MATLAB数学应用软件课件

1、第6章 高等数学计算 函数和极限 导数 极限和导数的应用 不定积分和定积分 空间解析几何与向量代数 多元函数的极限和求导 级数 微分方程第1页，共187页。2022/8/192函数复合函数运算 符号表达式的复合函数运算主要是通过函数compose来实现的。 反函数 符号表达式的反函数运算主要是通过函数finverse来实现的。函数的图形 第2页，共187页。2022/8/193极限符号极限由函数limit来实现。 例：求数列 的极限。解：在命令窗口键入下面的命令行： syms n; limit(n+(-1)(n-1)/n,n,inf) 得 ans = 1第3页，共187页。2022/8/194

2、导数求函数的导数求隐函数的导数求参数方程确定的函数的导数第4页，共187页。2022/8/195求函数的导数用diff函数进行函数求导。例：求函数 的导数。解：在命令窗口键入下面的命令行：syms x;f=sym(x-1)3/(x+1);B=diff(f) 得B = 3*(x-1)2/(x+1)-(x-1)3/(x+1)2 第5页，共187页。2022/8/196求隐函数的导数对于隐函数F(x,y)=0，导数 第6页，共187页。2022/8/197求参数方程确定的函数的导数对于参数方程 导数 第7页，共187页。2022/8/198极限和导数的应用渐近线极值拐点第8页，共187页。2022/

3、8/199不定积分和定积分不定积分求定积分定积分的近似计算定积分的应用多重积分第9页，共187页。2022/8/1910不定积分MATLAB中，用符号工具箱中的int函数求函数的不定积分和定积分。用int函数的前两种调用格式求不定积分。 例：求不定积分 。解：在命令窗口键入syms x nint(xn)或syms x nint(xn,x)得ans= x(n+1)/(n+1) 第10页，共187页。2022/8/1911求定积分用int函数的后两种调用格式求定积分。 例：求定积分 。解：在命令窗口键入syms xint(x7,0,1) 得ans= 1/8 第11页，共187页。2022/8/19

4、12定积分的近似计算用MATLAB提供的trapz函数可以用梯形法近似求取定积分的值。 例：积分 的精确值为2，下面用trapz函数在均匀间隔的网格上求该积分的数值近似。 X=0:pi/100:pi;Y=sin(X);Z=trapz(X,Y)Z= 1.9998 第12页，共187页。2022/8/1913定积分的应用使用定积分，可以解决几何和物理中的很多实际问题，比如求平面图形的面积、求曲面围成的体积、求曲线的弧长、求功等。 第13页，共187页。2022/8/1914多重积分可以用int函数求函数的多重积分。 例：求二重积分 。解：在命令窗口键入syms x y;int(int(x*y,y,

5、2),y,1,2)得 ans = 9/8 第14页，共187页。2022/8/1915空间解析几何与向量代数空间向量运算曲面及其方程第15页，共187页。2022/8/1916空间向量运算已知向量a=2,1,-1，b=1,-1,2，计算a+b, a-b, 2a, ab, ab。 解：在命令窗口键入下面的命令行： a=2 1 -1; b=1 -1 2; c=a+b d=a-b e=2*a f=dot(a,b) g=cross(a,b)得 c = 3 0 1 d = 1 2 -3 e = 4 2 -2 f = -1 g = 1 -5 -3上面分别用dot和cross函数计算向量的点积和叉积第16页

6、，共187页。2022/8/1917曲面及其方程利用MATLAB提供的绘图函数，可以绘制给定函数的曲面和二次曲面。相关内容，请参见6.2.4和6.2.5小节的介绍。 第17页，共187页。2022/8/1918多元函数的极限和求导求多元函数的极限求多元函数的导数求二元隐函数的导数第18页，共187页。2022/8/1919求多元函数的极限例：求极限 。解：在命令行键入syms x y;limit(sin(x+y)-sin(x)/y,y,0) ans = cos(x) 第19页，共187页。2022/8/1920求多元函数的导数用diff函数计算多元函数的偏导数，需要指定相对于哪个变量求偏导数。

7、 例：求函数f=sin(st)的偏导数 。解：在命令窗口键入下面的命令行 syms s t f=sin(s*t) diff(f,t) ans= cos(s*t)*s 第20页，共187页。2022/8/1921求二元隐函数的导数对于隐函数F(x,y,z)=0，导数 第21页，共187页。2022/8/1922级数级数求和泰勒级数展开傅立叶级数展开第22页，共187页。2022/8/1923级数求和可以用symsum函数求级数的和。例：求级数 和 。解：在命令窗口键入 syms x k s1=symsum(1/k2,1,inf) s2=symsum(xk,k,0,inf) s1= 1/6*pi2

8、 s2= -1/(x-1) 第23页，共187页。2022/8/1924泰勒级数展开用taylor函数进行泰勒级数展开。 例：求函数 的泰勒级数展开，取前7项。解：在命令窗口键入下面的代码 syms x f=1/(5+4*cos(x) T=taylor(f,8)返回 T= 1/9+2/81*x2+5/1458*x4+49/131220*x6 第24页，共187页。2022/8/1925傅立叶级数展开通过编写程序，可以实现函数的傅立叶级数展开。第25页，共187页。2022/8/1926微分方程微分方程可以通过函数dsolve求解。例：求微分方程 的通解，y为应变量，t为默认的自变量。 解：输入

