人教版高中数学高考一轮复习-空间点、直线、平面之间的位置关系

1、7.2空间点、直线、平面之间的位置关系第七章2022高中总复习优化设计GAO ZHONG ZONG FU XI YOU HUA SHE JI课标要求1.借助长方体,在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上,抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.2.了解基本事实14和等角定理.备考指导本节的基本事实是立体几何位置关系的基础,复习时应结合图形和符号语言理解记忆.能准确把握对点、线、面及关系的逻辑表达,为后面空间位置关系的证明打好基础,培养空间想象的数学素养.内容索引010203第一环节必备知识落实第二环节关键能力形成第三环节学科素养提升第一环节必备知识落实【知识筛查】 1.基本事实体系

2、2.由基本事实1,2得到的推论 3.空间中直线与直线的位置关系(1)异面直线定义:把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.画法:(通常用平面衬托)(2)空间两条直线的位置关系 (3)重要结论:连接平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.用符号语言可表示为A,B,l,BlAB与l是异面直线(如图).问题思考分别在不同平面内的两条直线一定是异面直线吗?不一定,如图,虽然有a,b,即a,b分别在两个不同的平面内,但是因为ab=O,所以a与b不是异面直线.4.空间中直线与平面的位置关系 5.空间中平面与平面的位置关系温馨提示平面与平面之间无特别说明,一般不讲“重合”

3、.6.基本事实4与等角定理(1)基本事实4(2)等角定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.温馨提示定理中的两个角的三种位置情况:(1)两个角的两条边分别对应平行且方向相同,此时两个角相等;(2)两个角的两条边分别对应平行且方向相反,此时两个角相等;(3)两个角的两条边分别对应平行,且其中一条边方向相同,另一条边方向相反,此时两个角互补.【知识巩固】 1.下列说法正确的画“”,错误的画“”.(1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分.()(2)两个平面,有一个公共点A,就说,相交于A点,记作=A.()(3)已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,则c与b不可能平行

4、.()(4)如果两个不重合的平面,有一条公共直线a,那么平面,相交,并记作=a.()(5)若a,b是两条直线,是两个平面,且a,b,则a,b是异面直线.()2.在空间中可以确定一个平面的条件是()A.两条直线B.一点和一条直线C.三个点D.一个梯形DA中,若两条直线是异面直线,则不能确定一个平面;B中,若点在直线上,则不能确定一个平面;C中,若三个点在同一条直线上,则不能确定一个平面;D中,梯形有两条边平行,而两条平行直线能确定一个平面.3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为BC,BB1的中点,则下列直线中与直线EF相交的是()A.直线AA1B.直线A1B1C.直线A1D

5、1D.直线B1C1D只有B1C1与EF在同一平面内,且相交,选项A,B,C中直线与EF都是异面直线,故选D.4.设P表示一个点,a,b表示两条直线,表示两个平面,给出下列四个结论:Pa,Pa;ab=P,ba;ab,a,Pb,Pb;=b,P,PPb.其中正确的结论是.(填序号) 直线a与平面可能相交于点P,故不正确;直线a与平面可能相交,故不正确;正确.5.如图,在三棱锥A-BCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则(1)当AC,BD满足条件时,四边形EFGH为菱形;(2)当AC,BD满足条件时,四边形EFGH为正方形.AC=BD AC=BD,且ACBD 易知EHBDFG,

6、且EH= BD=FG,同理EFACHG,且EF= AC=HG,显然四边形EFGH为平行四边形.(1)要使平行四边形EFGH为菱形,需满足EF=EH,即AC=BD;(2)要使四边形EFGH为正方形,需满足 EF=EH,且EFEH,即AC=BD,且ACBD.第二环节关键能力形成能力形成点1平面的基本事实及其应用命题角度1 证明点、线共面问题例1已知一条直线与另外三条互相平行的直线都相交,证明:这四条直线共面.证明 如图所示.(方法一)ab,a,b确定平面.又la=A,lb=B,l上有两点A,B在内,即直线l.a,b,l共面.同理,a,c,l共面,即c也在a,l确定的平面内.故a,b,c,l共面.(

