山大《线性代数》辅导课件08投入产出问题

1、投入产出问题1. 背景介绍 一个国家或区域的经济系统中,各部门(或企业)既有消耗又有生产,或者说既有“投入” 又有“产出”.生产的产品供给各部门和系统外的需求,同时也消耗系统各部门所提供的产品,消耗的目的是为了生产；生产的结果必然要创造新价值. 显然对每一部门,物资消耗和新创造的价值等于它生产的总产值. 这就是“投入”和“产出”之间的平衡关系. 俄裔美国经济学家W.Leontief于20世纪30年代首先提出并成功地建立了研究国民经济的投入产出的数学模型，他数次主持制定了美国的国民经济投入产出表，且由此对国民经济各部门的结构和各种比例关系进行了定量分析. 这一方法即投入产出法以其重要的应用价值迅

2、速为世界各国经济学界和决策部门所采纳. W.Leontief因此于1973年获得了Nobel经济学奖.2. 实际问题 一个城镇有三个主要生产企业：煤矿、电厂和地方铁路作为它的经济系统.生产价值1元的煤，需消耗0.25元的电费和0.35元的运输费；生产价值1元的电，需消耗0.40元的煤费、0.05元的电费和0.10元的运输费；而提供价值1元的铁路运输服务，则需消耗0.45元的煤、0.10元的电费和0.10元的运输费. 在某个星期内，除了这三个企业间的彼此需求，煤矿得到50000元的订单，电厂得到25000元的电量供应要求，而地方铁路得到价值30000元的运输需求. 试问 这三个企业在这星期各应生

3、产多少产值才能满足内外需求？3. 数学模型 设煤矿、电厂和地方铁路在这星期生产总产值分别为x1 x2和x3(元)，那么(分配平衡方程组)(直接消耗矩阵)鱹鱹鱹鴠鰙鐌鐌鐌鑮鎪-=-90.010035.010.095.025045.040.01AE求各生产总值我们把分配平衡方程写成解上述方程可知，在该星期中,煤矿、电厂和地方铁路的总产值分别为114458元, 65395.4元和85111元.其中4. 新创价值问题 除了外部需求，试求这星期各企业之间的消耗需求，同时求出各企业新创造的价值(即产值中除去各企业的消耗所剩的部分)分析 将x1=114458分别乘以0，0.25，0.35得到各企业为煤矿的总

4、产值所作消耗，写为把上面三个向量写成矩阵即得下面的关系式 类似地各企业对电厂、铁路的产值所作消耗分别为 设 z1 , z2和z3(元)分别为煤矿、电厂和地方铁路在这星期的新创价值，那么应有 容易得到 z1 = 45783.2 z2= 29427.9 z3= 29766.8 产出 中间产品 最终产品 总产值投入 煤矿 电厂 铁路 小计 煤矿 0 26158 38300 64458 50000 114458 电厂 28614 3270 8511 40395 25000 65395 铁路 40060 6540 8511 55111 30000 85111 小计 68674 35968 55322 1

5、59964 105000 264964新创价值 45784 29427 29789 105000 总产值 114458 65395 85111 264964 一般说，在对一个国家或区域的经济用投入产出法进行分析和研究时，首先根据统计数字制定投入产出表，进而计算出有关的技术系数.对这些系数的分析，可以了解经济系统的结构和各部门之间的数量关系，还可通过求解方程组来获知最终需求的变动对各部门生产的影响投入产出表5. 完全消耗 如果煤矿需要增加总产值10000元，它对各个企业的产品或服务的完全需求分别将是多少？ 在某个企业生产或提供服务时，对任何一个产品的直接消耗事实上还蕴含着其他产品的间接消耗.例如

6、地方铁路在运输时直接消耗了煤，但它还通过消耗电而间接消耗煤，因为电的生产需要消耗煤.这样就有了完全消耗系数的概念. 设煤矿、电厂和地方铁路生产单位产值对煤、电和铁路运输的总消耗值(即完全消耗系数)分别为bij；那么记 完全消耗矩阵反映了煤矿、电厂和铁路在生产需求上的关系.而且从完全需求的角度揭示了它们在更深层次上的相互依赖关系.这意味着如果该城镇要扩大煤的生产而每周增加产值1万元，那就不仅需要相应增产0.25万元的电和0.35万元的运输能力作为直接消耗，事实上而且还将有约近0.46万元的煤、0.20万元的电和0.27万元的运输能力作为间接消耗可得6. 经济预测 若在以后的三星期内,企业外部需求的增长速度是煤每周增长15，电力每周增长3，铁路每周运输增长12；那么各企业的总产值将平均每周增长多少？ 根据问题中给出的增长率，可知在以后的第三周，煤、电和铁路运输的外部需求(最终产品)量分别为根据外部需求，解方程组 利于Mathematica,就可以解出第三周的产出应为 即届时这三企业的总产值分别达到元、元和元.以目前这周的产出向量为