9、下面的命令行 dsolve(Dy=1+y2)返回 ans = tan(t+C1)即为所求的通解。下面指定初始条件y|x=0=1。 y = dsolve(Dy=1+y2,y(0)=1)生成 y = tan(t+1/4*pi) 第26页，共187页。第7章 线性代数 矩阵分析 矩阵的分解 线性方程组的求解 矩阵的特征值和特征向量 符号矩阵 稀疏矩阵第27页，共187页。2022/8/1928矩阵分析 矩阵的行列式矩阵的四则运算矩阵的幂和平方根矩阵的指数和对数矩阵的翻转矩阵的逆运算矩阵的迹矩阵的范数矩阵的条件数矩阵的重塑矩阵的逻辑运算矩阵的初等变换矩阵的秩第28页，共187页。2022/8/1929

10、矩阵的行列式可用函数det求矩阵的行列式大小。 例：a=1 2 0;2 5 -1;4 10 -1;b=det(a)b = 1 第29页，共187页。2022/8/1930矩阵的四则运算数组和矩阵的加减运算使用加号和减号，即“+”和“-”。 矩阵相乘使用“*”运算符。如果只是将两个矩阵中相同位置的元素相乘，使用“.*”运算符。 矩阵除法有左除和右除的区别，分别使用“”和“/”运算符。 与“”和“/”运算符相对应，也有“.”和“./”运算符，分别用于将两个矩阵中的对应元素相除。 矩阵与常数的代数运算，可以直接使用上面的各种运算符。 第30页，共187页。2022/8/1931矩阵的幂和平方根矩阵的

11、幂运算使用运算符“”，幂运算具有类似Xp的形式。如果p是整数，则幂通过重复求平方来计算；如果该整数为负值，则首先计算X的逆；如果p取其他值，则计算需要用到特征值和特征矢量，即如果V,D=eig(X)，则Xp=V*D.p/V。用sqrtm函数求矩阵的平方根。 第31页，共187页。2022/8/1932矩阵的指数和对数矩阵的指数运算用expm函数实现。矩阵的对数运算用logm函数实现。 第32页，共187页。2022/8/1933矩阵的翻转用fliplr函数左右翻转矩阵；用flipud函数上下翻转矩阵；用flipdim函数沿指定方向翻转矩阵；用transpose函数沿主对角线翻转矩阵。 第33页

12、，共187页。2022/8/1934矩阵的逆运算用函数inv实现矩阵的逆运算。 由函数pinv实现矩阵的伪逆运算。 第34页，共187页。2022/8/1935矩阵的迹矩阵的迹是指矩阵所有对角线元素的和。在MATLAB中，矩阵的迹可由函数trace计算得到。 第35页，共187页。2022/8/1936矩阵的范数矩阵的范数运算可由函数norm来实现，具有norm(A), norm(A,1), norm(A,2), norm(A,inf), norm(A,fro)等形式，分别代表矩阵的范数运算、1-范数运算、7-范数运算、无穷大范数运算和F-范数运算。 第36页，共187页。2022/8/193

13、7矩阵的条件数条件数的值代表矩阵“病态”程度的大小。在MATLAB中，矩阵的条件数可分别由函数cond(A), condest(A)或rcond(A)计算得到，它们分别计算矩阵的条件数值、1-范数矩阵条件数值和矩阵的逆条件数值。 第37页，共187页。2022/8/1938矩阵的重塑用reshape函数进行矩阵重塑。下面将一个34的矩阵重塑为26的。例： A = 1 4 7 10; 2 5 8 11; 3 6 9 12 A = 1 4 7 10 2 5 8 11 3 6 9 12 B = reshape(A, 2, 6) B = 1 3 5 7 9 11 2 4 6 8 10 12 第38页，

14、共187页。2022/8/1939矩阵的逻辑运算使用逻辑运算符，可以直接对数组或矩阵进行逻辑运算，包括逻辑非、逻辑或、逻辑与和逻辑异或运算。第39页，共187页。2022/8/1940矩阵的初等变换用rref函数进行矩阵的初等行变换 。例：A=1 2 1 8;1 2 3 10;2 3 1 13;1 2 2 9A = 1 2 1 8 1 2 3 10 2 3 1 13 1 2 2 9B=rref(A)B = 1 0 0 3 0 1 0 2 0 0 1 1 0 0 0 0 第40页，共187页。2022/8/1941矩阵的秩用函数rank求矩阵的秩。 例：a=1 2 0;2 5 -1;4 10 -

