2022年二阶非齐次线性微分方程的解法

1、精品资料 欢迎下载 目 录 待定系数法 常数变异法 幂级数法 特点根法 升阶法 降 阶法 关键词：微分方程,特解,通解, 二阶齐次线性微分方程 常系数微分方程 待定系数法 L x 2 d x a1 dx a2 x 0, 1 解决常系数齐次线性微分方程 2 dt dt 这里 a1 , a2是常 数 . 特点方程 F 2a1 a2 01.1 1 特点根是单根的情形 设 1 , 2 , , n 是特点方程的 1.1 的 2 个彼此不相等的根, 就相应的方程 1 有如 下 2 个解： 1 t e , e 2t 1.2 1 的 2 个线性无关的实值解,而方程 假如 i i 1, 2 均为实数,就 1.2

2、 是方程 1 的通解可表示为 x c e 1t c e 2t 假如方程有复根, 就因方程的系数是实系数, 复根将成对共轭显现； 设 i是一特点根, 就 i 也是特点根, 因而与这对共轭复根对应, 方程 1 有两 个复值解 e it e t cos t i sin t, 第 1 页,共 18 页e i t e t cos t i sin t. 精品资料 欢迎下载 它们的实部和虚部也是方程的解；这样一来,对应于特点方程的一对共轭复根 i,我们可求得方程 1 的两个实值解 t e cos t t, e sin t. （ 2）特点根有重跟的情形 k 1如 1 0 特点方程的 k 重零根,对应于方程 1

3、 的 k 个线性无关的解 1,t, t , t ； 如 这 个 k 重 零 根 1 0, 设 特 征 根 为 1, 2 , , m , 其 重 数 为 k1, k2 , , k m k1 k2 k m 2 ；方程 1 的解为 e 1 t , t e 1t , t k11e 1t ; e 2t , t e 2 t , t k 2 1 e 2t ; ; e , t e mt , t km 1e mt ; 对于特点方程有复重根的情形,譬如假设 i 是 k 重特点根,就 i也是 k 重特点根,可以得到方程 1 的 2k 个实值解 t t 2 t k 1 t e cos t, te cos t,t e

4、cos t, ,t e cos t, e t sin t, te t sin t ,t 2e sin t , , t k 1e t sin t. d 2 x 2 x 0 例 1 求方程 dt 的通解； 21 0 的根为 1 1, 2 1 有两个实根,均是单根,故方程的通 解 特点方程 解为 x t c1e t c2e , 这里 c1,c2 是任意常数； 例 2 求解方程 d 2 x x 0的通解； i有两个复根, 均是单根, 故方程的通解 2 dt 210 的根为 1i , 2解 特点方程 为 x c1 sin t c2 cost, 第 2 页,共 18 页精品资料 欢迎下载 这里 c1,c2

5、 是任意常数； 某些变系数线性齐次微分方程的解法 （一）化为常系数 1. 在自变量变换下,可化为常系数的方程 一类典型的方程是欧拉方程 2 x 2 d y dy a1x dx a2 y 02 2 dx 这里 a1, a2为常数,它的特点是 y 的 k 阶导数 次方乘以常数 . （ k=0,1,2, 0 规定 y =y）的系数是 x 的k 我们想找一个变换,使方程 2 的线性及齐次性保持不变,且把变系数化为常系 数；依据方程 x 本身的特点,我们选取自变量的变换 x t ,并取 t e ,即 变换 x t e t ln x 2.1 x 0 ,当 x 0 时,取 x t e,以后为确定起见, 就可

6、以达到上述目的（这里设 认为 x0）； 事实上,由于 dy dy dt t et dy e 2t 2 d y 2 dx dy dt dx dt dx dt 2 d y d dt e dy dt dt dx 2 dx 2 ,就原方程变为 代入方程 2 d y a1 1 dy dt a2 y o 2.2 2.1 , 2 dt 2.2 方程 常系数二阶线性微分方程,由 上可求得方程的通解；再变换 代回原先的变量,就得到原方程 2 的通解； 例 2 求方程 x 2 d y dy 5x dx 4 y 0的通解 2 dx 第 3 页,共 18 页解 此方程为欧拉方程,令 x 精品资料 欢迎下载 t e ,

