二阶有源低通滤波器课程设计

1、二阶有源低通滤波器课程设计引言各种滤波器已经大量的出现在我们的日常生活中，在通信设备、医疗 设备、汽车领域等各行各业都存在大量的模拟滤波器。本文主要研究巴特 沃斯低通滤波器，切比雪夫I型滤波器，切比雪夫II型滤波器，椭圆滤波 器等四种滤波器的设计，然后同过比较它们的幅频特性和相位特性，得出 性价比最高的滤波器。由于在现代测控系统中模拟滤波器是不可或缺的一部分，如今模拟滤 波器的理论和设计方法已经相当成熟。有多种典型的滤波器如巴特沃斯滤 波器、椭圆滤波器等都有严格的设计公式、归一化低通滤波器的参数，所 以我们可以直接选用。通过研究四种滤波器的设计原理加深对四种低通滤波器的学习。通过对四种低通滤波

2、器幅频特性图的观察比较出它们的差别。2.学习并且掌握四种低通滤波器的MATLAB仿真程序。通过研究滤波器及巴特沃斯低通滤波器，切比雪夫滤波器，椭圆滤 波器的性能，有利于加深对课本学习的理解。通过比较四种低通滤波器的性能，有利于我们选择性价比更高的滤 波器。本文研究的是四种低通滤波器的设计及四种低通滤波器的性能比较， 具体研究的是在同一参数下比较四种低通滤波器的性能，利用MATLAB程 序作出四种低通滤波器的图像，通过比较它们的图像在通带和阻带中图形 波纹及过渡带的宽窄，比较出性能最优的低通滤波器。正文1实验平台概述1.1滤波器的概述美国在1917年发明了世界上第一台无源滤波器，50年代无源滤波

3、器 才逐渐发展，在60年代集成运放获得了迅速地发展，70年代滤波器主要 朝着精度高，体积小，稳定等方向发展，90年代主要是各种滤波器的开 发和研究。而我国50年代后才开始使用滤波器，现阶段我国的数字滤波器已使用与各种电信设备，但集成化的滤波器任然需要极大的突破。滤波器分为有源滤波器和无源滤波器。经典滤波器和现代滤波器组成了数字滤波器。经典滤波器的特点是其输入 信号中我们需要的信号频率和我们希望屏蔽的信号频率在不同的频带，通 过一个合适的滤波器来滤除我们不需要的信号，得到我们所需的纯净信号。 经典数字滤波器在特性上又可分为低通滤波器、高通滤波器、带阻滤波器 和带通滤波器3。它们的理想幅频特性如图

4、1图1理想幅频特性图但当我们所需的信号频率和需要屏蔽的信号频率重叠时，经典滤波器无法再有效的滤除干扰信号，这是我们就需要现代滤波器（如：卡尔曼等滤波器）来处理信号，得到我们所需要的纯净信号。滤波器是是一种可以通过对无用信号进行衰减和抑制从而得到自己所需信号的一种电子装置5，如图2在工程中模拟滤波器常用来抑制干扰， 信号处理等。输入信号输出信号滤波器图2滤波器的作用数字滤波器是指输入，输出都是数字信号，通过数值运算来滤除干扰 信号，从而得到我们所需要的信号。体积小、精度高、稳定、重量轻、灵 活、运算快等是数字滤波器的优点。1.2MATLAB 简介1.2.1MATLAB 的发展美国的MathWok

5、a公司与1984年推出了 MATLAB软件，MATLAB是一个 集成化的工作区，包括MATLAB桌面、执行命令窗口、文件调试器等，是 一种用于算法开发、数据可视化、数据分析及数值计算的高级计算语言和 交互式环境。用于信号和图像处理、通信财务分析等众多领域。目前， MATLAB软件是由MATLAB和Simulink组成。发展到目前MATLAB具有（1） 计算功能特别强大。在国际上30多个计算软件中，MATLAB具有很大的优 势。（2）绘图功能特别方便、简洁。在MATLAB里数据的可视化非常方便且 易操作，在编辑图像界面方面具有很强的功能。（3）MATLAB具有很强大的 工具箱。MATLAB是由具

