一类可压缩超弹性圆柱体轴线上的空穴现象-

1、一类可压缩超弹性圆柱体轴线上的空穴现象*论文导读:：对于由一类均匀各向同性可压缩的广义Varga材料组成的实心圆柱体，研究其在给定的外外表拉伸和轴向拉伸或压缩共同作用下的轴对称变形问题利用能量变分原理得到了问题的控制方程和边界条件，并求得了描述柱体径向对称变形的参数型解析解和描述圆柱体轴线上空穴生成和增长的空穴分岔解给出了与泊松比和轴向伸长相关的径向临界伸长的表达式和空穴生成后的应力表达式；并通过数值算例讨论了这些参数对圆柱体轴线上空穴生成和增长、圆柱体的径向位移以及应力的集中和突变的影响，同时给出了相应的数值模拟论文关键词：可压缩超弹性材料，轴对称变形，轴向伸长，应力的集中和突变，空穴分岔0

2、 引言橡胶和类橡胶材料在现实生活中的应用是有目共睹的由于这些材料的制品都是在一定环境和载荷下使用的，因此它们都会遇到变形、失稳、使用寿命有限以及破坏等问题从力学性能上讲，橡胶和类橡胶材料具有复杂的分子特性以及材料和几何的双重非线性性质，这些材料同时又称为超弹性材料或Green弹性材料，它们的本构关系可完全由其应变能函数表示【1】在涉及超弹性领域的众多问题中，材料和结构的不稳定性一直是人们关注的焦点，而材料中空穴的生成、增长以及相邻空穴的贯穿是材料局部损伤和破坏的重要机理在实验方面，文献【2】早在1958年便证实了硫化橡胶材料内部有空穴突然生成的现象但是在理论研究方面，直到1982年才由文献【3

3、】将空穴的生成与增长归结为一个数学模型的分岔问题文献【4】和【5】对近些年来关于橡胶和类橡胶材料中空穴现象在理论方面的研究进展进行了综述特别地，文献研究了几类可压缩超弹性球体中的空穴现象，并且给出了轴对称变形问题的解析解以及空穴分岔解然而，对于不同类型的可压缩超弹性材料，由于其对应的应变能函数形式有所不同，从而导致研究方法有很大的差异，所研究的问题是否存在解析解也是不可预知的本文的目的是研究可压缩的超弹性圆柱体在径向拉伸和轴向拉伸或压缩的共同作用下，圆柱体轴线上的空穴现象，其中圆柱体是由一类可压缩的广义Varga材料组成的首先建立了轴对称变形问题的数学模型；然后求得了问题的参数型解析解和空穴分

4、岔解，以及径向应力和环向应力的表达式；最后通过数值算例讨论了轴向伸长对圆柱体轴线上空穴的伸长和增长的影响，并且对圆柱体内部的径向位移、应力的集中和突变进行了相应的数值模拟1 问题的数学描述1.1 控制方程和边界条件假设半径为的无限长实心圆柱体由均匀各向同性的可压缩超弹性材料组成，考察圆柱体在外外表均布的径向拉伸和轴向拉伸或压缩共同作用下的有限变形问题如图1所示在柱坐标系下，变形前后的柱体中的点分别表示为和，并且取坐标系的原点在圆柱体横截面的中心处在径向对称变形的假设下杂志网，变形分量和主伸长分别表示为(1)(2)其中是待求的径向变形函数，是预先给定的轴向伸长，表示关于自变量的导数容易看到，假设

5、，那么圆柱体在现时构形中仍是实心的；假设，那么在圆柱体的轴线上有半径为的圆柱形空穴生成，此时假设空穴外表是无约束的此外，为了确保变形是径向对称的，在上必须有，于是由式(2)得到(3)圆柱体变形后的总势能为(4)其中是组成圆柱体的 图1 实心圆柱体受径向拉伸和轴向伸长作用的示意图可压缩超弹性材料的应变能函数由式(2) Fig.1 Sketch map of solid cylinder under radialtension and可知，总势能(4)是关于的函数 axial stretch由能量变分原理并结合式(2)，可得如下的Euler-Lagrange方程(5)对应于径向对称变形的Cauch

6、y应力张量的主元素为， (6)假定在圆柱体的外外表上给定径向伸长 ，于是有边界条件(7)在圆柱体中心满足的边界条件为(8)式(8)表示：假设圆柱体内部没有空穴生成，那么；假设在圆柱体中心有空穴生成，即，那么对不受约束的空穴外表，有1.2 应变能函数众所周知，各向同性超弹性材料的本构关系可以完全由其应变能函数(9)来描述，其中是应变张量的主值，是的对称函数在自然状态下，为了保证各向同性的超弹性材料对应的应变能函数的线性化与经典的线性理论一致，应变能函数应满足的如下的约束条件【1】，(10)这里和分别为材料的剪切模量和泊松比，此外，将应变能函数表示为应变张量的主不变量和的函数，即，(11)其中,