7、就由 2.2 知,原方程化为 d 2 y 4dy 4 y o2.3 2 dt dt 其特点方程为 24 4 0特点根为 1 2 2 ,故方程 2.3 的通解为 2t y c1 c2te 换回原自变量 x ,就原方程的通解为 2y c1 c2 ln x x 2. 在未知函数的线性齐次变换下,可化为常系数的方程 现在考虑二阶变异系数线性方程 d 2 y dy 2 P1x P2 x y 0 2.4 dx dx P1 x, P2 x 中意什么条件时,可经适当的线性齐次变换 的系数函数 y a x z 2.5 化为常系数方程；这里 a x 是待定函数； 为此,把 2.5 代入方程 2.4 ,可得到 P2

8、 xa x z 0 2.6 a x z 2 a x P1 xa x z a x P1 x a x 欲使 2.6 为常系数线性齐次方程,必需选取 a x 使得 z , z 及 z 的系数均为常 数；特别地,令 z 的系数为零,即 2a P1 xa0可求得 1a x e 2P1 x d x 再代入 2.6 ,整理之,得到 第 4 页,共 18 页 z P2 x 12 P1 x 1精品资料 欢迎下载 P1 x z 02.7 422.4 可经线性齐次变换 由此可见,方程 1y e 2p1 xdx z 2.8 化为关于 z 的不含一阶导数项的线性齐次方程 2.7 ,且当 z 的系数 I x P2 x 1

9、 P1 x 2 1 P1 x 4 22.7 为常系数方程； 为常数时,方程 因方程 2.4 在形如 2.8 的变换下,函数 I x 的值不会转变,故称 I x 为方程 2.4 的不变式；因此,当不变式 I x 为常数时,方程 2.4 可经变换 2.8 化为常 系数线性齐次方程； 2 例求方程 x y xy 2 x 1 y 0的通解 4P1 x 解 这里 1,因 1 , P2 x 1x 2 4 x I x 1 1211 1 4 x 21 2x 1 2 4x故令 z y e1 1 dx 2 x z x 就可把原方程化为常系数方程 z z 0可求得其通解为 z c1 cosx c2 sin x 代回

10、原变量 y ,就得原先方程的通解为 y c cos x c sin x x x 第 5 页,共 18 页精品资料 欢迎下载 （二）降阶的方法 处理一般高阶微分方程的基本原就是降 阶,即利用适当的变换把高阶方程的求解问题转化为较低阶方程的求解问题； 具 体参考常微分方程的思想与方法,这里只争辩二阶的； 2已知 d x 2 pt dx qt x 0 x 0dt dt 的一个特解 ,试求该方程的通解 解 作变换 x x1 ydt ,就原方程可化为一阶线性微分方程 dy x1 2x1 pt x1 y 0, dx 求解,得 y c 1ep tdt , 2 x1 所以原方程的通解为 x x c 2 c 1

11、eptdt dt . 2 x1 法二 设 x2 是方程的任一解,就有刘维尔公式得 x1 x2 c ce pt dt x1 x2 0 ,亦即 其中常数 p t dt x1x2 x1 x2 ce . 1以积分因子 2x 乘上式两端,就可推出 d x 2 c 2 e p tdt , dt x1 x1 积分上式可得到 x x1 c2 c1 1eptdt dt . 2 x1 第 6 页,共 18 页精品资料 xy 欢迎下载 例 求方程 xy y 0的通解 解 由观看知方程有一特解 y1 x x ,令 y xz 就 y z xz , y 2 z xz ,代入方程,得 2 2 x z 2 x x z 0再令

12、 z u ,得一阶线性齐次方程 2 x u 2 x xu 0从而可得 u c1 ex x 2 , z c1 ex x 2 dx c2 c1 1,c2 0, 便得原方程的另一解 取 y2 x ex x 2 dx y1 , y2 线性无关,故方程的通解为 明显,解 y c1x c2 x ex x 2 dx 幂级数法 考 虑 二 阶 线 性 微 分 方 程 d 2 y px dy qx y t 0 1 及 初 值 yx 0 y0 及 2 dx dx y x 0 y 0 的情形 x x0 ,经此变换,方程的 可设一般性,可设 x0 0 ,否就,我们引进新变量 第 7 页,共 18 页形式不变,但这时对