6、有数百个内部函数的核心部分和由学科性工具箱 及功能性工具箱的各种可选工具箱组成。（4）具有完整的帮助功能等特点.1.2.2MATLAB 的组成开发环境：MATLAB的开发环境由进入matlab操作程序的界面的桌面、用来执行 所有命令的执行窗口、进行文件调试的调试器器、matlab的工作区、用 来解决故障的在线帮助和用来记录输入情况的历史记录组成。数学函数库由于matlab的最强大的功能是计算，所以它有非常强大的函数数据 库，包含了从基本函数一直到复杂的函数，用来更快的计算各种数据。MATLAB 语言由于matlab程序是一项相对独特的计算工具，所以它有自己的识别 语言，matlab提供的是一种

7、解释的语言，主要由C语言组成，但比C语 言简便、宽松。图像处理系统：Matlab的另一强大功能是处理各种图像和形成各种图像，因此它具 有一套比较完善的图像处理系统，包括二维及三维图像、图像识别、图像 处理等。程序接口：MATLAB程序接口可方便调用C语言，建立客户和服务器的关系。2实验设计2.1模拟滤波器的设计原理设计滤波器时，一般都先设计低通滤波器，再经过改变频率转换成高 通，带通，带阻等我们想要的类型。低通滤波器的设计流程：第一步，确定滤波器的技术指标；第二步，调用滤波器文件;第三步，根据调用的文件计算滤波器的波纹系数和滤波器的系统阶数;第四步，根据波纹系数和系统阶数绘制幅频响应和相频响应

8、函数；第五步，幅频响应和相频响应绘制系统图。2.1.1滤波器的技术指标通带边界频率(Qp)，通带最大衰减(ap)，阻带截止频率(Q), 阻带最小衰减(a) 3等组成了滤波器的技术指标。其中低通滤波器的 ap和a可表示为：2.1.2逼近方法用频率响应的幅度平方函数逼近。幅度平方函数：由滤波器的技术指标ap、Qp、a和Q求出频率响应函数|Ha(jQ)|2, 从而我们就可以求出Ha()Ha( )，最后求出所需要的系统函数Ha()。为 了使系统函数Ha ()稳定，需要将系统函数Ha ()的极点落在平面的左半平 面，而将Ha(一)的极点落在右半平面。这就是模拟低通滤波器的逼近方 法。四种低通滤波器都有明

9、确的幅度平方函数表达式，可以直接应用。2.2巴特沃斯低通滤波器1设计原理：幅度平方函数：(式1)其中N滤波器的阶数，幅度下降的速度与阶数有关，幅度特性与阶数的关 系如图4图4幅度特性与阶数的关系由图显示N越大，通带越平坦，过渡带越窄，幅频与理性滤波器的差 别越小。逼近函数：（式2）极点Sk分布函数：（式3）其中 k=0，1，2，2N-1.根据逼近方法，构成的系统函数Ha（）为：（式4）将频率归一化，得到归一化后的系统函数：（式5）在式5中带入归一化频率入和归一化变量p，得到归一化低通原型 系统函数：（式6）归一化极点：（式7）阶数N的确定：2设计步骤求阶数N。用我们设计的技术指标通带边界频率(

10、Qp)，阻带截 止频率(。)，通带最大衰减(ap)，阻带最小衰减(a)等技术指标通 过式8求出阶数N。求系统函数。根据式7求出归一化极点Pk,将归一化极点带入式 6求出系统函数Ga(p).求实际系统函数。将系统函数反归一化。将p=/Qc代入系统函数， 可求得实际系统函数3用MATLAB设计巴特沃斯滤波器调用格式如下：Z,P,K=buttap(N)N,wc=buttord(w,wp,Rp,A)N,wc=buttord(w,wp,Rp,A,/)B,A=butter(N,wc,/ftype/)B,A=butter(N,wc,/ftype/,/)设计程序Wp=2 某 pi 某 6000;w=2 某 p

11、i 某 14000;Rp=2;R=30;N,wc=buttord(wp,w,Rp,R,/);B,A=butter(N,wc,/);k=0:511;fk=0:16000;wk=2 某 pi 某 fk;T=freq(B,A,wk);Subblot(2,2,1);Plo(fk/1000,20 某 log10(ab(T);某 label(/频率(kHz)/);ylabel(/幅度(dB)/)a 某 i (0,14,-40,5)运行结果：N=4wc=3.7109e+005,B=7.7219e+025A=11.4243e+0057.3518e+0082.6226e+0142.7261e+0187.1707

