高中数学选修2-3配人教A版-课后习题word版-第二章　随机变量及其分布2.4　正态分布

1、2.4正态分布课后篇巩固提升基础巩固1.关于正态分布N(,2),下列说法正确的是()A.随机变量落在区间长度为3的区间之外是一个小概率事件B.随机变量落在区间长度为6的区间之外是一个小概率事件C.随机变量落在(-3,3)之外是一个小概率事件D.随机变量落在(-3,+3)之外是一个小概率事件解析P(-3X+3或X-3)=1-P(-3X4)=()A.15B.14C.13D.12解析由正态分布图象,可知x=4是该图象的对称轴,P(4)=12.答案D3.已知XN(0,1),则X在区间(-,-2)内取值的概率为()A.0.954 5B.0.045 5C.0.977 3D.0.022 75解析由题知对应的

2、正态曲线的对称轴为x=0,所以P(X1230B.01212130D.012=13解析当=0,=1时,正态曲线f(x)=12e-x22.在x=0时,取最大值12,故2=1.由正态曲线的性质,当一定时,曲线的形状由确定.越小,曲线越“瘦高”;越大,曲线越“矮胖”,于是有012=13.答案D6.若随机变量XN(1,22),则Y=3X-1服从的总体分布可记为.解析XN(1,22),=1,=2.又Y=3X-1,E(Y)=3E(X)-1=3-1=2,D(Y)=9D(X)=62.YN(2,62).答案YN(2,62)7.已知当XN(,2)时,P(-X+)0.682 7,P(-2X+2)0.954 5,P(-

3、3X+3)0.997 3,则34 12e-(x-1)22dx=.解析由题意,=1,=1,34 12e-(x-1)22dx=P(3X4)=12P(-2X4)-P(-1110)=1-2P(90100)2=0.2,该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.250=10.答案109.已知某地农民工年均收入X(单位:元)服从正态分布,其密度函数图象如图所示.(1)写出此地农民工年均收入的密度函数的表达式;(2)求此地农民工年均收入在8 0008 500元之间的人数所占的百分比.解设XN(,2),结合题图可知,=8 000,=500.(1)此地农民工年均收入的密度函数表达式为,(x)=12e-(x-)22

4、2=15002e-(x-8 000)225002,x(-,+).(2)P(7 500X8 500)=P(8 000-500X8 000+500)0.682 7.P(8 000X8 500)=12P(7 500X8 500)=0.341 35=34.135%.故此地农民工年均收入在8 0008 500元之间的人数所占的百分比为34.135%.10.设XN(4,1),证明P(2X6)=2P(2X4).证明因为=4,所以正态曲线关于直线x=4对称,所以P(2X4)=P(4X6).又因为P(2X6)=P(2X4)+P(4X6),所以P(2X6)=2P(2p2B.p11)=p,则P(-10)=()A.1

5、2+pB.1-pC.1-2pD.12-p解析P(-10)=12P(-11)=12-P(1)=12-p.答案D3.设随机变量XN(,2),且X落在区间(-3,-1)内的概率和落在区间(1,3)内的概率相等,若P(X2)=p,则P(0X2)等于()A.12+pB.1-pC.1-2pD.12-p解析由X落在(-3,-1)内的概率和落在(1,3)内的概率相等得=0.又P(X2)=p,P(-2X2)=1-2p,P(0X2)=1-2p2=12-p.答案D4.若随机变量N(10,2),若在(5,10)上的概率等于a,a(0,0.5),则在(-,15)上的概率等于.解析由题意可知P(1015)=a,则P(-5

6、)=1+P(55)=1+P(7-2X7+2)21+0.954 52.显然第二个方案“利润超过5万元”的概率比较大,故他应该选择第二个方案.6.从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得频率分布直方图:(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(,2),其中近似为样本平均数x,2近似为样本方差s2.利用该正态分布,求P(187.8Z212.2);某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,

7、212.2)的产品件数.利用的结果,求E(X).附:15012.2.若ZN(,2),则P(-Z+)0.682 7,P(-2Z+2)0.954 5.解(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为x=1700.02+1800.09+1900.22+2000.33+2100.24+2200.08+2300.02=200,s2=(-30)20.02+(-20)20.09+(-10)20.22+00.33+1020.24+2020.08+3020.02=150.(2)由(1)知,ZN(200,150),从而P(187.8Z212.2)=P(200-12.2Z200+12.2)0.682 7.由知,一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.682 7,依题意知XB(100,0.682 7),所以E(X)=1000.682 7=68.27.7.(选做题)已知某种零件的尺寸X(单位:mm)服从正态分布,其正态曲线在(0,80)上是增函数,在80,+)上是减函数,且f(80)=182 .(1)求概率密度函数;(2)估计尺寸在(72,88间的零件大约占总数的百分之几?解(1)由于正态曲线在(0,80)上是增函数,在80,+)上是减函数,所以正态曲线关于直线x=80对称,且在x=80处取得最大值,因此得=80,12=182,所以