奥数题：不定方程

1、不定方程知识梳理：一、知识点说明历史概述不定方程是数论中最古老的分支之一古希腊的丢番图早在公元世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元世纪的张丘建算经中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来考点说明在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能

2、够在以后的学习中使用这个工具解题。二、不定方程基本定义1、定义：不定方程（组）是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）。2、不定方程的解：使不定方程等号两端相等的未知数的值叫不定方程的解，不定方程的解不唯一。3、研究不定方程要解决三个问题：判断何时有解；有解时确定解的个数；求出所有的解三、不定方程的试值技巧1、奇偶性2、整除的特点（能被2、3、5等数字整除的特性）3、余数性质的应用（和、差、积的性质及同余的性质）例题：模块一、利用整除性质解不定方程求方程 2x3y8的整数解练习：求方程2x6y9的整数解求方程4x10y34的正整数解练习：求方程3x5y12的整数解模块二、利用余数性质解不定方程

3、求不定方程的正整数解有多少组？求方程3x5y31的整数解练习：解方程，（其中x、y均为正整数）模块三、解不定方程组解方程 （ 其中a、b、c均为正整数 ）练习：解不定方程 (其中x、y、z均为正整数)二元一次方程组的解法代入消元法代入法是通过等量代换，消去方程组中的一个未知数，使二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求得一个未知数的值，然后再求出被消去未知数的值，从而确定原方程组的解的方法.代入消元法是解二元一次方程组的基本方法之一.“消元”体现了数学研究中转化的重要思想，代入法不仅在解二元一次方程组中适用，也是今后解其他方程（组）经常用到的方法.用代入法解二元一次方程组的一般步骤：从方程组中

4、选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数，例如，用另一个未知数如的代数式表示出来，即写成的形式；代入另一个方程中，消去，得到一个关于的一元一次方程；解这个一元一次方程，求出的值；回代求解：把求得的的值代入中求出的值，从而得出方程组的解.把这个方程组的解写成的形式.加减消元法加减法是消元法的一种，也是解二元一次方程组的基本方法之一.加减法不仅在解二元一次方程组中适用，也是今后解其他方程（组）经常用到的方法.用加减法解二元一次方程组的一般步骤：变换系数：把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当的数，使两个方程里的某一个未知数的系数互为相反数或相等；加减消元：把两个方程的两边分别相加或相减，

5、消去一个未知数，得到一个一元一次方程；解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；回代：将求出的未知数的值代入原方程组中，求出另一个未知数的值；把这个方程组的解写成的形式.例6：解下列方程 练习：解下列方程 一、填空题1.已知和分别表示两个自然数,并且 ,+= .2.箱子里有乒乓球若干个,其中25%是一级品,五分之几是二级品,其余91个是三级品.那么,箱子里有乒乓球 个.3.某班同学分成若干小组去值树,若每组植树n棵,且n为质数,则剩下树苗20棵;若每组植树9棵,则还缺少2棵树苗.这个班的同学共分成了 组.4.不定方程的自然数解是 .5.王老师家的电话号码是七位数,将前四位数组成的数与后四位数组成

6、的数相加得9063;将前三位组成的数与后四位组成的数相加得2529.王老师家的电话号码是 .6.有三个分子相同的最简假分数,化成带分数后为.已知a,b,c都小于10,a,b,c依次为 , , .7.全家每个人各喝了一满碗咖啡加牛奶,并且李明喝了全部牛奶(若干碗)的和全部咖啡(若干碗)的.那么,全家有 口人.8.某单位职工到郊外植树,其中的职工各带一个孩子参加,男职工每人种13棵树,女职工每人种10棵,每个孩子种6棵,他们共种了216棵树,那么其中有女职工 人.9.将一个棱长为整数(单位:分米)的长方体6个面都涂上红色,然后把它们全部切成棱长为1厘米的小正方体.在这些小正方体中,6个面都没涂红色

7、的有12块,仅有2面涂红色的有28块,仅有1面涂红色的有 块.原来长方体的体积是 立方分米. 10.李林在银行兑换了一张面额为100元以内的人民币支票,兑换员不小心将支票上的元与角、分数字看倒置了(例如,把12.34元看成34.12元),并按看错的数字支付.李林将其款花去3.50元之后,发现其余款恰为支票面额的两倍,于是急忙到银行将多领的款额退回.那么,李林应退回的款额是 元.二、解答题11.一队旅客乘坐汽车,要求每辆汽车的乘客人数相等,起初每辆汽车乘22人,结果剩下一人未上车;如果有一辆汽车空车开走,那么所有旅客正好能平均分乘到其它各车上.已知每辆汽车最多只能容纳32人,求起初有多少辆汽车?有多少旅客?12.小王用50元钱买40个水果招待五位朋友.水果有苹果、梨子和杏子三种,每个的价格分别为200分、80分、30分.小王希望他和五位朋友都能分到苹果,并且各人得到的苹果数目互不相同,试问他能否实现自己的愿望?13.一次数学竞赛准备了22支铅笔作为奖品发给一、二、三等奖的学生,原计划发给一等奖每人6支,二等奖每人3支,三等奖每人2支,后来改为一等奖每人9支,二等奖每人4支,三等奖每人1支,问:获一、二、三等奖的学生各几人?14.采购员用一张1万元支票去购物.购