7、方法二)ab,a,b确定平面.又Aa,Bb,AB,即l.又bc,b,c确定平面.而Bb,Cc,BC,即l.b,l,b,l,而bl=B,与重合,故a,b,c,l共面.命题角度2 证明点共线例2如图,ABC在平面外,AB=P,AC=Q,BC=R.求证:P,Q,R三点共线.证明 (方法一)AB=P,PAB,P.又AB平面ABC,P平面ABC.由基本事实3可知点P在平面ABC与平面的交线上,同理可证Q,R也在平面ABC与平面的交线上,P,Q,R三点共线.(方法二)APAQ=A,直线AP与直线AQ确定平面APQ.又AB=P,AC=Q,平面APQ=PQ.B平面APQ,C平面APQ,BC平面APQ.RBC,

8、R平面APQ,又R,RPQ,P,Q,R三点共线.命题角度3 证明线共点例3如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AA1的中点,求证:(1)E,C,D1,F四点共面;(2)CE,D1F,DA三线共点.证明 (1)如图,连接EF,CD1,A1B.E,F分别是AB,AA1的中点,EFA1B.又A1BCD1,EFCD1,E,C,D1,F四点共面.(2)EFCD1,EFCD1,CE与D1F必相交,设交点为P,则由PCE,CE平面ABCD,得P平面ABCD.同理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1=DA,P直线DA.CE,D1F,DA三线共点.解题心得1.点、线共

9、面问题的证明方法:(1)纳入平面法:先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内.(2)辅助平面法:先证明有关点、线确定平面,再证明其余点、线确定平面,最后证明平面,重合.2.证明点共线问题的常用方法(1)基本性质法:一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点,再根据基本事实3证明这些点都在这两个平面的交线上.(2)纳入直线法:首先选择其中两点确定一条直线,然后证明其余点也在该直线上.3.证明三线共点问题,常用的方法是:先证明其中两条直线交于一点,再证明交点在第三条直线上.证明交点在第三条直线上时,一般先证明第三条直线为前两条直线所在平面的交线,再用基本事实3证明.对点训练1(1)如图所示,已知A

10、l,Bl,Cl,Dl,求证:直线AD,BD,CD共面.证明 因为Dl,所以l与D可以确定平面.因为Al,所以A.又D,所以AD.同理,BD,CD,所以AD,BD,CD共面.(2)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为B1C1和D1C1的中点, P,Q分别为EF和BD的中点,体对角线A1C与平面EFDB交于点H,求证:P,H,Q三点共线.证明 因为EF平面BDFE,PEF,所以P平面BDFE.同理,Q平面BDFE,所以P,H,Q平面BDFE.连接A1C1,AC,图略,由正方体的性质知A1C1AC,所以直线A1C1,AC确定平面ACC1A1,又PA1C1,QAC,HA1C,所

11、以P,H,Q平面ACC1A1,所以P,H,Q三点一定在平面BDFE与平面ACC1A1的交线上,故P,H,Q三点共线.(3)如图所示,在空间四面体ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别是BC,CD上的点,且 .求证:E,F,G,H四点共面;直线FH,EG,AC共点.证明 如图,连接EF,GH,E,F分别是AB,AD的中点,EFBD. GHBD,EFGH,E,F,G,H四点共面.易知直线FH与直线AC不平行,但共面,可设FHAC=M,则M平面EFHG,M平面ABC.平面EFHG平面ABC=EG,MEG,直线FH,EG,AC共点.能力形成点2空间两条直线的位置关系的判断例4(1)若直线

12、l1和l2是异面直线,l1在平面内,l2在平面内,l是平面与平面的交线,则下列结论正确的是()A.l与l1,l2都不相交B.l与l1,l2都相交C.l至多与l1,l2中的一条相交D.l至少与l1,l2中的一条相交Dl1与l在平面内,l2与l在平面内,若l1,l2与l都不相交,则l1l,l2l,则l1l2,与已知矛盾,故l至少与l1,l2中的一条相交.(2)如图所示,AB,CD是异面直线,求证:直线AC,BD也是异面直线.证明 假设AC和BD不是异面直线,则AC和BD在同一平面内,设这个平面为,由AC,BD,知A,B,C,D.故AB,CD.这与AB和CD是异面直线矛盾,所以假设不成立,所以直线A

