2022年不等式知识点归纳

1、第三章 不等式 ,不等关系与不等式 1,不等式的基本性质 （对称性） abba1 b（传递性） ab,b c ac （可加性） abac bc （ 同向可加 性） ab, c dac bd（ 异向可减 性） a b, c d ac bd（可积性） ab, c 0ac bc ab, c 0ac bc （ 同向正数 可乘性） ab0, c d0ac bd （ 异向正数 可除性） ab0,0 c dabc d（平方法就） ab0nann b n N, 且 n 1 （开方法就） ab0anb n 1 N ,且 n （倒数法就） ab011; a b01aba2,几个重要不等式 2 2 a 2b 22a

2、b a,b R,（当且仅当 a b 时取 号）. 变形公式： ab a b . 2（基本不等式） ab ab a, b R ,（当且仅当 a b 时取到等号） . 22变 形 公 式 ： a b 2 a b ab ab. （ 也 可 用 柯 西 不 等 式 2 a 2 b 2 c 2 d 2 ac bd 2 ） 用基本不等式求最值时 （积定和最小, 和定积最大） ,要留意中意三个条件 “一正, 二定, 三相等” . （三个正数的算术几何平均不等式） abc 3abc a, b,c R （当且仅当 3a b c 时取到等号） . a2b22 c ab bc ca a, b R（当且仅当 abc

3、时取到等号） . a3b33 c 3abca 0,b 0,c 0 （当且仅当 abc 时取到等号） . 如0, 就 b aa2 （当仅当 a=b 时取等号） bab 第 1 页,共 115 页如 0, 就 b a 2 （当仅当 a=b 时取等号） ab a b b b m1 a n aa a m b n b其中 a b 0, m 0, n 0 规律：小于 1 同加就变大,大于 1 同加就变小 . 2 2 当 a 0时,a x a x a 或 a; x x 2 2x a x a a x a. 确定值三角不等式 a b ab a b . 3,几个著名不等式 平均不等式： a12b1ab aba2

4、2b2 2a, b R,（当且仅当 ab 时取 号） . （即调和平均 几何平均 算术平均 平方平均） . 变形公式： ab bab2a22b2; 2a222 a b . 2幂平均不等式： 2 a1 2 a2 2 . an 1a1 a2 2 . an . n二维形式的三角不等式： 2 x1 2 y1 2 x2 2 y2 x1 2 x2 y1 2 y2 ac 2 bd a, b, c, d R. 当且仅当 x1 , y1 , x2 , y2 R. 2 a 2 2 b c 2 d 二维形式的柯西不等式： ad bc 时,等号成立 . 三维形式的柯西不等式： 2 a1 2 a2 2 2a3 b1 2

5、 b2 2 b3 a1b1a2 b2 2 a3b3 . 2 . bn 一般形式的柯西不等式： 2 a1 2 a2 2 2. an b1 2 b2 第 2 页,共 115 页a1b1 a2b2 2 . anbn . 向量形式的柯西不等式： 设 , 是两个向量, 就 , 当且仅当 是零向量,或存在实数 k ,使 k 时,等号成立 . 排序不等式（排序原理） ：设 a1 a2 . an ,b1 b2 . bn 为两组实数 . c1 , c2 ,., cn 是 b1, b2 ,., bn 的任一排列,就 a1bn a2bn 1 . an b1 a1c1 a2c2 . ancn a1b1 a2b2 .

6、anbn. （ 反序和 乱序和 次序和 ） 当且仅当 a1 a2 . an或 b1 b2 . bn 时,反序和等于次序和 . 琴生不等式 : （特例 : 凸函数,凹函数） 如定义在某区间上的函数 f x , 对于定义域中任意两点 x1 , x2 x1 x2 , 有 f x1 2x2 f x1 2f x2 或 f x1 2x2 f x1 2f x 2 . 就称 fx 为凸（或凹）函数 . 4,不等式证明的几种常用方法 常用方法有： 比较法（作差,作商法） ,综合法,分析法； 其它方法有：换元法,反证法,放缩法,构造法,函数单调性法, 数学归纳法 等. 常见不等式的放缩方法： 舍去或加上一些项,如

7、 a 1 2 23a 1 2 ; 2 4将分子或分母放大（缩小） ,如 11, 1 11 kk , 1 , 2 k k k 2 k 2 2 k 212k k k k k 112k * N , k 1 等 . k k k 15,一元二次不等式的解法 求一元二次不等式 ax 2 bx c 0或 0 a 0, b 2 4ac 0 解集的步骤： 一化：化二次项前的系数为正数 . 二判：判定对应方程的根 . 三求：求对应方程的根 . 第 3 页,共 115 页四画：画出对应函数的图象 . 五解集：依据图象写出不等式的解集 . 规律： 当二次项系数为正时,小于取中间,大于取两边 . 6,高次不等式的解法：

8、 穿根法 . 分解因式, 把根标在数轴上, 从右上方依次往下穿 （奇穿偶切 ）,结合原式不等号的方向, 写出不等式的解集 . 7,分式不等式的解法：先 移项通分 标准化,就 f x 0 f x g x 0g x （“ 或 ”时同理） f x f x g x 00g x gx 0规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解 . 8,无理不等式的解法：转化为有理不等式求解 f x aa 0 f x 02. f x a f x a a 0 f x 02 f x a f x g x f x 0或 f x 0g x 0g x 0f x 2 gx f x 0 f x g x g x 0f x 2 g x f

