三角网的差分格式

1、4.)4.三角网差分格式前面介绍了矩形网格的差分格式，其特点是：计算公式简单，求解差分方程较容易，但是对于复杂的区域其几何逼近误差大，不能局部任意调整网格，不易处理法向导数边界条件。三角网的差分格式具有网格的灵活，法向导数边界条件容易处理等优点，特别地，它还保持积分守恒(质量守恒)，深受使用者的欢迎。积分插值法用于三角网，可得到三角网的差分格式。文献上常称之为有限体积法或广义差分法。考虑有界区域G上的Poisson方程(4.1)，Auf在边界r上各个部分r,r,r分别满足第一、第二或第三边值条件：(4.1)a(4.1)b(4.1c)其中k是常数。作g的三角剖分：1)在r上取一系列的点，以其为顶

2、点连成闭折线rr,并记G为由r围成且逼近g的多边形区域；2)将G分割成有限个三角形之和。这些三角形满足：任意一个三角形的顶点与其它三角形或者不相交，或者仅仅与其他三角形的顶点相交；三角形的每个内角不大于90。引入如下术语：节点三角形的顶点；单元每个三角形；同一条边上的两个节点互为相邻节点；有一公共边的两个三角形互为相邻单元；对于任一节点，考虑所有以它为顶点的三角形单元和以它为顶点的三角形边，过每一条边作中垂线，交于外心，得到围绕该节点的小多边形，称为对偶单元。全体对偶单元构成区域g的一个新的网格剖分，称为123(x,y)ridudn丿=中(x,y)r2du+Kudn丿r34.)面我们先对每一个

3、内点建立差分方程。4.)4.)设p是如图的内点，p,p,p是p的相邻节点，q是三角形Appp01260i0ii1（p，p）的外心（三条垂直平分线的交点），m是线段pp的中点，G是71i0i012q,q,q所围成的对偶单元。对于4.1）两端在G上积分，得0-Au（x,ydxdy，f0;ydxdyG0G0利用公式，得4.)4.)竺ds，fx,ydxdydn叫Go其中G是G的边界，n是G的外法向量。000亠注意)，J竺ds=J迥ds=nnu(p)-u(p)i+1pp0i+10-qq+R(u)ii+1G0其中RC）是截断误差。带入到（4.2）,舍去RC）,即得p点的差分方程:G0G0其中u和u0i+1

4、qiqi+1Cu)=JJf0;ylixdyppi+10匸10i+1G0分别是u(P)和u(P)的待求差分近似值。0i+1其次，我们建立边界点处的差分方程。如图，设p是界点，相应的对偶单0元为pmqqqp。若所给的是第一边值条件61），贝U令u=a（p）即可。若所0112301p00给的是第二边值条件或第三边值条件,例如4.6)u+uV孔丿（三0时就是第二边值条件），则需要补充一个方程。此时与（4.2）类似地有(4.6),uuuJds+Jds+Jds+nnn1q1q1q2q2q3对于后四项仿照公式（）的方法离散化，例如J色ds一nm1q1J竺ds=nm4q3-u),0m4q3Ip0p4=JJf(x,yIlxdyG0qq()12-uu丿,pp2002q2q323pp03C-u),30Jds和Jds，可以利用梯形数值求积公式，有nnm4p0p0m1(4.8)Jds=J(y-uhs=JVds一Judsmpy-1n4m4p0m4p0m4p0(=mpyh匕2对于mp()40检+U丿2p0m440m4p0=mpV，匕240(川H+u丿p0p4丿丿G0Tq,-q,-+!T3uP0P4丿同理（4.8）2m1P0Cu+u）pop