13、C,BD是异面直线.解题心得解题时注意某些重要字眼,如“至少”“至多”,否则很容易出现错误.解决空间点、线、面的位置关系这类问题时,除了作理论方面的推导论证外,也可利用特殊图形进行检验,作必要的合情推理.对点训练2如图,G,N,M,H分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点,则直线GH,MN是异面直线的图形有.(填上所有正确答案的序号) 题图中,直线GHMN;题图中,G,H,N三点共面,但M平面GHN,因此直线GH与MN异面;题图中,连接GM,易知GMHN,因此GH与MN共面;题图中,G,M,N共面,但H平面GMN,因此GH与MN异面.故填.能力形成点3基本事实4及等角定理的应用例5如图,在正方体AB

14、CD-A1B1C1D1中,M,M1分别为棱AD和A1D1的中点.求证:(1)四边形BB1M1M为平行四边形;(2)BMC=B1M1C1.证明 (1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=A1D1,且ADA1D1,又M,M1分别为棱AD,A1D1的中点,AM=A1M1,且AMA1M1,四边形AMM1A1为平行四边形,MM1=AA1,且MM1AA1.又AA1=BB1,且AA1BB1,MM1=BB1,且MM1BB1,四边形BB1M1M为平行四边形.(2)(方法一)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形,B1M1BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形,C1M1CM.又BMC和B1M1C1

15、的两条边方向相同,BMC=B1M1C1.(方法二)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形,B1M1=BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形,C1M1=CM.又B1C1=BC,BCMB1C1M1,BMC=B1M1C1.解题心得1.证明空间两条直线平行的方法:(1)定义法:证明两条直线在同一个平面内且两条直线没有公共点;(2)利用基本事实4:找到一条直线,使所证的直线都与这条直线平行.2.证明空间角相等的方法:一是用等角定理;二是用三角形全等或相似.对点训练3如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,E1,F1分别为棱AD,AB,B1C1,C1D1的中点.求证:EA1F=E1CF

16、1.证明 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,取A1B1的中点M,连接BM,F1M.四边形F1MBC为平行四边形.BMF1C.又BMA1F,A1FF1C.同理可得A1ECE1.EA1F与E1CF1的两条边分别对应平行,且方向都相反,EA1F=E1CF1.第三环节学科素养提升思想方法构造模型判断空间线面的位置关系 空间点、直线、平面的位置关系是立体几何的理论基础,高考常设置选择题或填空题,考查直线、平面位置关系的判断和异面直线所成的角的求法.在判断线、面的位置关系时,有时可以借助常见的几何体作出判断.这类试题一般称为空间线面位置关系的组合判断题,解决的方法是“推理论证加反例推断”,即正确

17、的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明,错误的结论需要通过举出反例说明其错误,在解题中可以以常见的空间几何体(如正方体、正四面体等)为模型进行推理或者反驳.典例(1)已知空间三条直线l,m,n,若l与m异面,且l与n异面,则()A.m与n异面B.m与n相交C.m与n平行D.m与n异面、相交、平行均有可能(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点,则在空间中与三条直线A1D1,EF,CD都相交的直线有条.(3)已知m,n为两条不同的直线,为两个不同的平面,有下列四个说法:若m,n,mn,则;若m,n,mn,则;若m,n,mn,则;若m,n,则mn.其

18、中所有正确的说法的序号是.答案:(1)D(2)无数(3)解析:(1)如图所示,在长方体中,m,n1与l都异面,但是mn1,所以A,B错误;m,n2与l都异面,且m,n2也异面,所以C错误.(2)(方法一)如图,在EF上任意取一点M,直线A1D1与点M确定一个平面,这个平面与CD有且仅有一个交点N,当M取不同的位置时就确定不同的平面,从而与CD有不同的交点N,而直线MN与这三条异面直线都有交点,所以在空间中与这三条直线都相交的直线有无数条.(方法二)在A1D1上任取一点P,过点P与直线EF作一个平面,因为CD与平面不平行,所以它们相交,设它们交于点Q,连接PQ(图略),则PQ与EF必然相交,即PQ为所求直线.由点P的任意性