15、1;b=rank(a)b = 3 第41页，共187页。2022/8/1942矩阵的分解矩阵的LU分解矩阵的QR分解矩阵的QZ分解矩阵的乔累斯基分解矩阵的奇异值分解矩阵的特征值分解矩阵的Schur分解第42页，共187页。2022/8/1943矩阵的LU分解矩阵的LU分解是线性方程组求解方法中高斯消去法的基础，在MATLAB中由函数lu来实现。 第43页，共187页。2022/8/1944矩阵的QR分解在MATLAB中，QR分解可由函数qr实现。常用的调用格式如下： B,C=qr(A) 返回的矩阵C为上三角矩阵，矩阵B为满秩矩阵。 Q,R,E = qr(A) 返回的矩阵E是置换矩阵，矩阵R是上

16、三角矩阵，矩阵Q是满秩矩阵。上述矩阵满足关系A*E = Q*R。 第44页，共187页。2022/8/1945矩阵的QZ分解在MATLAB中，QZ分解可由函数qz来实现。qz函数常用的调用格式如下： AA,BB,Q,Z,V = qz(A,B) 要求矩阵A,B是方阵。产生的矩阵AA,BB是上三角矩阵，Q,Z是正交矩阵，矩阵V是特征矢量矩阵。其中，满足Q*A*Z = AA与Q*B*Z = BB。 AA,BB,Q,Z,V = qz(A,B,flag) 对于方阵A,B的QZ分解取决于参数flag。参数flag可取complex与real。 第45页，共187页。2022/8/1946矩阵的乔累斯基分解

17、设矩阵A为n阶对称正定矩阵，则A矩阵可分解为LL，即A= LL。其中，矩阵L是上三角矩阵。此时，这种分解就称为乔累斯基分解。在MATLAB中，乔累斯基分解由函数chol实现。 第46页，共187页。2022/8/1947矩阵的奇异值分解在MATLAB中，矩阵的奇异值分解由函数svd来实现，其调用格式为 b,c,d=svd(A) 第47页，共187页。2022/8/1948矩阵的特征值分解在线性代数中，很多情况下需要求矩阵的特征值。MATLAB中求矩阵特征值的函数是eig和eigs。其中函数eigs主要应用于稀疏矩阵。 第48页，共187页。2022/8/1949矩阵的Schur分解在MATLA

18、B中，矩阵的Schur分解由Schur函数来实现，其调用格式为 b,c=schur(A)其中c矩阵为Schur矩阵。 第49页，共187页。2022/8/1950线性方程组的求解方形系统超定系统不定系统第50页，共187页。2022/8/1951矩阵的特征值和特征向量在MATLAB中，矩阵的特征值运算用函数eig或eigs实现。其中，eigs函数主要针对矩阵为稀疏矩阵的情况。 第51页，共187页。2022/8/1952符号矩阵符号矩阵的四则运算符号矩阵的转置运算符号矩阵的行列式运算符号矩阵的求逆运算符号矩阵的求秩运算符号矩阵的常用函数运算符号矩阵常用线性方程(组)的求解第52页，共187页。

19、2022/8/1953稀疏矩阵MATLAB中，创建稀疏矩阵一般用函数sparse或spdiags来实现。 稀疏矩阵由于存储空间变小，而且MATLAB专门开发了针对它的算法，因此对稀疏矩阵的运算速度也非常快。 第53页，共187页。第8章 概率论与数理统计的MATLAB实现 随机变量及其分布 多维随机变量及其分布 随机变量的数字特征 样本描述 参数估计 假设检验 方差分析 一元线性回归第54页，共187页。2022/8/1955随机变量及其分布离散型随机变量及其分布律 连续型随机变量及其概率密度 分布函数 逆累加分布函数 第55页，共187页。2022/8/1956离散型随机变量及其分布二项分布

20、泊松分布离散均匀分布几何分布超几何分布第56页，共187页。2022/8/1957连续型随机变量及其概率密度连续型均匀分布指数分布正态分布第57页，共187页。2022/8/1958分布函数对于离散型随机变量X，设x为任意实数，X的分布函数为对于连续型随机变量X，假设其概率密度为f(x)，则其分布函数为第58页，共187页。2022/8/1959逆累加分布函数逆累加分布函数是累加分布函数的逆函数。利用逆累加分布函数，可以求得满足给定概率时随机变量对应的置信区间的最小值和最大值。 第59页，共187页。2022/8/1960多维随机变量及其分布用mvnpdf和mvncdf函数可以计算二维正态分布

21、随机变量在指定位置处的概率和累积分布函数值。下面左图和右图分别为二维正态分布随机变量的概率密度图和累积分布图。 第60页，共187页。2022/8/1961随机变量的数字特征期望方差常见分布的数学期望和方差协方差和相关系数矩和协方差矩阵第61页，共187页。2022/8/1962样本描述集中趋势 包括算术平均值、几何均值、调和均值、中值和截尾均值等。离中趋势 包括均值绝对差、极差、方差和标准差等。抽样分布 包括卡方分布、t分布和F分布等。第62页，共187页。2022/8/1963参数估计点估计 可以用矩法和最大似然法进行参数估计。区间估计 可以用mle函数，利用最大似然估计法进行参数的区间估