13、应于 x 精品资料 欢迎下载 0 . x0 的就是 t0 0 了. 因此总认为 x0 定理 如方程 1 中的系数 p x 和 q x 都能展成 x 的幂级数, 且收敛区间为 x R , 就方程 1 有形如 ny an x n 0 的特解,也以 x R 为级数的收敛区间 . x 的幂级数, 且收敛区间为 x R , 定理 如方程 1 中的系数 p x 和 q x 都能展成 就方程 1 有形如 y n an x n 0 的特解,也以 x R 为级数的收敛区间 . 定理 如方程 1 中的系数 px 和 q x 具有这样的性质,即 xp x 和 x q x 都能展 成 x 的幂级数,且收敛区间为 x

14、R, 如 a0 0 , 就方程 1有形如 ny x an x 1.1 n 0 是一个待定的常数 . 级数 1.1 x R 为级数的收敛区间 . 的特解, 也以 例 求方程 y 2 xy 4 y 0 的中意初值条件 y0 0 及 y 0 1 的解 解 设 y a0 a1 x 2 a2 x n an x 1.2 第 8 页,共 18 页精品资料 欢迎下载 为方程的解 . 利用初值条件,可以得到 a0 0, a1 1, 因而 将 y, y, y y 2 x a2 x n an x 得 y 2 1 2a2 x 3a3x n 1 nan x y 2a2 3 2a3x n 2 nn 1an x 的表达式代

15、入原方程, 合并 x 的同次幂的项, 并令各项系数等于零, a 20,a 31,a 到 0, an2a n2, n1因而 a 51 , a 6 2. 0, a 11 , a 8 3. 0,a 94. 1 , 6最终得 a2k 1 1 1 1, a2k 0, k k 1. k . k 成立. 对一切正整数 将 ai i 0,1,2, 的值代回 1.2 就得到, 5 2k 1 3 x x y x x 2. k. 4 2 k x x x1 x 2 2. k . 2=xe x , 这就是方程中意所给初值条件的解 . 例用幂级数解法求解方程 y xy y 0第 9 页,共 18 页解 由于 p0 x 1

16、,p1 x 精品资料 欢迎下载 n0n an x 的 x, p2 x 1 ,所以在 x0 0 的邻域内有形如 y0 y0 , y0 , y0 代入原方程,得 幂级数解 . 将 0. 2 a2 a0 nn 1an n 3 n 2 n 1an 2 x x 的同次幂的系数,得 比较 2a2 a0 0,6 a3 22a1 0, 4. nn 1an nn 1an 0 n 解得 a 2a0 2,a 3a1 , a 2n n 1 1 n a 2 n. 0, 3a2n 1 n 1 a1 . 1 1 3 2n 所以,原方程的通解为 y a0 n01 n. 2 x na1 n0 1 3 n 1 2n 1 x 2

17、n 1 , 2y a e x 2 a 1n 0 1 3 n 1 1 x 2 n 1. 22n 即 方程组的消元法 在某些情形下,类似于代数方程组的消元,我们可以把多个未 知函数的线性方程组化为某一个未知函数的高阶微分方程来求解 例 求解线性微分方程组 dx dt dy dx x 5 y, 2x y. 解 从第一个方程可得 第 10 页,共 18 页精品资料 欢迎下载 1 dy y x , 1.2 5 dx x 的二阶方程把它代入其次个方程,就得到关于 式 2 d x 9 x 0. 2 dt 不难求出它的一个基本解组为 x1 cos3t , x2 sin 3t, 把 x1 和 x2 分别代入 1

18、.2 式,得出 y 的两个相应的解为 y 11 cos3t 53sin 3t , y 1 sin 3t 53cos3t. 由此得到原先微分方程组的通解为 x c1 5cos3t c2 5sin 3t , y cos3t 3sin 3t sin3t 3cos3t c1 和 c2 为任意常数 其中 二阶非齐次线性微分方程 待定系数法 常用于解决常系数非齐次线性微分方程 L x 2 d x a1 dx a2 x f t ,2 2 dt dt 这里 a1 , a2是常数, f t 为连续函数 类型一 设 f t m b0t m 1 b1t bm 1t t bm e , 其中 及 bi i 0,1, m