9、 x 0 f x g x g x 0f x g x 规律：把无理不等式等价转化为有理不等式,诀窍在于从“小”的一边分析求解 9,指数不等式的解法： f x g x 当 a 1 a a f x g x 时 , 当 0 a 1时 , a f x a g x f x gx 规律：依据指数函数的性质转化 . 10,对数不等式的解法 第 4 页,共 115 页当 a 1 时 , log a f x log a g x f x 0g x 0f x g x 当 0 a 1 时 , log a f x log a g x f x 0g x 0. f x g x 规律：依据对数函数的性质转化 . 11,含确定值

10、不等式的解法： 定义法： aaa 0 . 0 2 g x. a a 平方法： f x gx 2 f x 同解变形法,其同解定理有： x aax aa 0; g x gx 0 x ax a或 x aa 0; f x g x gx f x f x g x f x g x 或 f x g x g x 0 规律：关键是去掉确定值的符号 . 12,含有两个（或两个以上）确定值的不等式的解法： 规律：找零点,划区间,分段争辩去确定值 ,每段中取交集,最终取各段的并集 . 13,含参数的不等式的解法 解形如 ax2bx c 0 且含参数的不等式时,要对参数进行分类争辩,分类争辩的标 准有： 争辩 a 与 0

11、 的大 争辩 小； 与 0 的大小； 争辩两根的大小 . 14,恒成立问题 不等式 ax2bx c 0 的解集是全体实数（或恒成立）的条件是： 当 a b0, c 0; 0 时 当 a 0 时 a00. 不等式 2 ax bx c 0 的解集是全体实数（或恒成立）的条件是： 第 5 页,共 115 页当 a 0 时 b0, c 0; 当 a0 时 a0 0. f x a 恒成立 f xmax a; f x a 恒成立 f x max a; f x a 恒成立 f xmin a; f x a 恒成立 f xmin a. 15,线性规划问题 二元一次不等式所表示的平面区域的判定： 法一：取点定域法

12、： 由于直线 Ax By C 0 的同一侧的全部点的坐标代入 Ax By C 后所得的实数的 符号相同 .所以,在实际判定时,往往只需在直线某一侧任取一特殊点 x0 , y0 （如原点）, 由 Ax0 By0 C 的正负即可判定出 Ax By C 0 或 0 表示直线哪一侧的平面区 域. 即：直线定边界,分清虚实；选点定区域,常选原点 . 法二： 依据 Ax By C 0 或 0 ,观看 B 的符号与不等式开口的符号,犹如号, Ax By C 0 或 0 表示直线上方的区域；如异号,就表示直线上方的区域 . 即：同 号上方,异号下方 . 二元一次不等式组所表示的平面区域： 不等式组表示的平面区

13、域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分 . 利用线性规划求目标函数 z Ax By A, B 为常数）的最值： 法一：角点法： 假如目标函数 z Ax By （ x, y 即为公共区域中点的横坐标和纵坐标） 的最值存在, 就这些最值都在该公共区域的边界角点处取得, 将这些角点的坐标代入目标函数, 得到一组 对应 z 值,最大的那个数为目标函数 z 的最大值,最小的那个数为目标函数 z 的最小值 法二：画移定求： 第一步,在平面直角坐标系中画出可行域；其次步,作直线 l0 : Ax By 0 ,平移直 线 l0 （据可行域,将直线 l0 平行移动）确定最优解；第三步,求出最优解 x, y ；第

14、四步, 将最优解 x, y代入目标函数 z Ax By 即可求出最大值或最小值 . 第 6 页,共 115 页其次步中 最优解的确定方法： 利用 z 的几何意义： y A x B z , B z 为直线的纵截距 . z 取得最大 z 取得最小 B 如 B 0, 就使目标函数 z Ax By 所表示直线的纵截距最大的角点处, 值,使直线的纵截距最小的角点处, z 取得最小值； 如 B 0, 就使目标函数 z Ax By 所表示直线的纵截距最大的角点处, 值,使直线的纵截距最小的角点处, z 取得最大值 . 常见的目标函数的类型： “截距”型： z Ax By; 几何意义 求解,从而使问 “斜率”

15、型： z y 或 z x y b; x a“距离”型： z x 2 y2 或 z x2 y2 ; z x a 2 y b2 或 z x a2 y b2 . 在求该 “三型” 的目标函数的最值时, 可结合线性规划与代数式的 题简洁化 . 第 7 页,共 115 页基础练习 一 选择题 1设 Mx 2 ,N x 1,就 M 与 N 的大小关系是 A MN B M N CM0, MN. 2 2022 辽宁鞍山市第一中学高二期中测试 如 ab bB 2 ab 2 C|a|b| 1 a 1D 2 2 b答案 B 解析 ab, y 2x 单调递增, 2a 2 b, 应选 B 3已知 a0 , 1babab