22、计。常见分布的参数估计 MATLAB统计工具箱提供了多种函数的参数估计函数，详见课本。第63页，共187页。2022/8/1964假设检验方差已知时的均值检验方差未知时单个正态总体均值的检验方差未知时两个正态总体均值差的检验基于成对数据的检验分布拟合检验第64页，共187页。2022/8/1965方差已知时的均值检验用ztest函数在给定方差的条件下检验单样本数据是否服从给定均值的正态分布。 第65页，共187页。2022/8/1966方差未知时单个正态总体均值的假设检验t检验是用小样本检验总体参数，特点是在均方差不知道的情况下，可以检验样本平均数的显著性。 用ttest函数进行样本均值的t检

23、验。 第66页，共187页。2022/8/1967方差未知时两个正态总体均值差的检验ttest2函数对两个样本的均值差异进行t检验。 第67页，共187页。2022/8/1968基于成对数据的检验实际工作中为了比较两种方法或两种产品的差异，常常需要进行对比试验。这样得到的数据具有成对的特点。分析这种数据，还是需要t检验。前面用到的ttest函数可以进行检验。 第68页，共187页。2022/8/1969分布拟合检验q-q图峰度-偏度检验秩和检验第69页，共187页。2022/8/1970q-q图q-q图用变量数据分布的分位数与所指定分布的分位数之间的关系曲线来检验数据的分布。如果两个样本来自同

24、一分布，则图中数据点呈现直线关系，否则为曲线关系。 第70页，共187页。2022/8/1971峰度-偏度检验峰度-偏度检验又称为Jarque-Bera检验，评价给定数据服从未知均值和方差的正态分布的假设是否成立。该检验基于数据样本的偏度和峰度。对于正态分布数据，样本偏度接近于0，样本峰度接近于3。 第71页，共187页。2022/8/1972秩和检验秩和检验可检验两个总体是否相等。用ranksum函数检验两个样本是否取自中值相同的总体。 第72页，共187页。2022/8/1973方差分析单因子方差分析 用anova1函数进行单因子方差分析。 双因子方差分析 用anova2函数进行双因子方差

25、分析。 第73页，共187页。2022/8/1974一元线性回归进行一元线性回归MATLAB中可以使用polyfit函数实现一元线性回归。对于给定的数据，该函数返回一元线性回归方程的系数。 可化为一元线性回归的曲线回归问题在实际应用过程中，人们遇到的更多是非线性问题，通过变换，有的非线性问题可以转换为线性问题，从而可以用线性回归的方法来处理。 第74页，共187页。第9章 最优化方法的MATLAB实现 一维搜索问题 线性规划 无约束非线性最优化问题 有约束非线性最优化问题第75页，共187页。2022/8/1976一维搜索问题求解单变量最优化问题的方法有很多种。如果函数的导数容易求得，一般来说

26、首先考虑使用三次插值法，因为它具有较高的效率。对于只需要计算函数值的方法，二次插值法是一个很好的方法，它的收敛速度较快，在极小点所在区间较小时尤其如此。黄金分割法则是一种十分稳定的方法，并且计算简单。由于以上原因，MATLAB优化工具箱中用得较多的方法是二次插值法、三次插值法、二次三次混合插值法和黄金分割法。 第76页，共187页。2022/8/1977利用fminbnd函数找到固定区间内单变量函数的最小值。 例： 对边长为3m的正方形铁板，在4个角处剪去相等的正方形以制成方形无盖水槽，问如何剪法使水槽的容积最大？ 解：假设剪去的正方形的边长为x，则水槽的容积为现在要求在区间（0，1.5）上确

27、定一个x，使最大化。因为优化工具箱中要求目标函数最小化，所以需要对目标函数进行转换，即要求最小化。首先编写M文件fminbndtest.m:function f = myfun(x)f = - (3-2*x).2 * x;然后调用fminbnd函数：x = fminbnd(fminbndtest,0,1.5)得到问题的解：x = 0.5000即剪掉的正方形的边长为0.5m时水槽的容积最大。第77页，共187页。2022/8/1978线性规划线性规划问题的矩阵形式为线性规划的标准形式要求使目标函数最小化，约束条件取等式，变量b非负。不符合这几个条件的线性模型要首先转化成标准形式。在MATLAB工

28、具箱中，可用linprog函数求解线性规划问题。 第78页，共187页。2022/8/1979无约束非线性最优化问题求解无约束最优化问题的方法主要有两类，即直接搜索法和梯度法。 直接搜索法适用于目标函数高度非线性，没有导数或导数很难计算的情况。常用的直接搜索法为单纯形法，此外还有Hooke-Jeeves搜索法、Pavell共轭方向法等。在函数的导数可求的情况下，梯度法是一种更优的方法。常见的梯度法有最速下降法、Newton法、Marquart法、共轭梯度法和拟牛顿法等。MATLAB优化工具箱中用于求解无约束非线性规划问题的函数有fminunc和fminsearch。 第79页，共187页。20

