考研数学北京航天航空大学线性代数正定二次型

1、第三节 正定二次型 对二次型f (x1, x2, , xn)经过满秩变换后可化为规范形 为讨论其性质, 在应用中对二次型进行以下分类.1定义 设f (x1, x2, , xn)=xAx为实二次型, 若对于任意非零实向量x=(x1, x2, , xn), 都有f=xAx0, 称f为正定二次型, 对称矩阵A称为正定矩阵.f=xAx0, f=x2Ax20,因此f正定.3例2 判断实二次型的类型.解取x1=(1, 0), x2=(1, -1), 有因此由定义f是不定二次型.问题：如何判定所给定的二次型的类型?定理3.1 设n元实二次型f = xAx的秩为r, 正惯性指数为p, 则f 为正定二次型p=r

2、=n, 即标准形中有n个正项;负定二次型p=0, 即标准形中有n个负项;4半正定二次型p=rn, 即标准形中只有r个正项;半负定二次型p=0, rn, 即标准形中只有r个负项;不定二次型0p0(i=1, 2, , n).5显然代入(1)右端, 总有f 0.由x=Cyy=C-1x.将它视为系数矩阵为满秩矩阵C-1的非齐次方程组, 由克莱姆法则, 对任意非零向量y, 有唯一的非零向量与之对应.由y0的任意性, 因此x0任意, 因此恒有f = xAx0, 这样f正定.()反证.若f正定, 但标准形不是(1), 即p0.x(kA)x=k xAx0(k0).(2) x(CAC)x=(Cx)A(Cx)0.

3、 (Cx=y0)注 CAC与A的正定、负定或不定一致(合同变换保秩、保正、负惯性指数).8性质2 若A=(aij)nn是正定矩阵, 则aii0(i=1,2,n).证明由定义, A正定, 因此x0, xAx0.取则9注 (1) 反之不成立.例2中a110, a220, 但不是正定矩阵.(2) 可用来判断二次型不是正定的.例3 a22=20, 因此A不是正定矩阵.另外令则是不定二次型.10(3) 若A=(aij)nn是负定矩阵, 则aii0.证明由性质4, A正定, 则存在满秩矩阵B, 使得A=BB.因此|A|=|B|B|=|B|20.注 性质5为必要条件. A负定时不一定有|A|0.性质6 A为

4、正定矩阵 A的所有顺序主子式皆大于零.顺序主子式12A负定 A正定.A负定 A的奇数阶顺序主子式小于零, 偶数阶顺序主子式大于零.性质7 A正定A的特征值全为正数. 例4 判断实二次型是否正定.判断方法1. 顺序主子式(性质6)2. 标准形(定理3.1)3. 特征值(性质7)13解方法一二次型所对应的矩阵为三个顺序主子式10, 由性质6, f是正定二次型.14方法二 用配方法将所给二次型化为标准形令为满秩变换. 得正惯性指数p=3=n, 得 f 正定.15方法3 特征值f(0)= 1, f(1)=4, f(2)= 1, f(4)=3, f(5)= 16.由零点定理, f()=0有三个正根. f 正定.16练习判别二次型是否正定.正定(性质6)例5 求的值, 使实二次型为正定二次型, 并讨论2的情形.解二次型对应矩阵17令它的各阶顺序主子式大于0得1;得2.取交后得2.所以2时, f是正定二次型.18=2