16、 B abaab2Cab2aba D abab2a 答案 D解析 2 1b b 0 b1, 即 bb2ab2 a.应选 D 4假如 a, b,c 中意 cba,且 acac B bcac 2 2Ccb ab D aca c0 答案 C解析 cba,且 ac0, c0 , bc ac b ac0, aca c0 , A , B, D 均正确 b 可能等于 0,也可能不等于 0. cb 2bc B acb 第 8 页,共 115 页Ccab D cba 答案 B 2 a a, c lg 1 1 2e 2lge 2 a.又 b lge lg 10lge解析 2 0lge1 , b lge 1 lge

17、 c, bc2 x C 2 1 x 1 1 D x1 2 x 答案 C解析 A 中 x0； B 中 x 1 时, x 2 1 2x； C 中任意 x, x 2 1 1,故 x 2 1 1 1； D 中当 x1 y,以下不等式不成立的是 A x 11 y B x 1y1 Cx y1 y D 1 xy x 答案 A 解析 特殊值法令 x 2, y 1,就 x1 2 11 1 1 y,故 A 不正确 8设 a 10 0.1, b 10, c ,就 a, b, c 的大小关系是 A abbc Cbac D cab 答案 B 解析 10 10 0, 101. 又 10 0, 10 1. lg0.1lg1

18、 , lg0.11,0 b1, cbc,选 B 9设 a b0 ,就 B b 22 aba 2 2A a abb 2 2Ca b ab 2 2D abb a 答案 A 2 的大小关系是 解析 a b0, 0a b, 2 2 a abb . 10已知 a 2 a 0,那么 a,a2, a, aA a 2 a a2 a B aa2 a 2 a 第 9 页,共 115 页C a a 2 a a 2D a 2 a a a 2答案 B 解析 a 2 a0, 0a2 a 2a, aa2a 2 a,应选 B 点评 可取特值检验, a 2 a0,即 aa 11 2 2 4 4 1 12,即 aa 2 a a,

19、排除 A , C,D ,选 B 2211设 a, bR,就 ab a0是 ab 的 A 充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案 A 2 2 2解析 由 a b a0得 a 0且 ab；反之,由 ab,不能推出 a b a 0. 即 ab a0是 a1,就 a3 a 2, aa 3 1 2 1 1, loga2 10, MN,如 0 a1,就 0a a a 3 1 3 2, 0a 3 1a 2 1, 0 aa 3 1 2 10 , M N,应选 A 132022江西文, 2设全集为 R,集合 A x|x 2 90 , B x| 1x 5 ,就 A 綂 RB A

20、 3,0 B 3, 1 C 3, 1 D 3,3 答案 C解析 此题主要考查集合的运算, A x|x 2 90 x| 3x5 , A 綂 RB x| 30 , N x|x 2 4 ,就 M N A 1,2 B 1,2 C1,2 D 1,2 答案 C解析 此题考查对数不等式, 一元二次不等式的解法及集合的交集运算 M x|x1 , N x| 2 x 2 ,所以 M N x|1x 2 1,2 182022广东东莞市第五高级中学高二期中测试 不等式 x 2 2x3 0 的解集为 A x|x 1 或 x 3 B x|1 x 3 C x|x 3 或 x 1 D x| 3 x 1 答案 C解析 由 x 2

21、 2x 3 0,得 x 3 x1 0, x 3 或 x 1,应选 C 19 北京学业水平测试 不等式 x12 x10 的解集是 1 x| 2A x|1x2 B x|x2 1 C x|x1 D x| 12x1 或 答案 D解析 方程 x12 x1 0 的两根为 1 x1 1,x2 2,所以 x12 x10 的解集为 第 11 页,共 115 页x1 ,选 D 20设集合 M x|0 x 2 , N x|x 2 2x 30 ,就 M N 等于 A x|0 x1 B x|0 x 2 C x|0 x 1 D x|0 x 2 答案 D解析 N x|x 2 2x30 x|1x3 , M x|0 x2 ,

22、M N x|0 x 2 ,应选 D 21如 x|2x3 为 x 2 axb0 的解集为 A x|x3 B x|2x3 C x| x 13 12 D x|x 12 答案 D解析 由 x 2 ax b0 的解集为 x|2x0 ,即 6x 25x 10,解集为 x|x1 ,应选 D 222不等式 x 2 2x3 0 的解集为 x 1 A x| 1x2 或 2x3 B x|1x3 C x|2x3 D x| 1 x3 答案 A x 3 x 1 0 , 解析 原不等式等价于 x 1 0, x 2 2 0, 解得 1x0 B 3x0 2y00C3x0 2y08 答案 D解析 3 1 2 1 8 30. 28

23、图中阴影部分表示的区域对应的二元一次不等式组为 x y1 0 xy 1 0 A B x 2y 2 0 x 2y 20 C x y 1 0 D x y 1 0 x 2y 2 0 x 2y 20 第 13 页,共 115 页答案 A 解析 取原点 O0,0 检验中意 xy 1 0,故异侧点应为 x y 1 0,排除 B,D O 点中意 x2y 2 0,排除 C 选 A 29 不等式 x 2 y 2 0 表示的平面区域是 答案 B 解析 将 1,0代入均中意知选B 30不等式组 x y 5 x y 0 表示的平面区域是一个 0 x 3 A 三角形 B直角梯形 C梯形 D矩形 答案 C解析 画出直线