29、22/8/1980有约束非线性最优化问题有约束非线性最优化问题的数学模型为其中，x, b, beq, lb,和ub为矢量，A和Aeq为矩阵，c(x)和ceq(x)为函数，返回标量。f (x), c(x), 和 ceq(x)可以是非线性函数。利用fmincon函数求多变量有约束非线性函数的最小值。 第80页，共187页。第10章 复变函数的MATLAB实现 构造复数(矩阵) 复数运算 复变函数的图形第81页，共187页。2022/8/1982构造复数(矩阵)用complex函数构造复数。语法格式为 c = complex(a,b)其中，a和b分别表示复数的实部和虚部，必须是标量或大小相同的向量、

30、矩阵或多维数组。输出结果c=a+bi，其大小与输入参数的相同。 第82页，共187页。2022/8/1983复数的实部和虚部用real函数返回复数的实部。 用imag函数返回复数的虚部。 第83页，共187页。2022/8/1984共轭复数用conj函数计算复数的共轭值。该函数的语法格式为 ZC = conj(Z)其中Z为复数数组。 第84页，共187页。2022/8/1985复数的模用abs函数求复数的模。该函数的调用格式为 abs(Z)返回复数的模，等价于sqrt(real(Z).2 + imag(Z).2)。 第85页，共187页。2022/8/1986复数的辐角用angle计算复数的辐

31、角。该函数的语法格式为 P = angle(Z) 第86页，共187页。2022/8/1987复数的乘除法复数的乘除法运算由“*”和“/”实现。例： m=4+2i; n=2-5i; m*n ans = 18.0000 -16.0000i m/n ans = -0.0690 + 0.8276i 第87页，共187页。2022/8/1988复数的指数运算用exp函数进行复数的指数运算。该函数的调用格式为 Y = exp(Z)其中Z为复数数组。 第88页，共187页。2022/8/1989复数的对数运算用log函数进行复数的对数运算。该函数的调用格式为 Y = log(Z)其中Z为复数数组。 第89

32、页，共187页。2022/8/1990复数的平方根运算用sqrt函数进行复数的平方根运算。该函数的调用格式为 B = sqrt(Z)该函数返回复数数组Z中每个元素的平方根。 第90页，共187页。2022/8/1991复数的幂运算复数的幂运算的形式为Zn，结果返回复数Z的次幂。例： (3+i)2 ans = 8.0000 + 6.0000i第91页，共187页。2022/8/1992复数的三角函数运算复数的三角函数运算函数参见下表。函数名函 数 功 能函数名函 数 功 能sin(x)返回x的正弦函数值asin(x)返回x的反正弦值cos(x)返回x的余弦函数值acos(x)返回x的反余弦值ta

33、n(x)返回x的正切函数值atan(x)返回x的反正切值cot(x)返回x的余切函数值acot(x)返回x的反余切值sec(x)返回x的正割函数值asec(x)返回x的反正割值csc(x)返回x的余割函数值acsc(x)返回x的反余割值sinh(x)返回x的双曲正弦值coth(x)返回x的双曲余切值cosh(x)返回x的双曲余弦值sech(x)返回x的双曲正割值tanh(x)返回x的双曲正切值csch(x)返回x的双曲余割值第92页，共187页。2022/8/1993求方程的复数根用solve函数可以求方程的复数根。例：解方程x2+1=0。 z = solve(x2+1=0) z = i -i

34、如果方程为多项式形式，可以用roots函数进行求解。 第93页，共187页。2022/8/1994复变函数的积分利用int函数，可以求复变函数的不定积分和定积分。 例：求积分 。 syms z; int(exp(z), z,-pi*i,0) ans = 2 第94页，共187页。2022/8/1995绘复变函数的图形绘二维图形绘三维图形第95页，共187页。2022/8/1996复数(数组、矩阵)的图形可以用plot函数绘复数(数组、矩阵)的图形。语法格式为 plot(Z)其中，Z为复数向量或矩阵，等价于plot(real(Z),imag(Z)。 第96页，共187页。2022/8/1997复

35、变函数的三维图形假设f(z)为复变函数，在指定的范围内，用曲面的高度表示实部(real(f(z)，颜色表示虚部(imag(f(z)，颜色映射通过变化HSV颜色模型中的饱和度。用cplxmap函数绘制复变函数的图形，语法格式为cplxmap(z,f(z),bound)，其中，z指定范围，f(z)为复变函数。用cplxgrid函数生成极坐标复数网格。z=cplxgrid(m)是一个(m+1)(2*m+1)的复数极坐标网格。第97页，共187页。2022/8/1998复变函数的图形示例绘函数f(z)=z的图形。 colormap(hsv(64) z = cplxgrid(30); cplxmap(z

36、,z) title(z) 生成下图。 绘函数f(z)=z3的图形。 cplxmap(z,z.3) title(z3) 生成下图。 第98页，共187页。第11章 运筹学的MATLAB实现 线性规划与非线性规划 整数规划 最大最小化 多目标决策第99页，共187页。2022/8/19100线性规划与非线性规划线性和非线性最优化问题 请参见第8章8.28.4节的内容。二次规划如果某非线性规划的目标函数为自变量的二次函数，约束条件全是线性函数，就称这种规划为二次规划。 利用quadprog函数求解二次规划问题。 第100页，共187页。2022/8/19101整数规划主要介绍0-1规划，0-1规划是