12、e+022损耗函数曲线如图5图5巴特沃斯损耗函数图2.3切比雪夫低通滤波器1设计原理幅度平方函数：(式9)其中表示通带中幅度波动的程度，E越小，波动幅度也越小。E的取 值范围为：01阶数N的确定：(式 10)(式 11)幅度波动程度参数：，其中(式12)极点构成的系统函数：(式 13)归一化后的系统函数(式 14)反归一化后的系统函数：(式 15)2设计步骤确定通带边界频率(Qp)，通带最大衰减(ap)，阻带截止频率 (Q)，阻带最小衰减(a)等滤波器所需的技术指标3。确定阶数N。用式9、式10、式11即可取得所需的阶数。确定幅度波动程度参数。用式12可求得滤波器幅度波动程度 参数。求归一化系

13、统函数Ga(p).用式13和式14可求得。用式15将归一化系统函数Ga(p)反归一化，得到实际系统函数 Ha()。3用MATLAB设计切比雪夫滤波器I型滤波器调用格式如下:z,p,k=cheb1ab(N,Rp)N,wpo=cheb1ord(w,wp,Rp,R)N,wpo=cheb1ord(w,wp,Rp,R,/)B,A=cheby1(Rp,N,wpo,/ftype/)B,A=cheby1(Rp,N,wpo,/ftype/,/)II型滤波器格式调用如下：z,p,G=cheb2ab(N,R)N,wo=cheb2ord(w,wp,Rp,A)N,wo=cheb2ord(w,wp,Rp,A,/)B,A=

14、cheby2(Rp,N,wo,/ftype/)B,A=cheby2(Rp,N,wo,/ftype/,/)程序设计：wp=2 某 pi 某 5000;w=2 某 pi 某 13000;Rp=0.1;A=50;n1,wp1=cheblord(w,wp,A,Rp,/);r1,t1=cheby1(n1,Rp,wp1,/);Subplot(2,2,1);fk=0:130000/512:13000;wk=2 某 pi 某 fk;k=freq(r1,t1,wk);plot(fk/1000,20 某 log10(ab(k);某 label (/频率(kHz) /);ylabe1(/幅度(dB) /)a 某 i

15、 (0,12,-70,5)运行结果：N=4B=1.2187e+0.11A=13.1782e+0049.81254+0081.6553e+0131.6423e+0179.7453e+020损耗函数分别如图6a,图6b图6切比雪夫滤波器损耗函数图2.4椭圆低通滤波器1设计原理当椭圆滤波器的通带和阻带中的波纹固定时，阶数越低，过渡带越宽，当 阶数固定时，波纹幅度越大，过渡带就越窄3。阶数N和过渡带的关系 如图7图7N与过渡带的关系2设计步骤确定所需的Wp,W,Ap,A等数字滤波器的性能指标；经过数字变换处理将数字滤波器的性能指标转变成模拟滤波器的 性能指标；由模拟滤波器的性能指标设计出模拟滤波器的系

16、统函数Ha();将模拟滤波器的系统函数反变换成数字滤波器的系统函数。3用MATLAB设计椭圆滤波器调用格式如下：z,p,k=ellipap(N,Rp,A)N,wpo=ellipord(wp,w,Rp,A)N,wpo=ellipord(wp,w,Rp,A,/)B,A=ellip(N,Rp,wpo,/ftype/)B,A=ellip(N,Rp,wpo,/ftype/,/)程序设计：wp=2 某 pi 某 3000;w=2 某 pi 某 14000;Rp=0.1;A=60;N,wpo=ellipord(wp,w,Rp,A,/);B,A=ellip(N,Rp,A,wpo,/);Subplot(2,2,

17、1);fk=0:130000/512:13000;wk=2 某 pi 某 fk;w=freq(B1,A1,wk);plot(fk/1000,20 某 log10(ab(w);某 labe1(/频率(kHz)/);ylabe1(/幅度(dB)/)a 某 i (0,12,-70,5) 运行结果:N=4Wpo=1.885e+004A=13.2192e+0049.6762e+0081.1446e+0131.2314e+017损耗函数如图8图8椭圆滤波器损耗函数3实验结果与分析3.1实验结果一.频率响应函数H(ej3)= |H(ejW)|ejO(3),其中 |H(ejs)|为幅频特性函数； 。(3)为相