24、x y5 0 及 x y 0, 取点 0,1代入 xy 5x y 40 ,知点 0,1 在不等式 xy 5x y 0 表示的对顶 角形区域内,再画出直线 x 0 和 x 3,就原不等式组表示的平面区域为图中阴影部分,它 是一个梯形 31目标函数 z2x y,将其看成直线方程时, z 的意义是 A 该直线的截距 第 14 页,共 115 页B该直线的纵截距 C该直线的纵截距的相反数 D该直线的横截距 答案 C解析 z 2x y 可变化形为 y2x z,所以 z 的意义是该直线 y 轴上截距的相反数, 在 应选 C 32如 x 0, y0,且 x y1,就 z x y 的最大值为 A 1 B 1

25、C2 D 2 答案 B 解析 可行域为图中 AOB,当直线 y xz 经过点 B 时, z 最小从而 z 最大 zmax 1. x y 50 33已知 x, y 中意约束条件 x y 0 ,就 z 2x 4y 的最小值为 x 3 A 5 ABC B 6 y z经过 2 4 点 B3, C10 D 10 答案 B 及其内部的平面区域,当直线 解析 可行域为图中 3时, z 最小, zmin 6. 第 15 页,共 115 页x 1 34如 x, y R,且 x2y 3 0,就 z x 2y 的最小值等于 y x A 2 B B 3 C5 D 9 答案 解析 不等式组表示的可行域如以下图： 画出直

26、线 l 0： x 2y 0, 平行移动 l 0 到 l 的位置, 当 l 通过点 M 时, z 取到最小值 此时 M1,1,即 zmin 3. 2x y 4 35设 x, y 中意约束条件 x y 1 ,就目标函数 z x y x 2y 2 A 有最小值 2,无最大值 C有最小值 2,最大值 3 答案 A B有最大值 3,无最小值 D既无最小值,也无最大值 2x y4 解析 画出不等式组 x y 1表示的平面区域,如下图,由 zx y,得 y x x 2y2 z,令 z 0,画出 y x 的图象 当它的平行线经过点 A2,0时, z 取得最小值,最小值为 2；无最大值应选 A 第 16 页,共

27、 115 页36 2022四川文, 8如变量 x, y 中意约束条件 x y 8 2y x 4 ,且 z 5y x 的最大值为 a,最小值为 b,就 a b 的值是 x 0 y 0 A 48 B 30 C24 D 16 答案 C解析 此题考查了线性规划中最优解问题作出不等式组表示的平面区域如图 1作直线 l ： y x,平移直线 l0 . 5当 l0 过点 A4,4时可得 zmax16, a16. 当 l0 过点 B8,0时可得 zmin 8, b 8. a b 16 8 24. y 1 37如变量 x, y 中意约束条件 x y0 x,就 z x 2y 的最大值为 y2 0 A 4 B 3

28、z 值最大 C2 D 1 答案 B x 2y z 0 在 y 轴上的截距最小时 解析 先作出可行域如图 作直线 x 2y 0 在可行域内平移,当 当移至 A1, 1时, zmax 1 21 3,应选 B 第 17 页,共 115 页2x y 4 38设变量 x,y 中意约束条件 4x y 1,就目标函数 z 3x y 的取值范畴是 x 2y2 3 A 2, 6B , 1 32 B , 3 12C 1,6 3 D 6, 2 答案 A 解析 此题考查了线性规划的基础学问及数形结合的思想依据约束条件,画出可行 域如图,作直线 l0： 3x y 0,将直线平移至经过点 A2,0处 z 有最大值,经过点

29、 处 z 有最小值,即 3 z 6. 239设 z x y,式中变量 x 和 y 中意条件 x y3 0 ,就 z 的最小值为 x2y 0 A 1 A B 1 C3 D 3 答案 解析 作出可行域如图中阴影部分 直线 z x y 即 y x z.经过点 A2,1时,纵截距 最大, z 最小 zmin 1. 第 18 页,共 115 页2x y 12 2x 9y 36 40 变量 x, y 中意以下条件 2x 3y 24 ,就使 z 3x 2y 最小的 x, y是 x 0 y 0 A 4,5 B 3,6 C9,2 D 6,4 答案 B 解析 检验法：将 A , B, C, D 四选项中 x, y

30、 代入 z 3x2y 按从小到大依次为 A , B,D,C然后按 A B D C 次序代入约束条件中, 应选 B 2x y 4 A 不中意 2x 3y24,B 全部中意, 41已知 x, y 中意约束条件 x 2y 4 ,就 z x y 的最大值是 x 0, y 0 A 4 3C2 B 8 3D 4 答案 B 解析 画出可行域为如图阴影部分 由 x2y 4 4 4,解得 A , , 3 3 2x y 4 8当直线 z x y 经过可行域内点 A 时, z 最大,且 zmax 3 . 42 2022广东理, 3如变量 x, y 中意约束条件 y x x y 1 ,且 z 2x y 的最大值和最小