37、一种特殊形式的整数规划。 用bintprog函数求解0-1规划问题。 第101页，共187页。2022/8/19102最大最小化最大最小化问题的数学模型为式中x, b, beq, lb和ub为矢量，A和Aeq为矩阵，c(x), ceq(x)和F(x)为函数，返回矢量。F(x), c(x)和ceq(x)可以是非线性函数。 fminimax 使多目标函数中的最坏情况达到最小化。 第102页，共187页。2022/8/19103多目标决策多目标决策问题的数学模型为式中x, weight, goal, b, beq, lb和ub 为矢量, A和Aeq为矩阵, c(x), ceq(x)和F(x)为函数，

38、返回矢量。F(x), c(x)和ceq(x)可以是非线性函数。 利用fgoalattain函数求解多目标达到问题。 第103页，共187页。第12章 多元统计分析的MATLAB实现 多元线性回归分析 聚类分析 判别分析 因子分析第104页，共187页。2022/8/19105多元线性回归分析多元线性回归的回归模型为y=b0+b1xi1+b2xi2+bnxin, i=1, 2, , n模型中各系数与常数项通常还是利用最小二乘法来求得。 全回归分析回归诊断逐步回归分析第105页，共187页。2022/8/19106全回归分析用regress函数进行多元线性回归分析，利用该函数得到的是全回归结果。

39、第106页，共187页。2022/8/19107回归诊断用regstats函数进行线性模型的回归诊断。 第107页，共187页。2022/8/19108逐步回归分析用stepwise函数进行逐步回归，它使用交互环境(如下图)进行分析。 第108页，共187页。2022/8/19109聚类分析主要介绍系统聚类分析方法。系统聚类法是聚类分析中应用最为广泛的一种方法，它的基本原理是：首先将一定数量的样品或指标各自看成一类，然后根据样品（或指标）的亲疏程度，将亲疏程度最高的两类进行合并。然后考虑合并后的类与其他类之间的亲疏程度，再进行合并。重复这一过程，直至将所有的样品（或指标）合并为一类。 第109

40、页，共187页。2022/8/19110系统聚类分析用到的函数函 数功 能pdist计算观测量两两之间的距离 squareform 将距离矩阵从上三角形式转换为方形形式，或从方形形式转换为上三角形式 linkage 创建系统聚类树 dendrogram 输出冰柱图 cophenet 计算Cophenetic相关系数 cluster 根据linkage函数的输出创建分类 clusterdata 根据数据创建分类 inconsistent 计算聚类树的不连续系数 第110页，共187页。2022/8/19111判别分析判别分析是利用原有的分类信息，得到体现这种分类的函数关系式（称之为判别函数，一般

41、是与分类相关的若干个指标的线性关系式），然后利用该函数去判断未知样品属于哪一类。 对于给定的数据，用classify函数进行线性判别分析，用mahal函数计算马氏距离。第111页，共187页。2022/8/19112因子分析因子分析是一种降维方法。需要用模型解释数据内部的相关性时，使用因子分析法进行分析。 MATLAB中，用factoran函数进行因子分析。第112页，共187页。第13章 计算方法的MATLAB实现 一元非线性方程求解 线性方程组的数值解法 非线性方程组的数值解法 插值 曲线拟合 数值微分 数值积分 常微分方程的数值解第113页，共187页。2022/8/19114一元非线性

42、方程求解可用fzero函数和roots函数求解一元非线性方程。 用fzero函数求一元非线性方程的零点。 用roots函数计算多项式的根。 第114页，共187页。2022/8/19115线性方程组的数值解法基于矩阵变换的直接解法Jocabi迭代法 Gauss-Seidel迭代法 SOR(超松弛)迭代法 第115页，共187页。2022/8/19116非线性方程组的数值解法不动点迭代法Newton迭代法 拟Newton法 第116页，共187页。2022/8/19117插值一维插值二维插值多维插值Lagrange插值 Newton插值 第117页，共187页。2022/8/19118一维插值多

43、项式插值用函数interp1进行一维插值。 可选的插值方法包括： 最近邻插值 线性插值 三次样条插值 三次插值FFT插值函数interpft用基于FFT的方法进行一维插值。 第118页，共187页。2022/8/19119二维插值用函数interp2进行二维插值。 可选的插值方法包括：最近邻插值 双线性插值 双三次插值 第119页，共187页。2022/8/19120多维插值函数interp3进行三维插值，可选的插值方法包括： 最近邻法 线性插值 三次插值 用interpn函数进行更高维数据的插值，同样有最近邻插值、线性插值和三次插值三种方法。 第120页，共187页。2022/8/19121

44、曲线拟合最小二乘法多项式曲线拟合相关工具第121页，共187页。2022/8/19122最小二乘法最小二乘法通过最小化残差的平方和来获得待定系数的估计。 常见的最小二乘法包括线性最小二乘、加权线性最小二乘、稳健最小二乘和非线性最小二乘等。求解非线性最小二乘问题的Gauss-Newton法和Levenberg-Marquart法是老牌算法。 第122页，共187页。2022/8/19123多项式曲线拟合用polyfit函数计算拟合数据集的多项式在最小二乘意义上的系数，调用形式为 p = polyfit(x,y,n)x和y是包含要拟合的x和y数据的矢量，n是多项式的阶次。 第123页，共187页。