18、频特性函数。滤波器由幅频特性函数和相频特性函数共同确定，即使幅频特性相同， 而相频特性不同，对相同的输入信号，最后的输出波形也不一样3。一 般滤波器的技术指标由幅频特性给出，当对输出波形作要求时(如波形传 输等)，就需要设计相频特性的技术指标，否则一般不考虑相位特性。一般情况下都由损耗函数描述滤波器的幅频特性。损耗函数的定义为:损耗函数的优点：损耗函数是对幅频相应进行了非线性压缩处理，是 将小的幅度进行了放大3。损耗函数和幅频特性函数只是对幅频相应的 两种表达方式，但根据MATLAB直接画出的损耗函数与幅频曲线正好相反， 所以一般将一A(Q)作为损耗函数。固在进行四种函数幅频特性比较时可 以直

19、接比较它们的损耗函数。1幅频特性比较幅频特性函数|H(jQ)|，幅频特性表示该信号通过滤波器后信号中各 振幅的衰减变化情况1。选频率波器的技术一般由幅频特性给出。根据 第三章可直接得出四种低通滤波器的幅频特性函数图形。2巴特沃斯低通滤波器幅频特性函数图形如图9图9巴特沃斯幅频特性图损耗函数图形如图10图10巴特沃斯损耗函数图分析：从图9和图10可以看出，在通带和阻带内巴特沃斯低通滤波 器的频率函数都是单调减函数，而且过渡带比较宽，固当通带满足技术指 标时，通带就会出现富余量，及阶数N就需要很大，造成一定程度的浪费。3切比雪夫低通滤波器幅频特性函数图形如图10图10切比雪夫滤波器幅频特性(2)损

20、耗函数图形如图11图11切比雪夫滤波器损耗函数分析：从图11和图12可以看出，切比雪夫I型滤波器的幅频特性在 通带中是等波纹的、在阻带中是单调下降的，过渡带比较窄。从图11和图13而切比雪夫II型滤波器的幅频特性与切比雪夫I型滤 波器的幅频特性刚好相反，在通带中是单调下降的，而在阻带中是等波纹 的形状，同样过渡带比较窄。优点：切比雪夫滤波器过渡带比较窄，而且逼近精确度均匀的分布在 整个通带或阻带中，大大降低了滤波器的阶数。4椭圆滤波器(1)幅频特性函数的图形如图14图14椭圆滤波器的幅频特性损耗函数的图形如图15图15椭圆滤波器的损耗函数分析：从图14和图15可以看出，椭圆滤波器的幅频特性函数

21、在通带 中和在阻带中都是等波纹的，过渡带同样比较窄，逼近特性是四种滤波器 中最好的。通过比较图9和图11，在满足同样的幅频响应指标时，巴特沃斯低 通滤波器较切比雪夫滤波器的阶数高，而且巴特沃斯滤波器和切比雪夫滤 波器在阶数相同时，巴特沃斯滤波器具有较宽的过渡带；而相比巴特沃斯 滤波器，切比雪夫低通滤波器的阶数低、逼近精确度均匀的分布在通带或 阻带中。通过比较图11和图14,切比雪夫的幅频特性在通带或者是在阻 带中是等波纹特性的，及滤波器的逼近精确度是分布在阻带或通带中的。 而图14反应的椭圆滤波器的幅频特性在通带内和在阻带内都是等波纹的， 及椭圆滤波器的逼近精确度均匀的分布在整个通带和阻带中，

22、而不是单独 的分布。通过比较图9、图11和图14，在相同指标下巴特沃斯低通滤波 器的阶数最高，椭圆低通滤波器的阶数最低，在阶数相同时，巴特沃斯低 通滤波器的过渡带最宽，椭圆的最窄。综上，椭圆滤波器具有四种低通滤波器中最好的逼近精确度。二.相位特性相位特性函数用来表示信号中各频率通过滤波器时在时间上的延迟情 况，一般情况下在设计滤波器时对相频特性不作要求，但如果对输出波形 有要求（比如：图像信号处理、传输波形）时，需要对相频特性作出一定 的改变3。四种低通滤波器的相位特性图像：巴特沃斯相频特性图形，如图16图16巴特沃斯相频特性分析：从图16中可以看出巴特沃斯低通滤波器的相频特性大约在通 带的3