31、值分别为 m 和 n,就 mn y 1 A 5 B 6 第 19 页,共 115 页C7 D 8 A 1, 1； 答案 B 解析 作出可行域如图, 由 yx, 得 x 1, y 1, y 1, 由 xy 1, 得 x 2, B2, 1； y 1. y 1, 由 yx, 得 1, x 2 C1,1 2 2 xy 1, 1 y 2 . 作直线 l ：y 2x,平移 l 可知,当直线 y 2x z,经过点 A 时,z 取最小值,当 ymin 3；当经过点 B 时, z 取最大值, zmax 3, m 3, n 3, m n 6. 43以下各式,能用基本不等式直接求得最值的是 1 A x 2x B x

32、 1 x 2 1 1C2 x 2 x D x1 x 答案： C 44已知 a,b R,且 ab0,就在 a 2 b2 2 ab； 2； ab b a a b a b 2； a b 222 a 2 b2 2这四个不等式中,恒成立的个数有 A 1 个 B 2 个 C3 个 D 4 个 答案： C 第 20 页,共 115 页45某工厂第一年产量为 A,其次年的增长率为 a,第三年的增长率为 b,这两年的平 均增长率为 x,就 a b A x 2a b B x 2a b Cx 2 a b D x 2 解析： 依题意有 A1 x 2 A1 a1 b, 1 x 1 a 1 b 1 21 a 1 b a

33、b a b 1 2 x 2 .应选 B. y x 答案： B 146如 x0,就函数 y x x A 有最大值 2 B有最小值 2 C有最大值 2D有最小值 2解析： x0, x 1 2. x 1 2.当且仅当 x 1 时,等号成立,故函数 x x 1有最大值 2. x 答案： A 47数列 an 的通项公式 an 2 90,就数列 an 中的最大项是 nA 第 9 项 B第 8 项和第 9 项 C第 10 项 D第 9 项和第 10 项 解析： an 90 nn 2 190 n n n90 2 90,且 n N * , n当 n 9 或 10 时, n90最n小, 答案： D a 取最大值应

34、选 D. 48 lg 9lg 11 与 1 的大小关系是 2 lg992 lg1002 22 1, A lg9lg11 1B lg9lg11 1Clg9lg111D不能确定 解析： lg 9 lg 11 应选 C. lg9 lg11 2222答案： C 第 21 页,共 115 页49已知 a, b R,且 a b1,就 ab ab 1 的最小值为 5A 2 B.2 17 D不存在 C. 4 解析： a, bR , a b 1, ab a b 2 , 12 0 ab 1 . 4令 t ab,就 f t t1 0,1上单调递减, 在 4 ft 的最小值为 f 14 4 t 14 17 4,应选

35、C. 答案： C 50某金店用一杆不精确的天平 两边臂不等长 称黄金, 某顾客要购买 10 g 黄金, 售货 员先将 5 g 的砝码放在左盘,将黄金放于右盘使之平稳后给顾客,然后又将 5 g 的砝码放入 右盘,将另一黄金放于左盘使之平稳后又给顾客,就顾客实际所得黄金 A 大于 10 g B小于 10 g C大于等于 10 g D小于等于 10 g 解析： 设两臂长分别为 a, b,两次放入的黄金数是 x, y, 依题意有 ax 5b, by 5a, xy 25. x yxy, x y 10,又 ab, x y. 2 x y10.即两次所得黄金数大于 10 克,应选 A. 答案： A 51函数

36、fx x 1 x 的最大值为 x 2 1 2A. 5 B.2 C. 2 D 1 解析： 当 x 0 时, f0 0；当 x 0 时, x1 2 x 0, fx 2 x x 1,当且仅当 21 时等号成立故函数 fx x 1 x 的最大值为 . 12答案： B 二 填空题 1如 a b,就 a 3 与 b3 的大小关系是 答案 a 3 b 32如 x a 3a 5, y a 2 a 4,就 x 与 y 的大小关系是 答案 x y 解析 x ya 3 a5 a 2 a 4 a2 2a15 a22a 8 7 0, x y. 3已知 a b0,且 c d 0,就 ab 的大小关系是 c 与 d 第 2

37、2 页,共 115 页答案 a d b c 1 1 解析 c d 0, d c 0, a b 0, a b 0, d c a d b c . a c 4如 a, b, c, d 均为实数,使不等式 b 0 和 ad0. 答案 2,1, 1, 2 解析 a c 由 b d0 知, a, b 同号, c, d 同号,且 由 adbc,得 adbc0,所以 bd0. 所以在取 a, b, c,d时只需中意以下条件即可： a,b 同号, c,d 同号, b, d 异号； ad0, b0, c0 , d0 , 不妨取 a 2, b 1, c 1, 就 d , bc a 1 2 取 d 2, 就 2,1,

38、 1, 2中意要求 5 2022广东理, 9不等式 x 2 x 20 的解集为 答案 x| 2x1 解析 由 x 2 x20 ,得 x2 x 10, 2x1,故原不等式的解集为 x| 2x1 6不等式 0 x 2 2x3 5 的解集为 答案 x| 2 x 1 或 3 x5 解析 由 x 2 2x 3 0 得： x 1 或 x 3； 由 x 2 2x 3 5 得 2 x 4, 2 x 1 或 3 x 4. 原不等式的解集为 x| 2 x 1 或 3 x4 7关于 x 的不等式： x 2 2m 1x m2m 0 的解集是 答案 x|mxm 1 第 23 页,共 115 页解析 解法一：方程 x 2