19、为实常数, 那么方程 1有形如 x k mt B 0 t m 1 B1t Bm 1t Bm e t 第 11 页,共 18 页的特解,其中 k 为特点方程精品资料 欢迎下载 k 1；当 不是 F =0 的根 的重数 单根相当于 特点根时,取 k 0 , 而 B0 , B1, Bm是待定常数, 可以通过比较系数来确. 定 类型二 设 t A t cos t B t sin t e 其中 , 是常数 , 而 A ,B t 是带实系数的 t 的多项式,其中一个的次数为 m,而另一个的次数不超过 m, 那么我们有如下结论： f 方程 2 有形如 x t k P t cos t Q t sin t ea

20、t 的特解,其中 k 为特点方程 F =0 的根 a i的重数,而 P t ,Q t 均为待定 的带实系数的次数不高于 m 的 t 的多项式, 可以通过比较系数来确定 . 求方程 d x 22 2 dx 3x 3t 1dt dt 的通解 解 先求对应的齐次线性微分方程 2d x dx 2 2 3x 0dt dt 2的通解 . 这里特点方程 2 3 0 有两个根 1 3, 2 1 . 3t t 因此,通解为 x c e c e ,其中 c , c 2 为任意常数 . 再求非齐次线性微分方程的 一个特解 . 这里 f t 3t 1, 0,又由于 0 不是特点根,故可取特解形如 x A Bt ,其中

21、 A, B 待定常数 . 为了确定 A,B, 将 x A Bt 代入原方程,得到 2B 3A 3Bt 3t 1, 比较系数得 第 12 页,共 18 页精品资料 3, 欢迎下载 3B 2B 3A 1, 1 1B 1, A , x t , 由此得 3 从而 3 因此,原方程的通解为 3t t 1x c1e c2 e t . 32求方程的 d x 2 4 dx 4 x cos 2t dt dt 通解 . 244 0 有重 1 2 2 ,因此,对应的齐次线性微分方程的 解 特点方程 根 通解为 2t x c1 c2te , 其中 c1 ,c2 为任意常数 . 现求非齐次线性微分方程的一个特解 . 由

22、于 2i 不是特点 根,我们求形如 x Acos 2 t Bsin 2t 的特解,将它代入原方程并化简得到 8B cos 2t 8 A sin 2t cos 2t, 1 1比较同类项系数得 A 0, B , x sin 2t , 8 从而 8 因此原方程的通解为 2t 1x c1 c2 te sin 2t. 8方法二 由方法一知对应的齐次线性的通解为 2t x c1 c2 te . 为 求 非 齐 次 线 性 微 分 方 程 的 一 个 特 解 , 我 们 先 求 方 程 2d x dx 2it 2 4 4 x e 2i 不 是 特 征 根 , 故 可 设 特 解 为 dt dt 的 特 解

23、. 这 是 属 于 类 型 一 , 而 i 2it i 1 1x e cos 2 t sin 2 t, Re x sin 2t, 8 8 8 分出它的实部 8 于是原方程的通解为 2t 1x c1 c2 te sin 2 t 8第 13 页,共 18 页精品资料 欢迎下载 注：对于 2ddt 2 x 2 a1 dx dt a2 x f t g t, 可分解为 d x d x dt 2 22 a1 a1 dx dx dt a2 x a2 x g t f t 4 3 ,并且f t , dt dt g t 均中意类型一或者类型二 . 如3,4 的特解分别为 x1 , x2 ,就原方程的特解为 x x

24、1 x2 . 2 2d x1 2 a1 dx1 a2 x1 f t d x2 2 a1 dx2 a2 x2 gt 这 是 因 为 dt dt , dt dt , 2 2d x dt 2 a 1 d x dt a x d x1 dt 2 x2 a 1 dx1 dt x2 a x x 2 2=（ d x1 dt 2 a1 d x1 dt a2 x1）+（ d x2 dt 2 a1 d x2 dt a2 x2 ） =f t gt, 求 x 4 x 4 x e t e 2 t 1 的通解 . 对应的齐次方程的特点方程为 2440, 14x22. et ,设其特解为 x A e t , 代入方程就的 即