45、2022/8/19124拟合工具MATLAB支持用下图所示的拟合界面进行曲线拟合。 第124页，共187页。2022/8/19125数值微分数值微分运算数值梯度运算中心差分第125页，共187页。2022/8/19126数值微分运算可以用diff函数实现数值微分运算。例：x=3 7 5;0 4 2;diff(x)ans = -3 -3 -3 第126页，共187页。2022/8/19127数值梯度运算用gradient函数进行数值梯度运算。 例：v = -2:0.2:2;x,y = meshgrid(v);z = x .* exp(-x.2 - y.2);px,py = gradient(z,

46、.2,.2); contour(v,v,z), hold on, quiver(v,v,px,py), hold off 第127页，共187页。2022/8/19128中心差分使用del2函数可以实现中心差分。 第128页，共187页。2022/8/19129数值积分梯形求积Simpson求积 Lobatto求积 Gauss求积 Romberg求积 二重积分 三重积分 第129页，共187页。2022/8/19130常微分方程的数值解显式和线性隐式常微分方程问题求解 完全隐式常微分方程问题求解 边界值常微分方程问题求解 改进的Eulor法 线性多步法 第130页，共187页。第14章 偏微分

47、方程数值解的MATLAB实现 一维偏微分方程的求解 二维偏微分方程的求解 用GUI求解偏微分方程 第131页，共187页。2022/8/19132一维偏微分方程的求解MATLAB使用pdepe求解器求解一维PDE，要求一维PDE具有下面的形式： 其中， 。区间a,b必须是有界区间。m可以是0,1或2，分别表示平面对称、柱面对称和球面对称。如果m0，则a必须大于等于0。 第132页，共187页。2022/8/19133二维偏微分方程的求解利用MATLAB提供的偏微分方程数值解工具箱，可以求解二维PDE问题。可求解的问题包括椭圆型问题、抛物型问题、双曲型问题、特征值问题和非线性问题等。该工具箱使用

48、有限单元法进行数值求解。 第133页，共187页。2022/8/19134基本二维偏微分方程问题及其求解函数基本二维偏微分方程问题及其求解函数如下表所示。二维偏微分方程问题求解函数椭圆型问题assempde 抛物型问题parabolic 双曲型问题hyperbolic 特征值问题pdeeig 非线性问题pdenonlin 第134页，共187页。2022/8/19135用GUI求解偏微分方程在MATLAB命令窗口中输入命令：pdetool，然后单击回车键，显示PDE图形用户界面，如下图所示。可以在该工具中可视地完成整个建模、求解和绘图任务。 第135页，共187页。2022/8/19136用G

49、UI求解偏微分方程的基本步骤一般地，利用PDE图形用户界面求解PDE问题的过程分为以下几步： 选择应用模式； 建立几何模型； 定义边界条件； 定义PDE类型和PDE系数； 三角形网格剖分； PDE求解； 解的图形表达。其中前5步可称为前处理，第7步可称为后处理。 第136页，共187页。第15章 计算几何的MATLAB实现 点与多边形的包含关系 矩形的集合运算 凸包 Delaunay剖分 Voronoi图 最近邻搜索第137页，共187页。2022/8/19138点与多边形的包含关系用inpolygon函数可以测试点是否位于在多边形区域内部。 第138页，共187页。2022/8/19139矩

50、形的集合运算MATLAB用rectint函数求矩形区域的交。 第139页，共187页。2022/8/19140凸包二维点集的凸包N维点集的凸包第140页，共187页。2022/8/19141二维点集的凸包用convhull函数计算平面点集的凸包。 例：下面的代码首先在极坐标中生成一系列点，用pol2cart函数将它们转换到笛卡儿坐标，然后用convhull函数计算点的凸包，用plot函数，用红色实线画出凸包线。 xx = -1:.05:1; yy = abs(sqrt(xx); x,y = pol2cart(xx,yy); k = convhull(x,y); plot(x(k),y(k),r

51、-,x,y,b+)第141页，共187页。2022/8/19142N维点集的凸包用convhulln函数求N维点集的凸包。根据维数的不同，可用不同方法绘convhulln函数输出数据的图形。对于2维情况，使用plot函数绘图。对于3维情况，使用trisurf函数绘图。使用patch函数绘图，对小面颜色可以有更多的控制。对于3维以上的情况，不能绘图。第142页，共187页。2022/8/19143Delaunay剖分二维Delaunay剖分三维Delaunay剖分N维Delaunay剖分第143页，共187页。2022/8/19144二维Delaunay剖分对于给定的点集，Delaunay三角网

