高中数学选修2-3配人教A版-课后习题word版-第一章　计数原理1.3.1　二项式定理

1、1.3二项式定理1.3.1二项式定理课后篇巩固提升基础巩固1.(x+2)6的展开式中x3的系数是()A.20B.40C.80D.160解析(方法一)设含x3的为第r+1项,则Tr+1=C6rx6-r2r,令6-r=3,得r=3,故展开式中x3的系数为C6323=160.(方法二)根据二项展开式的通项公式的特点:二项展开式每一项中所含的x与2分得的次数和为6,则根据题意满足条件x3的项按3与3分配即可,则展开式中x3的系数为C6323=160.答案D2.(x-2y)10的展开式中x6y4项的系数是()A.840B.-840C.210D.-210解析在通项Tr+1=C10rx10-r(-2y)r中

2、,令r=4,即得(x-2y)10的展开式中x6y4项的系数为C104(-2)4=840.答案A3.使得3x+1xxn(nN*)的展开式中含有常数项的最小的n为()A.4B.5C.6D.7解析3x+1xxn展开式中的第r+1项为Cnr(3x)n-rx-32r=Cnr3n-rxn-52r.若展开式中含常数项,则存在nN*,rN,使n-52r=0,故最小的n为5,故选B.答案B4.若二项式2x+ax7的展开式中1x3的系数是84,则实数a等于()A.2B.54C.1D.24解析二项展开式的通项Tr+1=C7r(2x)7-r(ax-1)r=27-rarC7rx7-2r.由题意知7-2r=-3,则r=5

3、.令22a5C75=84,解得a=1.答案C5.若x0,设x2+1x5的展开式中的第三项为M,第四项为N,则M+N的最小值为.解析T3=C52x231x2=54x,T4=C53x221x3=52x,故M+N=5x4+52x2258=522当且仅当5x4=52x时,等号成立.答案5226.在(x+43y)20的展开式中,系数为有理数的项共有项.解析展开式的通项Tr+1=3r4C20rx20-ryr(r=0,1,2,20),又系数为有理数,r=0,4,8,12,16,20,共6项.答案67.已知x+23xn展开式中的第9项与第10项二项式系数相等,求x的一次项系数.解Cn8=Cn9,n=17,Tr

4、+1=C17rx17-r22rx-r3.令17-r2r3=1,得r=9.T10=C179x429x-3=C17929x.故x的一次项系数为29C179.8.已知在x+2x2n的展开式中,第5项的系数与第3项的系数之比为563,求展开式中的常数项.解T5=Cn4(x)n-424x-8=16Cn4xn-202,T3=Cn2(x)n-222x-4=4Cn2xn-102.由题意知,16Cn44Cn2=563,解得n=10(负值舍去).Tk+1=C10k(x)10-k2kx-2k=2kC10kx10-5k2,令10-5k2=0,解得k=2.所以展开式中的常数项为C10222=180.9.求证:1+2+2

5、2+25n-1(nN*)能被31整除.证明1+2+22+25n-1=25n-12-1=25n-1=32n-1=(31+1)n-1=Cn031n+Cn131n-1+Cnn-131+Cnn-1=31(Cn031n-1+Cn131n-2+Cnn-1),显然Cn031n-1+Cn131n-2+Cnn-1为整数,原式能被31整除.能力提升1.在(1-x3)(1+x)10的展开式中,x5的系数是()A.-297B.-252C.297D.207解析(1-x3)(1+x)10=(1+x)10-x3(1+x)10,展开式中含x5的项的系数为C105C102=207.答案D2.1-2Cn1+4Cn2-8Cn3+(

6、-2)nCnn等于()A.1B.-1C.(-1)nD.3n解析逆用二项式定理,将1看成公式中的a,-2看成公式中的b,可得原式=(1-2)n=(-1)n.答案C3.在x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数为()A.30B.20C.15D.10解析(1+x)6的展开式的第r+1项为Tr+1=C6rxr,则x(1+x)6的展开式中含x3的项为C62x3=15x3,所以系数为15.答案C4.(x2-x+1)10展开式中x3项的系数为()A.-210B.210C.30D.-30解析(x2-x+1)10=x2-(x-1)10=C100(x2)10-C101(x2)9(x-1)+-C109x2(x-1)

7、9+C1010(x-1)10,所以含x3项的系数为-C109C98+C1010(-C107)=-210,故选A.答案A5.(x2+2)1x2-15的展开式的常数项是()A.-3B.-2C.2D.3解析1x2-15展开式的通项为Tr+1=C5r1x25-r(-1)r=(-1)rC5r1x10-2r.令10-2r=2或10-2r=0,解得r=4或r=5.故(x2+2)1x2-15的展开式的常数项是(-1)4C54+2(-1)5C55=3.答案D6.设二项式x-ax6(a0)的展开式中,x3项的系数为A,常数项为B,若B=4A,则a的值是.解析A=C62(-a)2,B=C64(-a)4,由B=4A知

8、, 4C62(-a)2=C64(-a)4,解得a=2.a0,a=2.答案27.已知(ax+1)n=anxn+an-1xn-1+a2x2+a1x+a0(xN*),点Ai(i,ai)(i=0,1,2,n)的部分图象如图,则a=.解析由展开式得Tk+1=Cnk(ax)n-k=an-kCnkxn-k,由题图可知a1=3,a2=4,即aCnn-1=3,且a2Cnn-2=4,化简得na=3,且n(n-1)a22=4,解得a=13.答案138.已知(xcos +1)5的展开式中x2的系数与x+544的展开式中x3的系数相等,则cos =.解析(xcos +1)5展开式中x2的系数为C53cos2.x+544

9、展开式中x3的系数为54C41.由题意可知C53cos2=54C41,cos2=12,cos =22.答案229.已知x-124xn的展开式中,前三项系数的绝对值依次成等差数列.(1)证明:展开式中没有常数项.(2)求展开式中所有的有理项.(1)证明由题意得2Cn112=1+Cn2122,即n2-9n+8=0,n=8(n=1舍去).Tk+1=C8k(x)8-k-124xk=-12kC8kx8-k2x-k4=(-1)kC8k2kx16-3k4(0k8,kZ).若Tk+1是常数项,则16-3k4=0,即16-3k=0,kZ,这不可能,展开式中没有常数项.(2)解由(1)知,若Tk+1是有理项,当且

10、仅当16-3k4为整数.0k8,kZ,k=0,4,8,即展开式中有三项有理项,分别是T1=x4,T5=358x,T9=1256x-2.10.求证:32n+3-24n+37能被64整除.证明32n+3-24n+37=39n+1-24n+37=3(8+1)n+1-24n+37=3(Cn+108n+1+Cn+118n+Cn+1n8+1)-24n+37=364(Cn+108n-1+Cn+118n-2+Cn+1n-1)+24Cn+1n-24n+40=643(Cn+108n-1+Cn+118n-2+Cn+1n-1)+64.显然上式是64的倍数,故原式可被64整除.11.(选做题)已知数列an(n为正整数)是首项为a1,公比为q的等比数列.(1)求和:a1C20-a2C21+a3C22,a1C30-a2C31+a3C32-a4C33;(2)由(1)的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论,并加以证明.解(1)a1C20-a2C21+a3C22=a1-2a1q+a1q2=a1(1-q)2,a1C30-a2C31+a3C32-a4C33=a1-3a1q+3a1q2-a1q3=a1(1-q)3.(2)归纳概括的结论为:若数列an是首项为a1,公比为q的等比数列,则a1Cn0-a