25、得特点根为 1 对应方程 x 4 x A 1, 即方程 x 4x 4 x et 的一个特解为 x t e . 2 对应方程 x 4 x4 x e 2t ,设其特解为 x Bt 2 e 2t , 代入方程就的 即方程 x 4x 4x B 1, 2e2t 有一个特解为 x 12 2t t e . 2第 14 页,共 18 页3 对应方程 x 4 x4x 精品资料 欢迎下载 1 ,设其特解为 x C, 代入方程就的 即方程 x 4x4x C1 4, x 1. e 2t 有一个特解为 4所以原方程的通解为 2t t x e c1 c2t e12 2t t e 1, 24这里 c1 , c2 是任意常数

26、 . 升阶的方法 升阶是常微分方程很少提到的一种方法, 这是由于随着阶数的上升, 一般会使得 求解更为繁琐,但适当运用这种方法, 在有些情形下也可以受到事半功倍的成效 . 升阶法往往用于求常系数非齐次线性微分方程,具体分析见参考文献【 9】 例 用升阶法求方程 x 2x 3 x 3t 1 的一个特解 解 两边同时逐次求导,直到右边为常数,得 x 2 x 3x 3, 令 x 1 ,就 x x 0 代回原方程,得 2 3x 3t 1,解之,有 x t 1 ,该 表达式几位方程的一个特解 . 例 用升阶法求方程 x 2 x 5 x e t sin 2t 的一个特解 1 2i t 解 先求解方程 y

27、2 y 5 y e, 令 y ut e 1 2i t ,代入方程,得 u 4iu 1, 取 u 4i 1 14 i,进一步取 u 14 it ,就 1 1 2it 1 t y ite ite cos 2 t isin 2 t 4 41 t 1 t te sin 2t ite cos 2t, 4 4第 15 页,共 18 页精品资料 欢迎下载 其虚部函数为原方程的一个特解,即可求得原方程的一个特解为 x 1 te 4t cos 2t . 常数变易法 a1 t, a2 t, 定理 假如 an t, f t 是区间 at b 上的连续函x1 t, x2 t, xn t 数, 是区间 at b 上齐次

28、线性微分方程 n x a1 t x n1an t x 0的基本解组,那么,非齐次线性微分方程 n x a1 t x n 1 an t x f t 的中意初值条件 t0 0, t0 0, n 1 t0 0, t0 a, b 的解有下面公式给出 n t t x t Wk x1s, x2 s, , xn s f sds, k 1 t 0 W x1 s, x2 s, , xn s W x1s, x2 s, , xn s 是 x1 s, x2 s, , xn s 的 朗 斯 基 行 列 式 , 这 里 T Wk x1 s, x2 s, , xn s 是在 W x1 s, x2 s, , xn s 中的第

29、 k 列代以 0, 0, , 0,1 后得到的行列式,而且非齐次方程的任一解 ut c1 x1 t c2 x2 t cn xn t t, 这里 c1,c2 , , cn 是适当选取的常数 . ut 都具有形式 特别地,当 n 2 时 x a1 t x an t x 0 的特解为 f sds. W2 x1s, x2 s t t W1 x1s, x2 s t x t f sds x t W x1s, x2 s W x1s, x2 s t0 t0 W1 x1 s, x2 s 0 x2 s x2 s, 1x2 s 其中 W2 x1 s, x2 s x1 s 0 x1 s, x1 s 1第 16 页,共 18 页当 n 因此, 精品资料 欢迎下载 2 时,常数变易公式变为 t t x2 t x1 s x1 t x2 s f sds. W x1 s, x2 s t0 而通解就是 x c1x1t c2 x2 t t. 法二 n n 1 设 x1 t, x2 t, , xn t 是方程 x a1 t x an t x 0 的基本解组,当中意以 下 条 件 时 , x c1 t x1 t c2 t x2 t cn t xn t 是 方 程 n n 1 x a1 x t an x f 的通t 解 t x1 tc 1 t x2 tc t xn tc