39、 2m 1x m 2 m 0 的解为 x m,x m1,且知 1 2m m 1. 二次函数 y x 2 2m 1x m 2 m 的图象开口向上,且与 x 轴有两个交点 不等式的解集为 x|m x m 1 解法二：留意到 m 2 m mm 1,及 mm 1 2m 1, 可先因式分解,化为 x m xm 10, m m 1, m xm 1. 不等式的解集为 x|mxm 1 8如集合 A x|ax 2 ax 10 .,就实数 a 的取值范畴是 不 答案 0a4 解析 如 a 0,就 10 不成立,此时解集为空 如 a 0,就 a 2 4a 0, 00, 9已知 x, y 为非负整数,就中意 x y

40、2 的点 x,y共有个 答案 6解析 符合条件的点有 0,0, 0,1, 0,2 , 1,0, 1,1, 2,0 共 6 个 10用三条直线 x 2y 2,2x y 2, x y3 围成一个三角形,就三角形内部区域 包括边界 可用不等式表示为 x2y 2 答案 2x y 2x y3 11如非负变量 x, y 中意约束条件 x y 1 x 2y 4 ,就 xy 的最大值为 答案 4解析 此题考查线性规化的最优解问题 x 0 由题意知 x, y 中意的约束条件 y 0 . x y 1x 2y4 画出可行域如以下图 设 x yt. y x t, t 表示直线在 y 轴截距,截距越大, t 越大 作直

41、线 l 0： x y 0,平移直线 l0,当 l 0 经过点 A4,0时, t 取最大值 4. 第 24 页,共 115 页2x 3y 6 0 12在平面直角坐标系 xOy 中,M 为不等式组 x y 2 0所表示的区域上一动点, y 0 就|OM|的最小值是 到直线 x y 2 0 的距离 答案 2解析 此题考查不等式组表示平面区域及点到直线距离问题 不等式组所表示平面区域如图, 由图可知 |OM |的最小值即 O 故 |OM |的最小值为 | 2| 2. 2x 0 13已知 x, y 中意约束条件 x y 2x,就 z3x 2y 的最大值为 y 1 答案 5z 3x 2y 平移到经过点 1

42、,1时, z 最大 zmax 5. 解析 作出可行域如图,当直线 第 25 页,共 115 页y 20 14 已知 x, y 中意 x 3 0 x,就 x2 y2 的最大值为 y 10 答案 25 解析 画出不等式组表示的平面区域,如图中的阴影部分所示 由图知, A 3, 4, B 3,2, C3,2 , 就 |OA| 9 16 5, |OB| 94 13, |OC| 9 4 13. 设 Px,y 是不等式组表示的平面区域内任意一点, 就 x 2 y 2 x 2 y 2 2 |OP| 2, 由图知, |OP|的最大值是 |OA| 5,就 x2 y2 最大值为 |OA|2 25. x 0 15已

43、知 x, y 中意约束条件 x y 2x,就 z3x 2y 的最大值为 y 1 答案 5z 3x 2y 平移到经过点 1,1时, z 最大 zmax 5. 解析 作出可行域如图,当直线 y 20 16 已知 x, y 中意 x 3 0 x,就 x 2 y2 的最大值为 y 10 答案 25 解析 画出不等式组表示的平面区域,如图中的阴影部分所示 第 26 页,共 115 页由图知, A 3, 4, B 3,2, C3,2 , 就 |OA| 9 16 5, |OB| 94 13, |OC| 9 4 13. 设 Px,y 是不等式组表示的平面区域内任意一点, 就 x 2 y 2 x 2 y 2 2

44、 |OP| 2, 由图知, |OP|的最大值是 |OA| 5,就 x 2 y三 解答题 2 最大值为 |OA| 2 25. 1有粮食和石油两种物质,可用轮船与飞机两种方式运输,每天每艘轮船和每架飞机 的运输成效如下表： 方式 成效 轮船运输量 t 飞机运输量 t 种类 粮食 300 150 石油 250 100 现在要在一天内运输 2 000 t 粮食和 1 500 t 石油写出支配轮船艘数和飞机架数所中意 的全部不等关系的不等式 解析 设需支配 x 艘轮船和 y 架飞机,就 . a 的大小 300 x 150y 2 000 6x 3y 40 250 x 100 y 1 500 , 5x 2y

45、 30 x 0 x 0 y 0 y 0 10设 a0, b0 且 a b,试比较 a b a b 与 ab b解析 依据同底数幂的运算法就 a a b b ab a a b a b b b aa b ab, a 当 ab0 时, 1, a b0, b就 aa b a b b a b 1 ,于是 a b a b . 第 27 页,共 115 页当 ba0 时, 0 1 , a b1 ,于是 a b a b . a b b a 综上所述,对于不相等的正数 a, b,都有 aab ba b . b a 2已知 a 0,b 0, ab, n N 且 n 2,比较 a n b n 与 a n 1 b a

