+D=180，则3x+6x=180，解得x=20所以D=9x5x=4x=809【答案】60； 10【答案】；11【答案】； 【解析】如图，设ABx，在RtAOD 中: x+（2x）5， x, 即 AB的长. 第11题 第12题12【答案】90 ； 【解析】如图，连结AB、BC，则CAD + EBD +ACE=CBD +EBD +ABE=ABC=90.三、解答题13.【答案与解析】解：

49、BE=CF理由：AE为O的直径，ADBC， ABE=90=ADC， 又AEB=ACB，BAE=CAF， BE=CF14.【答案与解析】解：（1）OA=OD，D=70，OAD=D=70，AOD=180OADD=40，AB是半圆O的直径，C=90，ODBC，AEO=C=90，即ODAC，=，CAD=AOD=20；（2）AC=8，OEAC，AE=AC=4，设OA=x，则OE=ODDE=x2，在RtOAE中，OE2+AE2=OA2，（x2）2+42=x2，解得：x=5，OA=5，AB=2OA=1015.【答案与解析】 (1)如图，作OHCD于H，利用梯形中位线易证OF=OE，OA=OB，所以AF=BE

50、，AF+EF=BE+EF，即AE=BF (2)四边形CDEF的面积是定值.连结OC，则，54(cm2)苏教版九年级上册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习直线与圆、圆与圆的位置关系知识讲解（基础） 【学习目标】1.理解并掌握直线与圆、圆与圆的各种位置关系；2.理解切线的判定定理、性质定理和切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，并熟练 掌握以上内容解决一些实际问题； 3.了解两个圆相离(外离、内含)，两个圆相切(外切、内切)，两圆相交，圆心距等概念理解两圆的位置关系与d、r1、r2数量关系的等价条件并灵活应用它们解题【要点梳理】要点一、直线和圆的位置关系1直线和圆的三种位置关

51、系：(1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交这时直线叫做圆的割线(2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离2直线与圆的位置关系的判定和性质直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径如果O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么要点诠

52、释： 这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定要点二、切线的判定定理、性质定理和切线长定理1切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要点诠释：切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可.2切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.3切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段.4切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等

53、，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.5三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.6三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).(3) 三角形的外心与内心的区别：名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心)三角形三

54、边中垂线的交点(1) 到三角形三个顶点的距离相等，即OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心)三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分BAC、ABC、ACB； (3)内心在三角形内部.要点三、圆和圆的位置关系1圆与圆的五种位置关系的定义两圆外离：两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离.两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点.两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交.两圆内切：两个圆有唯一公共点，并

55、且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点.两圆内含：两个圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含.2两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系：设O1的半径为r1，O2半径为r2， 两圆心O1O2的距离为d，则：两圆外离 dr1+r2两圆外切 d=r1+r2两圆相交 r1-r2dr1+r2 (r1r2)两圆内切 d=r1-r2 (r1r2)两圆内含 dr1-r2 (r1r2)要点诠释：(1) 圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点个数 分类，又可以分为：相离(含外离、内含)

56、、相切(含内切、外切)、相交；(2) 内切、外切统称为相切，唯一的公共点叫作切点；(3) 具有内切或内含关系的两个圆的半径不可能相等，否则两圆重合.【典型例题】类型一、直线与圆的位置关系【 356966 ：经典例题1-2】1（2015盐城）如图，在ABC中，CAB=90，CBA=50，以AB为直径作O交BC于点D，点E在边AC上，且满足ED=EA（1）求DOA的度数；（2）求证：直线ED与O相切【答案与解析】（1）解；DBA=50，DOA=2DBA=100，（2）证明：连接OE在EAO与EDO中，EAOEDO，EDO=EAO，BAC=90，EDO=90，DE与O相切【总结升华】本题考查了切线的

57、判定，连接OE构造全等三角形是解题的关键举一反三：【 356966 ：经典例题1-2】【变式】如图，P点是AOB的平分线OC上一点，PEOA于E，以P为圆心，PE为半径作P .求证：P与OB相切.【答案】作PFOB于F，则可证明OEPOFP，所以PF=PE，即F在圆P上，故P与OB相切. 2（2015黄石）如图，O的直径AB=4，ABC=30，BC交O于D，D是BC的中点（1）求BC的长；（2）过点D作DEAC，垂足为E，求证：直线DE是O的切线【思路点拨】（1）根据圆周角定理求得ADB=90，然后解直角三角形即可求得BD，进而求得BC即可；（2）要证明直线DE是O的切线只要证明EDO=90即

58、可【答案与解析】证明：（1）解：连接AD，AB是O的直径，ADB=90，又ABC=30，AB=4，BD=2，D是BC的中点，BC=2BD=4；（2）证明：连接ODD是BC的中点，O是AB的中点，DO是ABC的中位线，ODAC，则EDO=CED又DEAC，CED=90，EDO=CED=90DE是O的切线【总结升华】此题主要考查了切线的判定以及含30角的直角三角形的性质解题时要注意连接过切点的半径是圆中的常见辅助线类型二、圆与圆的位置关系3(1)已知两圆的半径分别为3cm，5cm，且其圆心距为7cm，则这两圆的位置关系是( ) A外切 B内切 C相交 D相离 (2)已知O1与O2相切，O1的半径为

59、3cm，O2的半径为2cm，则O1O2的长是( )A1cm B5cm C1cm或5cm D0.5cm或2.5cm【答案】（1）C ； （2）C.【解析】(1)由于圆心距d7cm，R+r5+38(cm)，R-r5-32(cm) R-rdR+r，故这两圆的位置关系是相交(2)两圆相切包括外切和内切，当O1与O2外切时，dO1O2R+r3+25(cm)；当O1与O2内切时，dO1O2R-r3-21(cm)【总结升华】由数量确定位置或由位置确定数量的依据是：两圆外离dR+r；两圆外切dR+r；两圆相交R-rdR+r；两圆内切dR-r；两圆内含dR-r4已知：如图，O1与O2外切于A点，直线l与O1、O

60、2分别切于B，C点，若O1的半径r1=2cm，O2的半径r2=3cm求BC的长 【思路点拨】首先连接O1B，O2C，O1O2，过点O1作O1DO2C于D，由直线l与O1、O2分别切于B，C点，可得四边形O1BCD是矩形，即可知CD=O1B=r1=2cm，BC=O1D，然后在RtO2DO1中，利用勾股定理即可求得O1D的长，即可得BC的长【答案与解析】解：连接O1B，O2C，O1O2，过点O1作O1DO2C于D，直线l与O1、O2分别切于B，C点，O1BBC，O2CBC，四边形O1BCD是矩形，CD=O1B=r1=2cm，BC=O1D，O2D=O2C-CD=3-2=1（cm），O1与O2外切于A