7、(12)和分别是主不变量和的非线性函数，且均为二次连续可微的；本文中，考虑如下一类特殊的可压缩超弹性材料模型，其应变能函数的形式为(13)其中是材料常数，是二次连续可微的非线性函数特别地，当是的线性函数时，式(13)称为可压缩的Varga材料模型，因此称式(13)为可压缩的广义Varga材料模型由正规化条件(10)，有，(14)其中表示对宗量的导数另一方面，为了确保材料的力学行为的合理性，应变能函数还必须满足强凸性条件【1】，从而有(15)至此，由各向同性可压缩的广义Varga材料模型(13)组成的圆柱体在给定的外表径向伸长 和轴向拉伸压缩共同作用下的轴对称变形问题的数学模型由根本控制方程(5

8、)、应变能函数(13)，边界条件(7)和(8)组成2 控制方程的解及其定性分析2.1 参数型解析解和空穴分岔解显然杂志网，对任意给定的，控制方程的一个平凡解称为均匀变形解为(16)它对应于柱体内部的径向位移将式(13)代入到方程(5)，那么有(17)其中由式(12)3给出由式(2)可知，且根据式(15)，从而得到 (18) 其中是一个积分常数由式(18)不难得到径向变形函数的通解形式为(19)其中也是一个积分常数下面利用边界条件(7)和(8)确定积分常数和由外边界条件(7)得(20)进一步地，将式(13)代入到式(6)1，得到 (21) 由式(19)可得由式(21)和内边界条件(8)得(22)

9、综合上面的分析可知，对于任意给定的，由式(19)和(22)知，即是方程(22)的一个解，它对应于柱体内部均匀变形解；假设存在，使得，那么可由求得，即满足边界条件的控制方程(5)有两个解，除平凡解外，还有一个非平凡解(19)至此，对应于由可压缩的广义Varga材料(13)组成的实心圆柱体，式(19)便为在给定的径向拉伸和轴向伸长共同作用下的轴对称变形问题的精确解在圆柱体轴线上，对于任意给定的，是方程(22)的一个解，称之为方程(22)的平凡解；另一方面，可以求得圆柱体内部有空穴生成时的临界伸长为 (23) 即方程(22)在临界点处从平凡解处发生分岔，非平凡解代表空穴生成后的半径，其中，且由方程确

10、定，从而称(22)为空穴分岔方程另一方面，当时，与均匀变形解相对应的径向位移为(24)当时，与空穴生成后的解相对应的径向位移为(25)2.2 柱体内部的应力分布下面讨论柱体内部发生空穴分岔时的应力分布当时，对应于均匀变形解，有，因此柱体内部的径向应力环向应力相等，即(26)当时，径向应力和环向应力分别为， (27)其中此外，易证空穴外表的径向应力和环向应力分别为， (28)2.3 数值算例为了进一步说明前面的结论，取，容易验证，满足条件(15)再根据线性化约束条件(10)，得到杂志网， (29)为了保证均为正，由(30)容易求得此种材料组成的柱体内部发生空穴分岔时的临界伸长为(31)图1示出了

11、柱体内部空穴的生成和增长与给定的外表伸长和轴向伸长之间的关系即空穴分岔曲线；图2示出了对于不同的外表伸长的值，柱体内部的径向位移；图3示出了当外表伸长超过临界值时的应力间断；图4示出了对于不同的外表伸长的值，柱体内部的应力分布注：在图14中，图2 轴向伸长对圆柱体轴线上空穴生成 图3 对于不同的的值，圆柱体内部的径和增长的影响向位移曲线Fig.2 Effect of axial stretch on cavity formationFig.3 Curves of radialdisplacement for variousand growth ofcylindervalues of图4 空穴外

12、表的应力间断 图5 柱体内部的应力分布Fig.4 Discontinuity of stresses at the surface ofthe cavity Fig.5 Distribution of stresses in the interior ofthecylinder3 结果分析本文研究了由各向同性可压缩的广义Varga材料组成的实心圆柱体在给定的外表径向拉伸和轴向拉伸共同作用下的空穴分岔问题给出了问题的参数型解析解；证明了当径向伸长超过某临界值时，柱体内部有空穴生成并快速增长如图2所示，并且临界伸长随轴向伸长的增大而减小；由图3可见，当时，即在空穴生成之前，整个柱体的变形是膨胀的；

13、当时，即空穴生成后，空穴附近的变形是收缩的，而圆柱体外表附近是扩张的；由图4和图5可见，当时，径向应力和环向应力的分布都是均匀的；但是，当时，柱体的均匀应力状态发生了突变，出现了应力间断现象，即从的均匀分布应力状态转变为时的非均匀分布应力状态当时，环向应力随着变量的增大而迅速地减少，并且在空穴外表附近出现了明显的应力集中现象，对于环向伸长也有类似现象正因为空穴外表附近的应力集中，才导致空穴的突然生成，这与实际的物理背景相吻合参考文献【1】Ogden R W. Nonlinear Elastic Deformations. Ellis Horwood,Chichester, West Susse

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