46、b n 1 的大小 n 1 n 1 n 1 n1 解析 a n bn a b ab a a b b b a a ba n 1 bn1 , 1当 a b 0 时, a n 1 b n 1, a b a n 1 b n10, 2当 0 a b 时, a n 1 b n 1, a b a n 1 b n10, 对任意 a 0, b 0, a b,总有 ab a n 1 b n1 0. a n b n a n 1b ab n 1. x 的取值范畴 3假如 30 x42,16 y24.分别求 x y, x 2y 及 y 解析 46x y 66； 48 2y 32, 18 x 2y10； 30 x0 的解

47、集为 1 3 , 12 ,求 cx 2 2x a0 的解集 解析 由 ax 2 2x c0 的解集为 , 1 1 3 2 ,知 a0, 解得 a 12, c 2. 即 2x 2 2x120. 解得 2x0 的解集为 x| 2x0； ax 0 , x1 3 2. 故原不等式的解集为 x|x1 3 2 ax 0. axx10 时, axx 10 . xx10 . 1x0, 解集为 x| 1x0 ； 当 a0 时,原不等式的解集为 .； 当 a0 时, axx 10 . x0 或 x0,或 x0. 2, 解析 2 原不等式可化为 x a xa 0. 就方程 x2 a a2 xa 3 0 的两根为 x

48、 a, x a 1 2由 a2 aa a 1可知, 1当 a1 时, a a. 2原不等式的解集为 xa2 或 xa. 2当 0 a1 时, a a 或 x0, x 0. 4当 a 1 时,原不等式为 x 1 0 , x1. 2综上可知： 2 当 a1 时,原不等式的解集为 x|xa ； 当 0a1 时,原不等式的解集为 x|xa ； 当 a0 时,原不等式的解集为 x|x 0 ； 当 a1 时,原不等式的解集为 x|x 1. x y 6 0 8画出不等式组 x y 0 表示的平面区域 y 3 x 5 解析 不等式 x y 60 表示在直线 x y 6 0 上及右上方的点的集合, x y 0

49、表示在直线 x y 0 上及右下方的点的集合, y 3 表示在直线 y 3 上及其下方的点的集合, 第 29 页,共 115 页x y 60 x5 表示直线 x 5 左方的点的集合,所以不等式组 x y 0 表示的平面区域为如 y 3 x 5 图阴影部分 9经过点 P0, 1作直线 l,如直线 l 求直线 l 的斜率 k 的取值范畴 解析 由题意知直线 l 斜率存在,设为 k. 就可设直线 l 的方程为 kx y 1 0, 与连结 A1, 2, B2,1的线段总有公共点, 由题知： A,B 两点在直线 l 上或在直线 l 的两侧,所以有： k 12 k 2 0 1 k 1. 5x 3y 15

50、10求 z 3x 5y 的最大值和最小值,使式中的 x, y 中意约束条件 y x 1 . x 5y 3 解析 作出可行域为如以下图的阴影部分 目标函数为 z3x 5y, 作直线 l0：3x 5y 0.当直线 l0向右上平移时, z 随之增大,在可行域内以经过点 A , 32第 30 页,共 115 页5 的直线 2l1 所对应的 z 最大类似地,在可行域内,以经过点 B 2, 1的直线 l 2 所对应 的 z 最小, zmax 17, zmin 11, z 的最大值为 11某工厂生产甲,乙两种产品,其产量分别为 17,最小值为 11. 45 个与 55 个,所用原料为 A, B 两种 规格金

51、属板,每张面积分别为 2 m2 与 3 m2.用 A 种规格金属板可造甲种产品 3 个,乙种产品 5 个；用 B 种规格金属板可造甲, 乙两种产品各 6 个问 A,B 两种规格金属板各取多少张, 才能完成方案,并使总的用料面积最省？ 解析 设 A, B 两种金属板分别取 x 张, y 张,用料面积为 z,就约束条件为 3x 6y 45 5x 6y 55 x 0 . y 0 目标函数 z 2x 3y. 作出以上不等式组所表示的平面区域 即可行域 ,如以下图 z 2x 3y 变为 y 2 z,得斜率为 2,在 y 轴上截距为 z 且随 z 变化的一族平行3 3 3 直 线 3, 当直线 z 2x

52、3y 过可行域上点 M 时,截距最小, z 最小解方程组 5x 6y 55 3x 6y 45 得 M 点的坐标为 5,5 2 此时 zmin2 5 3 525 m 答：当两种金属板各取 5 张时,用料面积最省 . 12制造甲,乙两种烟花,甲种烟花每枚含 A 药品 3 g , B 药品 4 g, C 药品 4 g,乙种 烟花每枚含 A 药品 2 g,B 药品 11 g,C 药品 6 g已知每天原料的使用限额为 A 药品 120 g, B 药品 400 g, C 药品 240 g甲种烟花每枚可获利 2 元,乙种烟花每枚可获利 1 元,问每 天应生产甲,乙两种烟花各多少枚才能获利最大 第 31 页,