23、/4处具有线性特性。切比雪夫滤波器的相位特性图形：切比雪夫I型滤波器相位特性图形和切比雪夫I型滤波器相位特性图 形分别如图17和如图18.图17切比雪夫I型滤波器图18切比雪夫II型滤波器分析：从图17和图18可以看出，切比雪夫I型滤波器和切比雪夫II 型滤波器的相位特性同样在通带的3/4处具有线性特性。椭圆滤波器的相位特性图形，如图19图19椭圆滤波器的相位特性分析：从图19可以看出，椭圆滤波器的相频特性在通带的1/2处具 有线性特性。通过比较图16、图17和图18，巴特沃斯低通滤波器和切比雪夫低通 滤波器的线性相位特性一样，都在接近通带的3/4处。通过比较图17和 图19,椭圆滤波器的相位

24、特性在通带的1/2处。综合对四种低通滤波器的幅频特性和相位特性的比较，椭圆滤波器具 有最好的幅频特性和相位特性，因此具有最优的性能。3.2实验分析由于四种低通滤波器的幅频特性函数、相频特性函数各有差异，这样 即滤波器的技术指标相同，但是组成的滤波器不同，同样造成了不同的幅 频特性图和相频特性图。通过以上对四种低通滤波器在幅频特性和相位特 性的比较，在相同指标条件下巴特沃斯滤波器具有最高的阶数，其次是切 比雪夫滤波器，而阶数最低的是椭圆滤波器；在阶数相同的情况下，巴特 沃斯滤波器的过渡带在四种滤波器中最宽，其次是切比雪夫滤波器，最窄 的是椭圆滤波器；由于过渡带及波纹的影响，四种滤波器中逼近精确度

25、最 高的是椭圆滤波器，其次是切比雪夫滤波器，最低的是巴特沃斯滤波器。 通过以上对四种滤波器的比较，椭圆滤波器的阶数最低，逼近精确度最好， 固造价最低，同样精确度最好，固应用比较广泛。如果在满足幅频响应的 指标情况下，可以选用阶数最低的椭圆滤波器。结论课本我们学习了巴特沃斯低通滤波器，切比雪夫滤波器，椭圆滤波器 等四种低通的原理、设计以及用matlab来仿真四种低通滤波器，通过本 文加深了对四种低通滤波器的认识和深化。本文主要研究四种低通滤波器的性能，比较在同一阶数下，四种低通 滤波器的幅频特性，通过比较满足滤波器幅频指标，椭圆滤波器的性能最 优，当然性价比也最高。本文的重点包括：了解滤波器和M

26、ATLAB的发展，及MATLAB的仿真程序和它的特性。介绍了四种低通滤波器的设计过程，利用MATLAB作出了它们各自的 幅频特性函数图形和损耗函数图形。本文的重点是从幅频特性和相位逼近两方面比较四种了四种低通滤波 器的性能。本文的结构：第一部分为引言。主要介绍了研究本文目的、意义及方法。第二部分为正文。主要介绍了实验平台、实验设计、实验结果与分析。第三部分为结论。第四部分为参考文献。经过本文的研究，基本了解了滤波和MATLAB的发展，四种低通滤波 器的设计以及对它们性能的比较，虽然对滤波器的发展可谓是杯水车薪， 但对人们日后对选择滤波器方面提供了一点点的帮助。参考文献AutoSC,NairnD

27、G,SedraAS.AnAutomatedSwitchedCapacitorLadderFil terDeignProgram,IEEE,1988,4(2):5-8.BaherH.MicroelectronicSwitchedCapacitorFilter.IEEE,1991(1):3 3-36.丁玉美，高西全.数字信号处理M.西安：西安电子科技大学出版社， 2004： 151-222.DavidBL,DavidBV.APackageforFilterDeignBaedonMATLAB.IEEE,2001 ,15(4):13-16.李钟慎.基于Matlab设计巴特沃斯低通滤波器J.信息技 术，2 003 (3):44 45.张殿龙，王福文.巴特沃斯低通