52、是连接每个点及其相邻点的线段集。可以用delaunay函数实现二维Delaunay三角剖分第144页，共187页。2022/8/19145三维Delaunay剖分用delaunay3函数进行三维Delaunay剖分。 第145页，共187页。2022/8/19146N维Delaunay剖分用delaunayn函数进行N维Delaunay剖分。 第146页，共187页。2022/8/19147Voronoi图考虑共面点集P，对于P中的每个点Px，总存在一个多边形边界，边界内的点到该点的距离比到其他任何点的距离都小。称这个多边形边界为Voronoi多边形，给定点集的所有Voronoi多边形构成的集

53、合称为Voronoi图。 Voronoi图与Delaunay三角网有关Delaunay三角形外接圆的圆心与Voronoi多边形的顶点重合，如右图所示。 第147页，共187页。2022/8/19148二维Voronoi图用voronoi函数绘二维Voronoi图。 例：下面的代码用voronoi函数绘10个随机点的Voronoi图。 rand(state,5); x = rand(1,10); y = rand(1,10); voronoi(x,y) 第148页，共187页。2022/8/19149N维Voronoi图用voronoin函数绘N维Voronoi图。 第149页，共187页。20

54、22/8/19150最近邻搜索用desearch函数进行最近点搜索。用dsearchn函数进行N维最近点搜索。用tsearch函数搜索最近Delaunay三角形。 第150页，共187页。第16章 科学计算可视化的MATLAB实现 曲面数据的可视化 体数据的可视化第151页，共187页。2022/8/19152曲面数据的可视化表现标量特征等值线图表现矢量特征矢量图第152页，共187页。2022/8/19153等值线图等值线图通过将空间上一定范围内值相等的点依次连线来反映数据的分布特征。 用contour函数生成二维等值线图。 用contourf函数填充二维等值线图。 用contour3函数绘

55、三维等值线图。 第153页，共187页。2022/8/19154矢量图矢量图用箭头显示图中各点处的矢量大小和方向。其中，箭头指示的方向为矢量的方向，箭头的长短表示矢量的大小。 用quiver函数绘二维矢量图。 用quiver3函数绘三维矢量图。 第154页，共187页。2022/8/19155体数据的可视化表现标量特征表现矢量特征第155页，共187页。2022/8/19156表现体数据的标量特征可以用剖面图、等值面图、等帽盖图等表现体数据的标量特征。下面左图为剖面图，右图为等值面图和等帽盖图的叠加。第156页，共187页。2022/8/19157表现体数据的矢量特征科学计算中往往会生成大量矢

56、量数据，使用特定图形表现数据特征，具有直观、高效的特点。MATLAB中提供的用于表现体数据矢量特征的图形有流线图、流管图、流沙图、流锥图、流带图和卷曲图等。 下面左图为流线图，右图为流锥图。第157页，共187页。第17章 图形用户界面设计 图形用户界面开发环境(GUIDE) 菜单 控件 对话框 GUI设计实例第158页，共187页。2022/8/19159图形用户界面开发环境启动GUIDE输出编辑器GUIDE模板菜单编辑器对象属性查看器位置调整工具对象浏览器Tab顺序编辑器运行GUIGUI FIG文件和M文件第159页，共187页。2022/8/19160启动GUIDE在命令窗口中键入gui

57、de，启动GUIDE，显示下图所示的“GUIDE Quick Start”对话框。 第160页，共187页。2022/8/19161输出编辑器在GUIDE中打开GUI以后，它显示在输出编辑器中。输出编辑器是所有GUIDE工具的控制面板。 第161页，共187页。2022/8/19162GUIDE模板“GUIDE Quick Start”对话框提供了几种基本类型的GUI模板。使用模板的好处是可以通过修改模板来快速创建GUI。选择一种模板以后，它的预览效果显示在右面的面板中。 第162页，共187页。2022/8/19163菜单编辑器利用菜单编辑器，可以创建、设置、修改下拉式菜单和弹出式菜单。在G

58、UIDE中单击工具栏上的按钮，或者选择“Tools”菜单中的“Menu Editor”选项，打开菜单编辑器的界面，如下图所示。 第163页，共187页。2022/8/19164对象属性查看器利用对象属性查看器，可以查看每个对象的属性值，也可以修改、设置对象的属性值，从对象设计编辑器界面工具栏上选择，或者选择“View”菜单下的“Property Inspecter”选项，打开对象属性查看器，如右图所示。 第164页，共187页。2022/8/19165位置调整工具利用对象对齐工具，可以很方便地对对象设计编辑器中对象设计区内多个对象的位置进行调整。从对象设计编辑器界面的工具栏上选择按钮，或者选择“Layout”菜单下的“Align Objects”选项，可以打开对象位置调整器，如下图所示。 第165页，共187页。2022/8/19166对象浏览器利用对象浏览器，可查看当前设计阶段的各个句柄图形对象。从对象设计编辑器界面的工具栏上选择，或者选择“Tools”菜单下的“Object Browser”选项，可以打开对象浏览器，如下图所示。 第166页，共187页。2022/8/19167Tab顺序编辑器利用Tab顺序编辑器，可以设置用户按下键盘上的Tab键时，对象被选中的先后顺序。单击工具栏上的按钮，或者选择“Tools”菜单下的“Tab Order E