53、共 115 页3x 2y 120 4x 11y 400 解析 设每天生产甲种烟花 x 枚,乙种烟花 y 枚,获利为 z 元,4x 6y 240 , 就 x 0 y 0 作出可行域如以下图 目标函数为： z2x y. 作直线 l：2x y 0,将直线 l向右上方平移至 l 1 的位置时, 直线经过可行域上的点 A40,0 且与原点的距离最大此时 z 2x y 取最大值 故每天应只生产甲种烟花 40 枚可获最大利润 13某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少运输 180t 支援物资的任务, 该公司有 8 辆载重为 6t 的 A 型卡车和 4 辆载重为 10t 的 B 型卡车,有 10 名驾驶员,每

54、辆卡车每天来回 的次数为 A 型卡车 4 次, B 型卡车 3 次, 每辆卡车每天来回的成本费 A 型车为 320 元,B 型 车为 504 元,请你给该公司调配车辆,使公司所花的成本费最低 解析 设每天调出 A 型车 x 辆, B 型车 y 辆,公司所花的成本为 z 元,就由题意知 x 8, y 4, x y 10, 4x 63y 10180, x 0, y 0, 所示 目标函数为 z320 x 504y其中 x,y N 作出可行域如图 第 32 页,共 115 页由图易知, 当直线 z 320 x 504y 在可行域内经过的整数点中, 点 8,0使 z 320 x 504y 取得最小值,

55、zmin 320 8 504 02560,每天调出 花成本费最低 114 1求函数 y x 3 x x 3的最小值； 解析： x 3, y x3 1 x x 3 1 x 3 35, 当且仅当 x 3 x 3 1,即 x4 时取等号 A 型车 8 辆, B 型车 0 辆,公司所 ymin 5. 2求函数 yx a 2xx0, a 为大于 2x 的常数 的最大值； 解析： x 0, a 2x, y xa 2x 12xa 2x 221 2xa 2x , a 22 8 2 当且仅当 x a时,取等 4 号, ymax a 28 . 3已知 x 0,y 0,2x5y 20,求 lg x lg y 的最大

56、值 解析： x 0, y 0,2x 5y 20, 2x5y 2x 5y 2 2 20 2 2 100, xy10, lg x lg y lg xylg 10 1,当且仅当 2x 5y10, 即 x 5, y 2 时上式取等号, 当 x5, y 2 时, lg x lg y 取最大值,最大值为 1. 第 33 页,共 115 页15 围建一个面积为 360 m2 的矩形场地, 要求矩形场地的一面利用旧墙 利用的旧墙需修理 , 其他三面围墙要新建,在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为 2 m 的进出口,如右上图所示, 已知旧墙的修理费用为 45 元 /m,新墙的造价为 180 元 /m. 设利用的旧墙

57、长度为 x单位： m, 修建此矩形场地围墙的总费用为 y单位：元 1将 y 表示为 x 的函数； 解析： 如以下图,设矩形的另一边长为 a m, 就 y 45x 180 x 2 1802a 225x 360a 360. 由已知 xa 360,得 a 360 x . 2所以 y225x 360 360 x 0 x 2试确定 x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用 2 解析： x 0, 225x 360 x 2 225 360 2 10 800. 2 y 225x 360 36010 440. x 当且仅当 225x360 时,等号成立 x 即当 x24 m 时,修建围墙的总费用最

58、小,最小总费用是 10 440 强化练习 一 选择题 120222022内蒙古赤峰市田家炳中学高二期中 确的是 已知 a0 , 1babab B abaab22 Cab aba D abab a 2答案 D解析 2 1b b 0b1, 即 bb21,两边同乘以 aab2 a.应选 D. 2假如 a, b,c 中意 cba,且 acac B bcac 2 2Ccb ab D aca c0 答案 C第 34 页,共 115 页解析 cba,且 ac0, c0 , bc ac b ac0, aca c0 , A , B, D 均正确 b 可能等于 0,也可能不等于 0. cb2 0, b0,可取 a

59、 2, b 1, a 2, b 1, ab ba,排除 A , B, D,选 C. 4设 x a 0,就以下各不等式确定成立的是 A x 2 ax a 2B x 2ax a 2Cx 2 a 2 ax D x 2 a 2 ax 答案 B 解析 x a 0 x 0 . x 2 ax 2 . x ax a 选 B. 2 2ax a a 0 5 以下结论中正确选项 a b 0, dc 0. ab c d , a b, c d. a c b d, b a c 2 2. a b, c B D a 对； b c d a b. an bnn N, n 1 A C 答案 B 解析 d c0. 1 0 1c d

60、. a b 0 a b, c d 不同向不行加,错 a c 2 c b2, c 2 0.a b.对； 第 35 页,共 115 页只有 a b 0 时,对任意正整数 n1 才有 anbn, 错应选 B. 6 设 a 2, b 7 3, c 6 2,就 A c b a B a c b Cc a b D b c a 答案 D解析 假设 a b 即 2 7 3, 2 3 7,平方得 6 1 成立, ab 排除 B, C. 又假设 b c,即 7 3 6 2 7 2 6 3,平方得 14 18 明显不成立 bc 排除 A. 7 已知： 0 a b 1, xa b, y log ba, z log b,